求解多元条件最值问题的常用策略.pdf

第 7朝 O解题思路与方法O 高中数学教与学 求禳多元条件最值问题的常用策酪 林／ J、 庆 ( 浙江省嵊州爱德外国语学校 ， 3 1 2 4 0 0 ) 最值问题是高中数学中永恒的话题． 在 最值求解中， 尤以求多元条件最值问题技巧 性 强 、 难 度大 、 方法 多、 灵活 多变 而具有 挑 战 性 ， 成为最值求解中的难点和热点．求多元条 件最值的常用策略有 ： 函数策略、 方程策略、 不等式策略、 三角函数策略、 解析几何策略． 具体运用这些策略时有消元、 换元、 数形结合 等手段 ， 本文结合例题将这些策略和方法加 以总结 ， 供大家参考． 一、二元条件最值 问题 例 1 已知正实数 x , y 满足上 +- 三 -=1 ， ． 1 0 Y 则 +Y的最小值为— — ． 解法 1 ( 函数策 略) ． 由 ÷ + ÷_ 1 ，得 y = ， 戈 V 一 I 代人 +y ， 得 +Y= + ． 令t = 一 1 ， 得 + Y = 十 ÷ + 1 0 ， 利用 基本不等式可得最小值为 1 6 ． 解法2( 方程策略) 令 +Y： ， 则y：￡ 一 ， 代入 + ： 再 Y 1 ， 得方程 +( 8一t ) x+ t=0 ， 注意此方程有 两大于 1 正根这个隐含条件， 可得 t ≥ 1 6 ． 解法 3 ( 不等式策略) + ) ， ： f 1+ 旦 ) ( + y ) 、 ：1 0+上 +堕 Y ≥ 10 + 2 √ ÷ · 9__yEx = 16 , 当且仅当Y=3 x即 =4 ， Y=1 2时取等号． 评注 当题中有两个或两个以上的变量 ( 或未知数)且约束条件方程个数少于变量 个数时， 要同时求出它们的值是做不到的． 如 果能先消去一些变量 ( 或未知数)使其减少 到一个 ， 建立函数或方程关系， 则便于找到解 题 途径． 例 2( 2 0 1 1 年浙江高考题)设 ， Y为实 数， 若4 + y 2 + x y=1 ， 则2 + Y 的最大值是 解法 1 ( 不等式策略)由条件， 可得 ( 2 x+y ) 。

4 x +y +4 x y =1 + 3 y = l + 号 · 2 · ≤ +寻 () ． 所 以( 2 +y ) ≤ 8，l~ p ( 2 + ) ， ) 一 =2丁 4 i -~． 解法2 不等式策略)当x y≠0时， ( 2 x+y ⋯‘ =1+ 三 +上+ 1 — — + + Y ．． 3 8 ≤ + — — 一 · 2 ．上+ 1 5 当x y=0时， 易知( 2 x+ y ) =4 x +Y + 4 x y = 1 ． 所以 ( 2 +， ， ) 一 =2—, ／ i_．-~ 解法3 ( 方程策略) 令2 x + y=t ， 则， ， = t 一2 x ， 代人已知条件， 并化简得 6 x 一3 t x+t 高中般学教与学 2 0 1 5年 一1=0 ． 因为 为实数， 所以由△=9 t 一 2 4 ( t 一1 )≥0 ， 得 t 2 ≤ 8 ，所 以 一 ： ． 评注 本题条件可看作动点 P( ， Y ) 在 曲线4 + + x y=1 上移动， 令 2 +Y=t ， 则直线2 + Y=t 和曲线4 + ， ，2 + x y：1 有 交点． 这种类型的题 目在近几年各省市的高 考卷中出现频率很高， 掌握了解法 3 这一通性 通法 ， 可以以不变应万变． 可见通性通法， 淡 化特殊技巧是高考的基本要求． 二、 三元条件最值 问题 例 3 ( 2 0 1 4年浙江高考题)已知实数 口 、 b 、 c 满足 口+b +c=0 ， a + b + c =1 ， 贝 Ⅱ 0 的 最大值一 分析 1 ( 方程策略)将两个 已知条件中 的c 消去， 整理成关于b 的一元二次方程， 联想 到方程有解 ， 判别式恒大于或等于0 ， 得到关 于 a的不等式， 求解后即得 n的最大值． 解法 1 ( 判别式法) 将 c：一( a+b ) 代 入 a +b +c =1 ， 得 2 6 +2 a b+2 口 一1= 0 ． 此关于 b的方程有实数解 ， 则 A =( 2 口 ) 一 8 ( 2 口 一1 )≥0 ， 整理得 口 ≤ 2 ，即 一 ≤ 0 J j ≤ ， 所以口的最大值为 ． J 分析2 ( 不等式策略)将两个 已知条件 中c 的消去， 整理成关于a ， b 的式子， 联想到基 本不等式2 a b≤n +b 转化为关于 口的不等 式， 求解后即得 口的最大值． 解法 2 因为 b+c=一a ， 所 以 1一口 = b +c =( b+c ) 一2 b c：a 。

