新课程背景下的数学新题型研究.ppt

新课程背景下的数学新题型研究主讲：　王一柱8/27/202411一、课程改革中数学试题出现新的变化1 1、较大的变化有四个方面：、较大的变化有四个方面：Ø试题注重从现实生活中选取试题注重从现实生活中选取素材素材Ø突出对数学思想方法、应用突出对数学思想方法、应用能力和创新意识的考查能力和创新意识的考查Ø突出考查学生的突出考查学生的““数学化数学化””意识与能力意识与能力Ø突出考查基础知识与基本技突出考查基础知识与基本技能中的核心内容能中的核心内容2 2、为保证各类型题的质量，要求、为保证各类型题的质量，要求把握以下几方面：把握以下几方面：Ø选择内容的重心应是选择内容的重心应是《《课标课标》》中中最基础和最核心知识最基础和最核心知识Ø确保题目科学性、合理性确保题目科学性、合理性Ø题目文字表述应做到准确、简洁、题目文字表述应做到准确、简洁、可读可读Ø题目难度不应反映在对某个具体题目难度不应反映在对某个具体技巧的掌握及熟练程度，而应该技巧的掌握及熟练程度，而应该反映在对学生数学思维水平和对反映在对学生数学思维水平和对数学的理解与应用能力上数学的理解与应用能力上3 3、鉴于理论研究与实践需、鉴于理论研究与实践需求的现状，编制的新题要求的现状，编制的新题要在确保科学性的前提下，在确保科学性的前提下，提高新题型题目的质量。

提高新题型题目的质量 基础性基础性 公平性公平性 现实性现实性 有效性有效性二、关于具体题型的命题建议1 1、、选择题与填空题选择题与填空题——这两类试这两类试题只要求学生给出问题的最终答题只要求学生给出问题的最终答案，属于客观性试题案，属于客观性试题特点：特点：（（1 1）较多地用于对基本数学事实、）较多地用于对基本数学事实、数学技能和数学方法的考查数学技能和数学方法的考查（（2 2）陈述试题的语言较为简练、）陈述试题的语言较为简练、明确明确（（3 3）可以用多种表达方式命题，）可以用多种表达方式命题，包括文字、图象与代数符号等包括文字、图象与代数符号等|缺陷：缺陷：（（1 1）由于学生解答过程无）由于学生解答过程无法提供，难以了解学生起法提供，难以了解学生起初的数学理解状况初的数学理解状况（（2 2）如果选择题所暴露的）如果选择题所暴露的解题信息较多，可能影响解题信息较多，可能影响题目的信度题目的信度|例例1 1 下列各图中，每个正方下列各图中，每个正方形网格都是由四个边长为形网格都是由四个边长为1 1的的小正方形组成，其中阴影部分小正方形组成，其中阴影部分面积为面积为　　　　的是的是 （（ ））ABCD点评点评|该题立意好，考查了学生对该题立意好，考查了学生对图形进行分解、组合的基本图形进行分解、组合的基本技能，学生在解决问题过程技能，学生在解决问题过程中既可以利用计算求解，还中既可以利用计算求解，还可以利用图形的特征求解，可以利用图形的特征求解，这使得不同认知特点的学生这使得不同认知特点的学生都能够找到适合自己思考特都能够找到适合自己思考特点的解题思路。

另外，本题点的解题思路另外，本题表述也非常简洁表述也非常简洁例2 点评点评 |要证明一个四边形是菱形，可要证明一个四边形是菱形，可以先证明这个四边形是以先证明这个四边形是 形，形，再证明这个四边形是再证明这个四边形是 （只需填写一种方法）只需填写一种方法） |该题的求解过程主要表面为知该题的求解过程主要表面为知识的再现识的再现————对菱形定义的复对菱形定义的复制，这种制，这种““单纯考查学生对知单纯考查学生对知识的记忆与复述识的记忆与复述””的试题，不的试题，不值得提倡值得提倡2 2、计算（求解）类问题、计算（求解）类问题——目标指向目标指向清晰，对解题所需的数学知识、方清晰，对解题所需的数学知识、方法、有比较明确的提示，解题活动法、有比较明确的提示，解题活动靠的是回忆，严格按程序操作，不靠的是回忆，严格按程序操作，不出现无意识错误就行出现无意识错误就行Ø特点：特点：　（　（1 1）可以提供完成运算任务的背景）可以提供完成运算任务的背景意义，解题过程存在不同的算法供意义，解题过程存在不同的算法供学生选择学生选择　（　（2 2）运算种类、步骤、复杂程度都）运算种类、步骤、复杂程度都不会超过不会超过《《课标课标》》要求。

