《热传导方程的整体解和爆破问题》-公开DOC·毕业论文.doc

大学013年毕业设计（论文）热传导方程的整体解和爆破问题作者姓名：专业班级：指导老师：摘 要关键字第1章 有关数学物理方程的一些概念 1.1 数学物理方程的概念数学物理方程通常指物理学、力学、工程技术和其他学科中出现的偏微分方程例如二阶线性偏微分方程，其一般形式为式中，代表方程的维数，可以为常数也可以是连续的泛函，数学物理方程以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象，它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系因此，无论在历史上还是在今天的现实世界中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要的作用1.2 数学物理方程的分类数学物理方程的分类方法较多，一般有如下几种：从数学分析的角度有线性、非线性和拟线性之分；从方程有无右端项的角度有齐次和非齐次之分；从数学上三类典型问题的角度有双曲型、抛物型和椭圆型之分，而与之对应的在物理学上又分别称之为波动或振动方程、热传导方程以及位势方程或拉普拉斯方程；从方程的形式角度有一般形式和标准形式方程之分；从未知函数及其导数前面的系数角度有常系数和变系数偏微分方程之分1.3 数学物理方程研究的内容一个实际问题，运用物理规律，经过合理假设、分析、简化得到一个数学模型即偏微分方程，然后对模型进行理论分析，包括解的存在性、唯一性、稳定性，再对问题求解，包括解析解、近似解或数值解，最后结合实际问题进行检验，这些就是数学物理方程的正问题。

如果微分方程中的系数、右端项、定解条件、定义域等还含有一些未知的参数，则确定这些参数并求出问题的解的过程称为数学物理方程的反问题1.4 数学物理方程的反问题1.4.1对数学物理方程反问题的研究对数学物理方程中的反问题人们主要关心的是适应性及数值解法的问题所谓适定性问题就是在数学物理中，存在、唯一且连续依赖于初始数据解的问题若上述三个条件中的任何一个不满足，则称为不适定的在理论上主要研究反问题的存在性和唯一性，有时也研究稳定性，而在实际应用中，人们的主要兴趣却集中于数值算法问题由于反问题的类型各式各样，因而研究该问题的方法也变化多端对于存在性问题研究的主要方法有以下几种：1、反Sturm-Liouriue方法，主要是利用泛函的特征谱方法，见参考文献[]，这是一个比较古老的方法；2、紧性原理方法，首先将一个反问题变换为一个允许参数集合上的最优问题，如果参数集是一个紧的，则连续的价值函数在该集合上达到极值，见参考文献[]；3、积分变换法，用一种特殊的变换将包含在一个偏微分方程中的反问题变成一个等价的较简单的位势问题，见参考文献[]，这种方法也叫做积分几何方法，即将包含在微分方程中的反问题化成一个与之等价的在一条曲线或曲面上的积分问题，通过对曲线或曲面的泛函加上一定条件的限制，再利用Born近似便可得到反问题的存在性。

4、非线性分析方法（如不动点理论、压缩映像原理等，见参考文献[]），由于许多实际的反问题都是非线性的，因而非线性方法对研究反问题的存在性往往更为有用；1.4.2研究反问题的前景展望 尽管目前已有许多人从不同的角度，采用不同的方法使数学物理方程中的反问题这一领域有了快速发展，但由于它是一门新型的数学分支，因而其中的许多理论还不成体系，甚至有些结果还显得支离破碎由于许多非线性方程的正解问题都难以解决，因而解决非线性微分方程中的反问题及相应适定性问题就成为摆在现代数学工作者面前更加艰巨的任务正因如此，关于非线性微分方程反问题的研究文献在国内外也寥寥无几尽管以目前的数学工具还不能广泛地解决这一问题，但是，这个问题已经引起国内外许多专家、学者们的高度重视我们坚信，最令人激动人心的时刻终会到来，也许这一天就在不远的将来第2章 热传导方程及其定解问题2.1 热传导问题的陈述 空间如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就会从温度较高点向温度较低点处流动，这种现象称为热传导设有一个导热物体，在空间占据区域为，边界面为，确定该物体内部在任意时刻、任意位置的温度2.2热传导模型的建立 2.2.1物理规律 1）Fourier热传导定律：物体在无穷小的时段内流过一个无穷小面积的热量，与物体沿曲面法线方向的方向导数成正比，即，其中为导热系数，可以是常数也可以是函数，当物体为均匀且各向同性时为常数，否则为函数，但是总是取正值，为曲面沿热流方向的法线。

