抛物线弓形面积的阿基米德算法_陈伟侯.pdf

1 999 年第 10 期数学通 报 抛物线弓形面积的阿基米德算法 陈伟侯 (中国农业大学西区数学 组 10 0 0 9 4) 在 抛 物线上 选 定 两点 , 过这两点的 弦和抛物 线 弧围成 一个 抛物线弓形 . 古 希腊的伟大学者阿 基 米德(A r ehimedeS , 公元 前 2 8 7~2 1 2 年)曾提出 一 个计 算 抛物 线弓形 的算法 : 先以弦为底 , 作抛 物 线弓形的 内 接三 角形 , 过 这个三角形 的第三个顶 点 且 平 行于抛 物 线 对 称 轴的直 线 , 恰 好 过弦 的中 点 ; 第二次在 新 出现的两 个弓形 中分 别用同样的 方 法 作 内 接三角形 ; 第三次 在 新出现的四个弓形 中分别用同样 方法 作 内接三角形 ; ⋯ ⋯ ; 第 n 次在 新出现的 2 ”一‘个 弓形 中分 别用 同样 的方法作内接 三角形; ’ ’ 二 这种 用 三 角形 填满弓形的方法 叫做 穷 竭法(t} le m etho d o f ex ha u stion ) . 阿基 米德用几 何方 法巧妙 地算出 , 所求的弓形 面积 , 恰 好是 第一 次所作 内接三角形 面积A l 的 音 倍 · 下 面 我们用 现 代数学语言 , 介绍阿基 米德 算 法 . 设 抛 物 线 方 程为 y 一f(x) 一l了+m x 十 n , 不 失一般 性 , 可设 lO , 并 且 抛 物 线 与 横坐标 轴没 有 交点 , 如图 1 所示 . 在 抛 物线 上取 点 A ( a , 、 2 ”一‘个 ,, 级 内接三角形 , 记 它们的面积之和为 浅 , ; 参看图 1 , 我们 有 A : 一S △扩B 一S 梯 形动别 一S佛 形、以 一S 佛形, l , B c ’ f(a)+f(b) 2 (b一 a ) 一 f(a)+f( c ) 2 (c一 a )一 f( c )十f(b) 2 (b一 c ) f( a )十 、f(b ) 2 (b一 a )一 f(a)+f( e ) 2 r (b一a)一 f( e )+f(b) 2 (1一 r ) (b一 a ) b一a 2 产 f( a )+f(b) 匕 — 一 乙 f( a )十f(‘) — r f( e )+f(b) 2 (1一 r )〕 f(a)) , B(b , f(b)) , C(c , f A (c )) , 作 成△ACB . 由于 a c b , 则 c = a 十 r (b一a) 此 处 O r 1 ( 在 阿 基 米 德 b一a _ _ = 立二二〔(1一 r )f(a)+ r f (b)一f(c)〕 2 、 、一 ’, J 、一 b一a , , _ - 一几干一匕又1一 r )J弋 a )十 2了 戈b)一JLa十 r 又b一 乙 a ))〕 b一a _ _ - 一一 二〔(1一r )(la z + 阴a+ n )+ r (lb z + 阴b十 n ) 2 、 、 一 ’、一’ ‘’ - 一 一 一(l(a+ r (b一a) ) 2 +m(a+ r (b一a))+ n )〕 b一a _ = 二 一万二lr (1一 r )(b一 a ) 乙. 2 一 ’ 、 一 ’ 、- 一 ,· 最后就得 一 般的公 式 的作 法中 r - 令) 这 个 “d“e b , 1 一 坦 : (1一 二) l。

一 1 3 乙 ¹ △AC B 叫一级内接三 角 图 1 形 , 它的面积为A , . 固 定前面 的比例系数 r , 在弧A CB上 选取 点 D (d , f(d)) , E(e , f( e ) ) , 使 d= a 十 r ( c 一 a ) , e ~ c + r (b一 c ) , △AD C和△C E B叫 做 二 级 内 接三角形 , 记它们 的面积 之和为A 2 . 采 取同样的选点 方 法 , 我们可以作出 : 22 个 三级 内接三角形 , 记 它 们的面积之 和为A 3; 23个 四级 内接 三角形 , 记 它 们的 面积 之和为A 4; ⋯ ; } 引 . 一 山二一 }a 一b l }b一C} }一a} 艺 类似 地 , 我们 有 r (1一 r )} 一a } 3,] l l 一 2 S △乃J - 、△ C动 一 粤 ·( 卜 ·) .、一 A : 一S △AD c + S △c ED }11 一六护r戈1一 r ) 匕1‘一al “ 十 }b一川 “J 乙 一 粤 · ( 卜 ·) 〔:(一), 3+ .( 卜 · )(一) } 3〕 一 粤 · ( 卜 ·) .。

