二次函数周长最小问题.doc

周长最小问题基本解题方法：21•如图，已知抛物线y=ax—4x+c经过点A(0,—6)和B(3,—9).(1) 求抛物线的解析式；(2) 写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；(3) 点P(m,m)与点Q均在抛物线上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；(4) 在满足(3)的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小.解:r-2ax0—4x0+c=—6(1)依题意有2jax3—4x3+c=—9即C=—62分9a—12+c=—9a=14分c=—6抛物线的解析式为：y=x2—4x—65分22(2)把y=x—4x—6配方，得y=(x—2)—10•••对称轴方程为x=27分顶点坐标(2,—10)10分(3)由点P(m,m)在抛物线上2得m=m—4m—612分2即m—5m—6=0--m1=6或m?=—1(舍去)13分•-P(6,6)•••点P、Q均在抛物线上，且关于对称轴x=2对称•Q(—2,6)15分(4)连接AP、AQ,直线AP与对称轴x=2相交于点M由于P、Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M能够使得AQMA的周长最小17分设直线AP的解析式为y=kx+b6k+b=6rk=2b=—6•直线AP的解析式为：y=2x—618分设点M(2,n)贝U有n=2x2—6=—219分此时点M(2,—2)能够使得厶QMA的周长最小2羽丄_a++c=03-c=—?'3r丽a=解得3c=—.32•如图，在平面直角坐标系中，直线y=—.3x-.3与x轴交于点A，与y轴交于点C,抛物线y=2 2.3ax—x+c(0)经过点A、C,与x轴交于另一点B.3(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2) 若P是抛物线上一点，且△ABP为直角三角形，求点P的坐标；(3) 在直线AC上是否存在点Q,使得△QBD的周长最小，若存在，求出Q点的坐标；若不存在,请说明理由.(1) ：直线y=—,3x—,3与x轴交于点A，与y轴交于C•••A(—1,0),C(0,—<3)•••点A,C都在抛物线上•抛物线的解析式为y=^x2—^^x—3=^?(x—1)2—口•顶点D的坐标为(1,3 333J322』3t—(2) 令xx—3=0,解得xi=—1,x2=3•-B(3,0)33•AB2=(1+3)2=16,AC2=12+(,3)2=4,BC2=32+(.3)2=12•AC2+BC2=AB2,」/ABC是直角三角形•P1(0,—3)由抛物线的对称性可知P2的纵坐标为-、,3，代入抛物线的解析式求得:(3)存在.延长BC到点B',使BC=BC,连接BD交直线过点B'作BH丄x轴于H在Rt△BOC中，TBC=,12=2、.3,AC于点Q,P2(2,yJ则Q点—V3)就是所求的点• BC=2OCOBC=30°• BH=1BB'=BC=23,BH=、3BH=6,•OH=32• B'(-3,—2、3)设直线BD的解析式为y=kx+b,则:OAQBx~p—2/3=—3k+b—=k+bL3解得k=£jy=—i3x—、：3联立3b=—竺岁=寻2、、33、、3x—-2解得3x=7y=3310一3、,—)77故在直线AC上存在点Q,使得△QBD的周长最小，Q点的坐标为(3,—^-2)773•在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点0在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，0A=3，OB=4,D为边0B的中点.（I）若E为边0A上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（H）若E、F为边0A上的两个动点，且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.解：（I）如图1，作点D关于x轴的对称点D',连接CD与x轴交于点E,连接若在边0A上任取点E'（与点E不重合），连接CE'、DE'、DE'DE由DE'+CE=D'e'+CE'>CD=DE+CE=DE+CE可知△CDE的周长最小•••在矩形0ACB中，0A=3,0B=4,D为边0B的中点•••BC=3,D0=D0=2,DB=6•••0E//BC,•Rt△D0EsRt△DBC,OE=DOBCDBD02•0E=D0•BC=2X3=1D'B6•••点E的坐标为(1,0)••-图1（H）如图2，作点D关于x轴的对称点D',在CB边上截取CG=2,连接E,在EA上截取EF=2,则四边形GEFC为平行四边形，得GE=CF又DC、EF的长为定值，•此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小•••0E/BC,•Rt△D0EsRt△DBG,•0E=D0BGD"B• 0E=D0•BG=-D0•(BC-CG)=-x1=-DBDB6317• OF=OE+EF=+2=-33•••点E的坐标为（1,0）,点F的坐标为（7,0）3310分23•如图，抛物线y=ax+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.(1) 求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2) 在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；(3) 若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积.•••抛物线的函数解析式为解:a=-寸，b=-11 29y=--x—X+4，顶点D的坐标为（-1，-）2 2・4分(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为:2DH+CH=DH+HB=BD-Bm2+Dm2=2、131213则KN=yK—yN=—-t—t+4—(丄t+—)=22•-S^EFK=S^KFN+S^KNE11=-KN(t+3)+KN(1—t)22=2KN232=—t—3t+5=—(t+)+22941 23--t-t+2 210分•••当t=——时，△EFK的面积最大，2最大面积为29，此时K（—?,色）4 2814分4•如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABC0,其顶点为A(0,1)、B(-33,1)、C(-3岛,4価0)、0(0,0).将此矩形沿着过E(—V3,1)、F(—3,0)的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B、C.(1)(2)(3)求折痕所在直线EF的解析式；一抛物线经过B、E、B三点，求此二次函数解析式；能否在直线EF上求一点P,使得APBC周长最小？如能,求出点P的坐标；若不能，说明理由.4./1/2BE/1ACF/.-5-4-3F・2-1o/-1-2~]Px解：(1)由于折痕所在直线EF过E(-J3，…(-孚,0)•••tan/EFO=.3，直线EF的倾斜角为60°=tan60[x—(—.3)]•直线EF的解析式为：y-化简得：y=、、3x+4(2)设矩形沿直线EF向右下方翻折后，B、C的对应点为B(X1,y)C'(x2,y2)过B、作BA'丄AE交AE所在直线于A.点TBE=BE=2、、3,/BEF=/BEF=60°BEA=60°,•AE=V3,BA=3•A与A.重合，B'在y轴上，•X1=0,y1=—2，即B'(0,—2)【此时需说明B.(x1,y1)在y轴上】2设二次函数的解析式为：y=ax+bx+c•••抛物线经过B(—3(3,1)、E(—(3,1)、B(0,—2)27a—3.3b+c=13a—3b+c=1r1a=-一3解得《b=——<33124L•••该二次函数解析式为：y=—丄x—、3x—29分33(3) 能，可以在直线EF上找到P点，连接BC交EF于P点，再连接BP由于BP=BP,此时点P与C、B'在一条直线上，故BP+PC=BP+PC的和最小由于为BC定长所以满足△PBC周长最小.10分设直线BC的解析式为：y=kx+b解得丿0=—3j3k+b-2巧k=—9b=—2•直线2：3BC的解析式为：y=—9x—2又•••点P为直线BC与直线EF的交点23ox—29y=J3x+4解得x=-叭31110y=1112分Cx14分•••点P的坐标为1111。