2）热量守恒定律：由时刻温度升高（降低）的热量时刻从边界进入（流出）的热量热源提供（吸收）的热量，即 2.2.2假设条件 设的比热（单位质量的物体温度改变吸收或放出的热量）为，密度为，为物体内任取的一小块区域，表示的边界面，为热传导系数，表示热源强度（单位时间从单位体积内放出或吸收的热量） 2.2.3热量的计算 1）内温度改变的热量所以 2）从边界进入的热量由两类曲面积分之间的联系，再由高斯公式可得3）热源提供的热量由及和区域的任意性以及被积函数的连续性可得若为常数，并记（通常称其为Laplace算子），则有式中，当时表示热源，当时表示热汇方程（1）虽然通常被称为热传导方程，但绝不只用来表述热传导现象事实上，自然界还有很多现象同样可以方程（1）来刻画一个重要的例子是考虑某类分子在介质（如空气、水等）中的扩散浓度的不均匀产生分子运动（扩散），它遵循质量守恒定律根据Nernst实验定律：分子运动速度与浓度的梯度成正比：，称为扩散系数从而同样可导出分子浓度适合的方程（1），这里是一个与扩散系数成正比的常数，表示反应项因此人们通常把方程（1）称为扩散方程，而称为扩散项。

第3章 热传导方程的整体解和爆破问题热传导方程涉及的大量问题来自于物理、化学、生态、生物等领域的数学模型，具有强烈的实际背景；另一方面，在热传导方程的理论研究中，也给数学家们提出了许多挑战性的问题关于非线性抛物方程的整体解与爆破等问题的研究已成为非线性抛物方程理论研究中的一个重要方向在过去的几十年里，热传导方程的整体解和爆破现象被很多作者研究过，得出了许多有意义的结果Friedman[1]和Sperb[2]讨论了下面的问题： (1.1)这里是中具有光滑边界的有界区域，对于问题（1.1）他们给出了爆破解的条件，在[3]中，需要满足和 (1.2)在[1]中，需要满足和 (1.3)但是他们没有考虑方程的整体解在特定的条件下，在文献[4]中，王术和王新明讨论了带有非线性边界条件的热传导方程： （1.4）的整体解及爆破问题，其中可以充分小，是参数，从物理上讲，非线性项表示杆在端点处从杆外部向杆内吸热，非线性项表示杆在端点处从内部向外部散热证明了当初始温度不高且散热项的非线性高于吸热项的非线性时, 温度是否爆破依赖于非线性吸热项的控制系数,同时给出(1.4)的正平衡解的“精确”分岐。

但是他们又没讨论非齐次的热传导方程的整体解和爆破问题 在文献[7]中，容跃堂和薛应珍将此类问题又推广到了方程组中，他们研究了一类带有非线性边界条件的非线性抛物方程组的整体存在及解在有限时刻爆破问题通过构造方程组的上、下解，得到了解整体存在的一个充分条件及解在有限时刻爆破的一个充分条件针对此类问题的方程组，在文献[8]中春玲研究了一类带有非线性边界条件的抛物型方程组： (1)解的整体存在及爆破问题通过构造方程组的上、下解，得到了解整体存在的一个充分条件及解在有限时刻爆破的一个充分条件其中有界光滑区域，可以充分小，是的外法线方向且恒假设,成立，且满足相容条件：从以上文献的综合描述中，热传导方程的整体解和爆破问题得到了广泛的研究，出现可很多有意义的结果介于知识储备的基础上，本文将讨论一类带有非线性边界条件的热传导方程:解的整体解存在及爆破问题通过构造方程的上、下解，得到了解整体存在的一个充分条件和解在有限时刻爆破的一个充分条件其中有界光滑区域，可以充分小，是的外法线方向且恒假设,成立，且满足条件本文所得到的主要结论有：定理1 若，则对于小初值上述带有非线性边界条件的抛物方程的整体存在。

定理2 若，上述带有非线性边界条件的抛物方程的解在有限时刻爆破上下解定义与解存在性定义 令，正函数参考文献[1] A.Friedman, B.Mcleod. Blow-up of positive of semilinear heat equations. J.Indiana. Univ. Math, 1985,34: 425-447[2] R.P.Sperb. Growth estimates in reaction-diffusion problem. Arch.Rational Mech.Anal, 1980,75: 127-145[3] R.P.Sperb. Maximum Principles and Their Applications. Academic Press, 1980[4] 王术，王新明 带非线性边界条件的热传导方程的整体解和爆破问题 1997,10(1): 74-79[5] 姜礼尚，陈亚浙等 数学物理方程讲义（第三版） 北京：高等教育出版社，2007.4.[6] 田立平 数学物理方程及其反问题 北京：机械工业出版社，2010.1[7] 容跃堂, 薛应珍 一类非线性抛物型方程组解的整体存在及爆破纺织高校基础科学学报第19卷第3期，2006.9[8] 春玲 一类带非线性边界条件的抛物型方程组解的整体存在及爆破 内蒙古民族大学学报（自然科学版）第25卷第4期，2010.7[9] 。