一} 3 (3 二2一 3二十1) . 24l卿9 年第1 0期数学通报 我们 记 R一3 ) 一少 一3 厂 十l (由加 口 一3 厂 一1一3行一 于) , O 厂 1 ,显然 一 有丰簇R l 任 , 就得 圆锥 曲线进 行研究的基础上 . 当时已导出以下性 质(参看「 2]) : 1 一 4 + 八:一A IR º 显 然用推出 A : 一八 IR 的办法 , 可以推出 A 一 A :R 一A 1RZ A 、= A 3R = 、魂, R 3 AM Z MC D E Z EC ’ 阿基米 德 取 M 为AE 中点 , P 为 AM 中点 . 就有 MC AM Z (ZDE) 2 E C DE Z D E Z 4 一 1 一一 A , , 一八 , 一 IR 一A IR 月 由于各级内 接三角形 面积 之和是弓形 ACB 的面积 , 因此 有 S 弓形、 、B 一八十A : +A 十 ⋯十A , +⋯ 一 “生, ( 1 +R+R Z 十⋯+夕 , ’+ ⋯ ) 一A l/ 1 一R » 我们进一 步注意 到 1一R=1一(3厂2一3,+1) =37 一 (1一 , , ) , 代 入»就得到 一{ ME= 3E C , Mc一李ME 3 图2 一 告 P D · 又由△A PW的△AMC , 得MC一ZPW , 因而 9 PW= 子PD今PW= ZWD . 3 -- -一 一 ’ 一 这样 , 沿用前面 定义的记号A , , A : , ⋯ , 就得 S △A oP = 25△ 八:r , S 么八。

M = 45△A议 , S △八z, = A l 一 4 5 ·一 导 .一}) 3 ¹ 85△ AI X ’今S△AD 一音 S △A阳冷“2 1 -—b 八A ‘ 、下 飞- 4 一 - - 一 综上所述 , 就得 如下的一般结果 . 定 理令 ‘f ( 二) 一l厂+ ,二二 十n , 在 该抛 物 线上 任意取三点 八(a , f( a ) ) , B(b , ‘f (b)) , C( , f 、 ( ) ) , 此处 设 c 一 a + 7 , ( b一a ) , O , 一 1 . 则有 类 似地可得出 “ 3一 誉 A Z A 4 一 告 A 3 一 ( 告 , 2“1 一( 专 , 3AI (1)s △ ‘生 一号 , , ( 卜 ·) .一) 3一 誉 }b一 一a A n +: 1 . -—八 . 4 = ( 与 · 、 4 ’A 1 (2)S 弓形、 〔 · = S △通c召 1一 7 - , 此处 R一3 r “一 2 r十1 ; (3,S ·形 一粤 .一){ 3 · 由于横 轴上 的点C位于点 a 最后就得 出 S 弓形A c B 一A ; 十A : +⋯+A 。

