三维热传导模型.doc

1. 热传导模型的控制方程热传导模型的控制方程在移动直角坐标系内，热传导方程为(1)为了处理问题的方便，改用移动柱坐标系（r,θ,z） 对方程（1）作坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，z=z 可变为(2) 整理后，可得(3)式中α=k/(ρcp)2. 热传导模型的边界条件热传导模型的边界条件(1) 离光斑无穷远处，工件的温度维持室温 Ta该边界条件的数学表述如下当 r→∞（0≤θ≤2π）时，T=Ta (2) 设工件表面光斑大小为 rb，则工件表面被激光直接辐照的区域内（即工件表面的 光斑内）的点的温度可以通过下式得出：(4)zTkAI上式中，A 为工件表面对激光的吸收系数，I 为加工中用的激光光束的功率分布函数， 设 P 为入射到工件表面的激光功率,对高斯光束而言, 距离光斑中心 r 的点的激光功率密度 为(5)   2222exp2bbrr rPI把(5)式代入(4),有(6)   2222exp2bbrr krAP zT 3. 热传导模型的有限差分方程的建立热传导模型的有限差分方程的建立(1) 计算区域的确定及网格划分计算区域的确定及网格划分由于有对称性（关于 x 轴） ，我们只计算 x 轴上部（即 y≥0）区域的温度分布。

网格划分及计算区域如图 1 所示2) 有限差分方程的建立有限差分方程的建立采用有限差分法对模型进行数值求解为此，必须首先把控制方程化为有限差分方程对图 1 所示的网格，假设 r、θ 和 z 方向的网格步长分别为 Δr、Δθ 和 Δz，那么采用中心差分格式时，有(7)rir) 1(0222222    xTUczT yT xTkp）＋＋（0sincos]11[22222    ）—（＋）＋（T rrTUczTT rrTrrrkp0sincos12222222      T rU rTUrzTT rrT—）＋）＋（＋（(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)把以上各式代入方程(5.3)，得(15)整理，得(16)以上有限差分方程适合于内部节点边界节点的有限差分方程则需作适当处理下面分别加以讨论  222,,2,, 1,, 1 rkjiTkjiTkjiT rT  222,,2, 1,, 1, kjiTkjiTkjiTT       02, 1,, 1,sin 2,, 1,, 1cos,,21,,1,,,,2, 1,, 1,1,,2,, 1,, 12222 kjiTkjiT rU rkjiTkjiTUrzkjiTkjiTkjiTkjiTkjiTkjiT rrkjiTkjiTkjiT      01,,,, 12cos 2, 1,2sin,,2221,,, 1,2sin,, 12cos 2222222222222         kjiTzkjiTrU rrrkjiTrU rkjiTzrrkjiTzkjiTrU rkjiTrU rrr    rkjiTkjiT rT  2,, 1,, 1) 1( j 2), 1,(), 1,(kjiTkjiTTzkr) 1(  222,,21,,1,, zkjiTkjiTkjiT zT 1.在 j=1 的对称面上的节点的有限差分方程此时 θ(i,1,k)=0。

由于是对称面，所以有(17)(a) (b) 图 5.3网格划分及计算区域示意图即(18) 亦即(19) 在有限差分方程(16)中，用 T(i,j+1,k)（即 T(i,2,k)）代替 T(i,j-1,k)（即 T(i,0,k)） ，方程变为(20)2.在 j=n 的对称面上的节点的有限差分方程此时 θ(i,n,k)=π由于其对称性，所以有01jT 02, 1,, 1, 1 jkjiTkjiT  kiTkiT, 0 ,, 2 ,0njT       01, 1 ,, 1 , 12cos 2, 2 ,2, 1 ,2221, 1 ,, 1 , 12cos 22222222222      kiTzkiTrU rrrkiTrkiTzrrkiTzkiTrU rrr (21) 即(22)亦即(23)在有限差分方程(16)中，用 T(i,n-1,k)代替 T(i,n+1,k)，方程变为(24)3.在 i=m 的边界节点的有限差分方程此时把 T(m+1,j,k)取为环境温度 Ta，则有限差分方程变为(25)4.工件表面(k=1)节点的有限差分方程把公式(6)离散化，即有02, 1,, 1, njkjiTkjiT kniTkniT, 1,, 1,      01,,,, 12cos 2,,2221,,, 1,2,, 12cos 22222222222      kniTzkniTrU rrrkniTzrrkniTzkniTrkniTrU rrr       01,,2cos 2, 1,2sin,,2221,,, 1,2sin,, 12cos 2222222222222         kjmTzTrU rrrkjmTrU rkjmTzrrkjmTzkjmTrU rkjmTrU rrra   (26)   2222exp2),,() 1,,(bbrr krAP zkjiTkjiT 上式化简，得(27)   2222exp2) 1,,(),,(bbrr krzAPkjiTkjiT5.当 k=l 时，T(i,j,k+1)=Ta6.在光斑中心(i=1)的节点的有限差分方程采用该点周围节点的平均温度来表示(28)2) 1, 1 , 1 () 1, 1 , 1 (),, 2( ),, 1 (1    nkTkTkjT kjTnj      0,, 12cos 2, 1,2sin,,2221,,, 1,2sin,, 12cos 2222222222222         aTzljiTrU rrrljiTrU rljiTzrrljiTzljiTrU rljiTrU rrr   。