要求Ø缺陷：　不适宜用于考查对概念与缺陷：　不适宜用于考查对概念与方法的理解方法的理解例3 |一家工厂生产某种产品，每件产品的出厂一家工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为价为5050元，其成本价为元，其成本价为2525元，因为在生产元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有过程中，平均每生产一件产品有0.50.5立方立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两米污水排出，为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施种方案对污水进行处理，并准备实施方案方案1 1：工厂污水先净化处理后再排出，：工厂污水先净化处理后再排出，每处理每处理1 1立方米污水所用原料费为立方米污水所用原料费为2 2元，并元，并且每月排污设备损耗费为且每月排污设备损耗费为3000030000元方案方案2 2：工厂将污水排到污水厂统一处理，：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理每处理1 1立方米污水需付立方米污水需付1414元的排污费元的排污费若该工厂每月生产量为若该工厂每月生产量为60006000件产品，那么，件产品，那么，在不污染环境，又节约资金的前提下，厂在不污染环境，又节约资金的前提下，厂家应选用哪种处理污水的方案？请通过计家应选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明。

算加以说明点评点评 |将计算融入解决问题之将计算融入解决问题之中，使得计算与答案都中，使得计算与答案都富有意义，具体运算不富有意义，具体运算不复杂，而且联系环保问复杂，而且联系环保问题，有利于培养学生应题，有利于培养学生应用数学的意识用数学的意识 例4 点评点评 |已知已知= =　　＝　　　　，求　　＝　　　　，求　　　　　　÷÷（　　－（　　－x x－－2 2））的值该题属于纯粹的计算试题，且该题属于纯粹的计算试题，且所涉及的计算步骤、复杂程序所涉及的计算步骤、复杂程序均超过均超过《《课标课标》》的要求特点3 3、证明题、证明题——提供的条件与结论提供的条件与结论较明确，学生主要任务是填补较明确，学生主要任务是填补条件与结论之间的数学逻辑关条件与结论之间的数学逻辑关联1 1）答题活动中含有寻找数学）答题活动中含有寻找数学　逻辑关联的探索性活动　逻辑关联的探索性活动2 2）答题过程有对相关数学证明）答题过程有对相关数学证明方法，证明技能的有效应用方法，证明技能的有效应用3 3）还可以蕰涵对问题不同角度，）还可以蕰涵对问题不同角度，不同方式的表达不同方式的表达缺陷（（1 1）解题目标已经给定，学生没）解题目标已经给定，学生没有表达自己对问题情境的理解有表达自己对问题情境的理解水平。

水平2 2）难以考查学生探索问题的结）难以考查学生探索问题的结论或发现归纳的能力论或发现归纳的能力例5 点评点评 在在△ABC△ABC中，中，D D为为BCBC边上的中点延长边上的中点延长ADAD到到E E，，使得使得DE=DE=　　　　ADAD，，连结连结CECE交交ABAB的延长线于的延长线于P P求证：求证：AP=3ABAP=3AB该题所牵涉到的数学对象比较丰富、该题所牵涉到的数学对象比较丰富、所提供的数学结论具有较为明显的所提供的数学结论具有较为明显的一般意义；解决问题的策略多样，一般意义；解决问题的策略多样，包括添加的有效辅助线、需要使用包括添加的有效辅助线、需要使用的定理等；具体证明过程不需要特的定理等；具体证明过程不需要特殊的技巧殊的技巧 例6 　　如图，在矩形　　如图，在矩形ABCDABCD中，中，AD=aAD=a，，AB=bAB=b，，将该矩形沿着将该矩形沿着BDBD折叠，折叠，点点C C落于落于C′C′处，处，BC′BC′交交ADAD于于E Esin∠ABE=sin∠ABE=　　，　　，关于关于x x的方程的方程x x2 2－－8(b-1)x+4a8(b-1)x+4a2 2-48=0-48=0的两个实的两个实根之差的平方等于根之差的平方等于240240：若：若a a，，b b都为整数，则反比例函数都为整数，则反比例函数y=y=　　　　　　的解析式为的解析式为xyxy=3=3。