+A n+: + ⋯ 1 ., 1 、 二 , 1 、_ 一八 I LI- - t 一代一 .十 Lw e丁)汁 一卜 又-下 ) “ 十 . ⋯ ) 任44 们 称}b一a l为弓形 A C B 的宽度 与点 b 之间 , 我 , 又称}1 1 为抛物 A 4 一 3 线 的 开口度 . 公 式( 3)表 明 , 抛物线弓形 的面积只 与 抛 物线的 开 口度和 弓形 宽 度有关 , 但 与弓形 在 抛物线 上的位置 无关 . 阿 基 米德用 穷 竭法 所 做的 工作 , 就是上述定 值 得 我 们注 意 的是 , 当 时还 没有无 穷 级 数的 求和公 式 , 阿基 米德 利用穷竭法和间接 证明 , 得到 S 弓 形A e B = ~ 一 1 , ~ 丈 里 11闷 r 一 下丁气式- 乙 1 、 二,,、 一 z 下 一 少阴 ‘隋 水 · 任 当 年还 没有解 析 几 何 , 究竟 阿 基米德 是如 何计 算的?下面作一 简单介 绍 . 如图 2 , A B 是抛 物线上 的 弦妇材C平行于抛 物 线的对称 轴 , 并且 pD 刀人穴 、, DE刀PM . 在欧几 里德(Eu chd , 生 活在 公 元 前 3 0 0 年 左 右)和阿 波 罗 尼斯(Ap o llo niuS , 公元前 2 6 2一19〔 ) 年)等人对 限 于篇幅 , 此处 不详细说了 , 可参看[1] . 阿基米 德 才智 高超 , 兴 趣 广泛(无论 是 实用 方 面和理论 方面) . 关于他的流传于世的最 有名的故 事 , 便是他发明了检测金皇冠是否掺假的方法 . 在 他所写的《抛物线的求 积》一书 中 , 给出了求 抛物 线弓形 面积的两 种方 法 , 第一种是利用杠杆原 理 一 _ _ , , 、 l、 ~ 一_ ~ 、 、 ,二, 1 _ , , ’ 的力 学方法 , 第 二种就是 前面所说的 r 一 言 时 的 穷竭法(参 看[1]) . (下转1 8 页) 1 9 9 9 年第 1 0期数学通报 然 界这本用数学 语 言写 成的伟 大的书 ” , 没有 良好的数 学阅读 基本功 是不行的 . 因此 , 面向未 来 , 数学 教育 重 视数 学阅读培养 学生以阅 读能力 为 核心的独立 获 取数 学知识的能力 , 使 他 们获 得 终身学习的本领 , 非 常符 合 现代 教 育思想 . 第四 , 重 视 数学 阅读 , 培养阅读能 力 , 有助 于个别 化 学习 , 使每 个学生 能通 过自身的努 力达 到 各 自可能达 到的水 平 , 实现 素 质教 育的目标 . 素 质 教育的核心问题 是 使每 个 学生都能 得到 充分发 展 , 实现这 个目标 仅 靠集体 教学 是办不到 的 , 其 有 效途 径是集 体教 学与个 别学习相结 合 , 而有效 个 别 学习的关 键是 教会阅读 . 研 究也 表明 , 构成 一些 学生学习数学 感到困难 的因素之 一是 他 们 的 阅读 能力 差 , 在阅读和理解 数 学 书籍 方面 特 别无 能 . 因此 , 要 想使数 学素 质 教育目标 得 到落 实 , 使 数学 不再感 到难 学 , 就必须重 视 数学阅读教 学 . 国内一些 较为成功的教学 改 革 充 分 说明了这 一 点 , 如 中国科 学 院心理 研究 所 卢 仲衡 先生的 “ 自 学教学法 ” 、 上海育才 中学的 “读 读、 议议 、 讲讲 、 练 练 ” 教学法及 “ 青 浦 数学 教 改实验 ” 等 , 无不得益于课堂阅读 教学环 节 . 3 数学 阅读进入 课 堂 鉴于数学 阅读上 述重要 教 育意义及 其有 别于 其它阅读的特 殊 性 , 笔 者呼吁数 学 教育 界应 将数 学 阅读 教 学作 为一个重要课题来 研究 , 绝不 能盲 目照搬 语 文阅读 模式 来 指导 数学阅读 教 学 , 应尽 快加强数 学阅读的心理机制 、 数 学 阅读 的有效策 略及 数 学课 堂 上如何 更好 地运用 阅读 学习方式的 研究 , 同 时将 数学阅读请 进课堂 , 为此 : 1 . 数 学 教 师 应 充 分认识到数 学阅读的教 育 功能 , 将 数 学 阅读 纳人到数 学课 堂 教学基 本环 节 中去 , 改 过去 “讲 练结 合 ” 教 学方式 为 “讲 读 练 三结 合方 式 ”, 积极探索 课 堂教学的优 化结 构 . 2 . 数 学 教 师 应 掌 握一定的课 堂 阅读 指导。