椭圆双曲线抛物线经典求法及历年真题.docx

精选优质文档-----倾情为你奉上解决圆锥曲线常用的方法 1、定义法（1）椭圆有两种定义第一定义中，r1+r2=2a第二定义中，r1=ed1 r2=ed2 （2）双曲线有两种定义第一定义中，，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有。

（2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质 如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”,令，则d表示点P（x，y）到原点的距离；又如“”，令=k，则k表示点P（x、y）与点A（-2，3）这两点连线的斜率……5、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y,-1,y1）（2）斜率为参数 当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。

3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题6、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P1代入条件P2，方法2可将条件P2代入条件P1，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法例2、F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点1）的最小值为 （2）的最小值为 分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题解：（1）4- 设另一焦点为，则(-1,0)连A,P 当P是A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-2）作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，∴∴当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。

列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的）解：如图，，∴∴ （*）∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA∴即 （*）∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）∵2a=6，2c=10∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为 （x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)①②③则由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9∴， ≥ 当4x02+1=3 即 时，此时法二：如图，∴， 即，∴， 当AB经过焦点F时取得最小值∴M到x轴的最短距离为点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防 此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可解：（1）椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-（2）∴当m=5时， 当m=2时，点评：此题因最终需求，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得，将y0=x0+1，k=1代入得，∴，可见当然，解本题的关键在于对的认识，通过线段在x轴的“投影”发现是解此题的要点例3：直线l：ax+y+2=0平分双曲线的斜率为1的弦，求a的取值范围.①②分析：由题意，直线l恒过定点P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点M与点P的连线的斜率即-a的范围。

解：设A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点，且AB的斜率为1，AB的中点为M(x0,y0)则： ①-②得即M(X0,y0)在直线9x-16y=0上由 9x-16y=0 得C,D ∴点M的轨迹方程为9x-16y=0(x<-或x>)kPD=由图知，当动直线l的斜率k∈时，l过斜率为1的弦AB的中点M，而k=-a∴a的取值范围为：点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦AB中点轨迹并不是一条直线（9x-16y=0），而是这条直线上的两条射线（无端点）再利用图形中的特殊点（射线的端点C、D）的属性（斜率）说明所求变量a的取值范围例6、求直线3x-4y+10=0与椭圆(a>0)有公共点时a的取值范围 分析:将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解,用判别式△≥0可求得a的取值范围也可考虑另一代入顺序，从椭圆方程出发设公共点P（用参数形式），代入直线方程，转化为三角问题：asinx+bcosx=c何时有解解法一：由直线方程3x-4y+10=0得代入椭圆方程得∴ △ ≥0，得解得，又a>0,∴ 解法二：设有公共点为P，因公共点P在椭圆上，利用椭圆方程设P（acos，sin）再代入直线方程得3acos-4sin+10=0 4sin-3acos=10。

令sinα=，cosα=，则sin(-α)= ，由 即sin2(-α)≤1得 ∴9a2≥84，a2≥(a>0)∴a≥点评：解法1，2给出了两种不同的条件代入顺序，其解法1的思路清晰，是常用方法，但运算量较大，对运算能力提出较高的要求，解法2先考虑椭圆，设公共点再代入直线，技巧性强，但运算较易，考虑一般关系：“设直线l：Ax+By+C=0与椭圆有公共点,求应满足的条件”此时，若用解法一则难于运算，而用解法二，设有公共点P，利用椭圆，设P（acos，bsin）代入直线方程得Aacos+Bbsin=-C∴时上式有解 ∴C2≤A2a2+B2b2因此，从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性同步练习】1、已知：F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若，△ABF2的周长为（ ）A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是 （ ）A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（ ）A、 B、 C、 D、4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ）A、 B、C、 D、5、已知双曲线上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是 8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 。