概率论与数理统计 许承德 习题五答案.doc

习 题 五 1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差 解 设为已取出的废品只数，则的分布为 即 所以 ， 2．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若1周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元，发生两次故障所获利润零元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元求1周内期望利润是多少？ 解 设一周所获利润为（万元），则的可能值为. 又设为机器一周内发生故障的次数，则，于是， 类似地可求出的分布为 所以一周内的期望利润为 （万元） 3．假设自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润（元）与零件的内径有如下关系： 问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大. 解 即 两边取对数得 即 .时，平均利润最大. 4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的分布律、分布函数和数学期望. 解 ，分布律为即 的分布函数为 5．设随机变量服从几何分布，其分布列为 ，求与 解1 其中 由函数的幂级数展开有 ，所以 因为 ，所以 解2 设 （1）则 （2）（1）–（2）得，所以，从而，得 . ， ， ，于是 ，所以 ，故得的方差为 6．设随机变量分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差. （1）； （2） （3） （4） 解 （1），（因为被积函数为奇函数） （2） . （3） , ，所以 . （4）, ,所以 . 7．在习题三第4题中求 解 因的分布为 所以 . 8．设随机变量的概率密度为 已知，求 （1）的值 （2）随机变量的数学期望和方差. 解 （1） ， ，解方程组 得 ， ， . （2）， . 9．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。

假设一游客在早八点的第分钟到达底层候梯处，且在上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望. 解 设候梯时间为，则 .10．设某种商品每周的需求量是服从区间上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间中的某一个整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量 解 设商店获得的利润为，进货量为，则 由题意 即.解不等式得 ，即使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位. 11．设与同分布，且的概率密度为 （1）已知事件和事件独立，且，求常数； （2）求 解 （1） ，即有方程 即 ，可见 或 ，解之得 或（不合题意） 故 . （2）. 12．于习题四第15题中求的数学期望. 解 的分布为 （1）求（2）设，求（3）设，求 13．设的分布律为YX–1011230.20.100.100.30.10.10.10.40.20.40.30.40.3 解 （1） ； （2） ； （3） .或 或，先求的分布 . 14．设离散型二维随机变量在点取值的概率均为，求 解 ， ，所以 ； ； 15．设的概率密度为 求的数学期望. 解 16．设二维随机变量的概率密度为 y0x求. 解 ； ； ； ，于是 ；故 17．假设随机变量服从参数为的指数分布，随机变量 求（1）的联合分布，（2）. 解 （1）的分布：X2X1 ， ， （2）. 18．设连续型随机变量的所有可能值在区间之内，证明： （1）； （2） 证 （1）因为，所以，即； （2）因为对于任意的常数有 ，取 ，则有 19．一商店经销某种商品，每周进货量与顾客对该种商品的需求量是相互独立的随机变量，且都服从区间上的均匀分布。

商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值D2 D1y201020100x 解 设为一周内所得利润，则 其中所以 （元）. 20．设是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 求 解 ， （注：因为参数为1的指数分布的数学期望为1，而是前指数分布向右平移了5个单位，所以） 因独立，所以 . 今求 方法1 . 方法2 利用公式：当独立时 21．在长为的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差. 解 以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为，则它们均在上服从均匀分布，且相互独立. 所以 . 22．设随机变量与独立，且服从均值为1，标准差（均方差）为的正态分布，而服从标准正态分布，试求随机变量的概率密度. 解 因为相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布，所以其中 所以的概率密度为 ， 23．设是两个相互独立的且均服从正态分布的随机变量，求与. 解1 ； ；所以 . 注意：从上面的解题过程看，计算相当麻烦，下面给出一种简单的计算方法： 解2 设，则 ； ，所以. 24．设随机变量与相互独立，且都服从分布，试证 证1 令，，则仍相互独立且均服从于是 从而 ，所以 ；同理可证 。