一2 b c ， 所 以 2 口 一1 = 2 6 c ≤b + c = 1 一 口 ， 得一 V - ≤口 ≤ J ，所以口的最大值为 ． J _ ) 分析 3 ( 三角函数策略)将两个 已知条 件中的c 消去 ， 整理成关于a ， b 的等式 ， 配方后 根据式子的结构特征联想到三角换元 ， 利用 正弦函数的有界性即得 的最大值． 解法 3 将 c=一( a+b )代人 口 +b + ．】 4 ． c2=l ， 得 口 6= 1，整理得口 2 +6 ’ + 口 6 = ( 号 + 6 ) + 鲁 B 2 ； ÷ ． 令 号+ 6 = C O S O,譬 = 譬 sin 测 口 = 3 si‘n O ,所 以 口的最大值为 ． 解法4 由条件得 b +c =1 一a ． 令 b= 8 i n 0 ， c= = c o s ，代入 口+b+ c=0 ． 当^ ／ ／ l 一 Ⅱ ≠0时， 解得 s tn ( 日 + 詈 ) 一高， 即 l sin ( + 詈 ) l= l一 I≤ ， 解得 2 ≤了 2，e P 一 ≤。

≤ ， 所以 口 的 最大值为 分析4( 解析几何策略)通过变形可以 转化为圆的问题和椭圆的问题来解决． 解 法 5 令 b= ， c=y ， 贝 0 + Y=一口 ， +Y =1一a ． 此时直线 +Y=一口与圆 +) ， =1一a 有交点， 则圆心到直线的距离 d = ≤ ， 得 n ≤ ， 即 一 ≤ n ,／ 2 j j ≤ T ， 所以口的最大值为 ． 评注 此题立足函数和不等式的基本概 念和性质， 涵盖知识面广， 从等式、 不等式 、 三 角函数、 解析几何等不同的策略经过仔细思 考， 运用不同的知识和方法产生 了不 同的解 法， 涉及函数与方程思想、 等价转化思想等数 学思想． 例4设正实数 ， Y ， 满足 一3 x y+4 一：=0 ， 则当型 取得最大值时， 三 + 一 三 的 ^ ' ^ 最大值为( ) ( A) 0( B ) l ( c ) 9( D) 3 分析 1 ( 函数策略) 第 7朝 先利用 已知条件 用 ， Y来 表不 ， 再 经过 变形， 转化为基本不等式的问题． 取等号的条 件可直接代入 +一 1 一一 2，进而再利用二次 函数配方求出 +一 1一一 2 的最值 解法 1 由条件 ， 得 = 一3 x y+4 ． 所 以x y = ：— — — — 一 旦 4y一3 — — 上 一 Y ≤ ———= = - _： l。

2 F -．一 3 V Y 当且仅当 ： ， 即 ：2 y时取等号， 此时； =2 ，，2 ， ( ) 一=·． + 弓 _ 一 ÷ = 一 + =一( 1 一 1 ) + 1 ≤ 1 ， 当 且 仅 当 y = 1 时 取 最 大值． 故选 B ． 分析2( 不等式策略) 先利用已知条件用 ， Y来表示 z ， 再经过 变形， 转化为基本不等式的问题． 取等号的条 件可直接代人 +一 1 一一2 ，进 而再利用基本 不等式求出 +一 1 一一 2 的最值 解 法2 同 解 法1 ， 知 孚取 最大 值时， 有 ： 2 )，， ： 2 ，， ， ( ) 一=l ·故 取最大值 高中教学教与学 量较多． 如果能够采取合理的手段消元， 使变 量减少甚至 只剩 下一 个 变量 ， 则 问题 往往 迎 刃而解． 消元法是求多元条件最值的最基本 方法， 遇到此类问题时， 首选之法就是通过消 元转化 为 函数解 决． 需 特 别 提醒 的是 ， 消 元 后， 留下的元( 变量或未知数)的取值范围往 往并不是任意 的， 而要根据题设条件挖掘出 来 ， 而这往往成为解题成败 的关键 ． 三、 四元条件最值问题 例 5若实数 a , b 、 c , d满足( b+口 一3 1 n 口 ) +( c— d+ 2 ) ：0 ， 贝 U ( 口一c ) +( b —d ) 的最小值为——一 分析 ( 函数策略) 本题可采用数形结合思想 ， 把隐含的条 件显露出来， 使看似一筹莫展 的问题柳暗花 明． 解 由已知 ， 得 b = 一 口 +31 n口． d = c+2 ． 视( 口 ， 6 ) ， ( c ， d ) 为x O y 平面上两点坐标 ， 则问题等价于求直线 f ： ) ， = +2上的点与函 数 Y=一 +3 1 n 的图象上点距离的平方的 最小值． 由图象易知 ， 与直线 f 平行且与曲线 Y =一 + 3 I n 相切的直线 f 0 与直线z 之间的距 离的平方 ， 即为所求最小值． 设切点( 。

， Y o ) ， 则由Y = 一 2 x + ÷， 知 一2 + = 1 ， 解得 1 ． ． ．切点为 ( 1 ， 一 0 1 ) ． ．·．( 0一C ) + ( b—d ) 的 最 小 值 为 盹2 ．1 2 2 ．1 2 ( ) = 8 、 ， 一+ 一一一 ：．+一一一 一 Y z Y Y Y 评注 本题形式简洁而独具匠心， 较好 手 ( 1 一 ÷ ) 号 (1 一 ) 蒿 耋 翥 雯 吴 妻 ≤ 4I．It + 1 一 寿l ： 1 ． 运 算 ， 比 较 难 于 找 出 问 题 韵 本 质 所 在 · 可 见 ， — — —J 在平常的 教学中 要重视培养学生寻找数学问 故选 B ． 题的本质． 评注 多元条件最值难求 ， 原因在于变 ·1 5 · 。