BDCAEC’点评 该试题的背景条件繁杂，其间该试题的背景条件繁杂，其间　没有实质意义上的联系，结论　没有实质意义上的联系，结论也不具备很好的数学含义，求也不具备很好的数学含义，求解策略空间很小，证明过程基解策略空间很小，证明过程基本上是数学语言的转换，而过本上是数学语言的转换，而过程却很复杂程却很复杂4 4、应用性问题－－有利于考查学生数、应用性问题－－有利于考查学生数学建模的能力，对相应知识与方法学建模的能力，对相应知识与方法的理解水平，解决问题的意识与能的理解水平，解决问题的意识与能力，有助于促进学生体会数学的价力，有助于促进学生体会数学的价值1 1）问题背景是现实的）问题背景是现实的（（2 2）问题内容以及叙述方式是学生可）问题内容以及叙述方式是学生可理解的理解的（（3 3）问题的内涵丰富而有价值的）问题的内涵丰富而有价值的（（4 4）情景与表达富有挑战性和趣味性）情景与表达富有挑战性和趣味性特点特点注意点由于每位学生成长经历的差异，由于每位学生成长经历的差异，有时难以找到对所有学生而言有时难以找到对所有学生而言是具有共同体验的实际问题，是具有共同体验的实际问题，因而使考试的公平性遭到损害。

因而使考试的公平性遭到损害有些文字题不能当作有些文字题不能当作““应用性试应用性试题题””，学生在此只把非数学语，学生在此只把非数学语言转化为数学语言后就是做计言转化为数学语言后就是做计算题或证明题算题或证明题 例7 标准田径场跑道的周长为标准田径场跑道的周长为400400米，米，通常包括通常包括6 6——8 8条跑道，每一条条跑道，每一条跑道由两段直线跑道和两段半跑道由两段直线跑道和两段半圆型跑道组成，其中每段直线圆型跑道组成，其中每段直线跑道长约跑道长约85.9685.96米，最里面一圈米，最里面一圈跑道的一段半圆形弧长约跑道的一段半圆形弧长约114.04114.04米，而每一条跑道的宽米，而每一条跑道的宽均为均为1 1米你注意到了吗米你注意到了吗————不不同跑道的起跑线是不一样的，同跑道的起跑线是不一样的，它们之间的差距满足什么样的它们之间的差距满足什么样的数学关系？数学关系？点评 此题背景为学生日常可见的现象，此题背景为学生日常可见的现象，能够很好地体现数学就在身边能够很好地体现数学就在身边问题则是现实的，却又常常容问题则是现实的，却又常常容易忽略的一个现象，能够引发易忽略的一个现象，能够引发学生求解的欲望，问题的求解学生求解的欲望，问题的求解过程虽然不复杂，但却含有对过程虽然不复杂，但却含有对若干基本数学概念的理解、数若干基本数学概念的理解、数学关系的转换。

学关系的转换例8某学校的篮球数比排球数的某学校的篮球数比排球数的2 2倍多倍多2 2，篮球数与排球数之差是，篮球数与排球数之差是1616，，那么，该校的篮球数、排球数分那么，该校的篮球数、排球数分别是多少？别是多少？该题只能用于数学语言使用水平该题只能用于数学语言使用水平的考查，不能用作学生应用数学的考查，不能用作学生应用数学能力的考查能力的考查5 5、阅读分析题－－有利于评价学、阅读分析题－－有利于评价学生获取数学信息及其数学学习生获取数学信息及其数学学习的能力，以及从已有信息中做的能力，以及从已有信息中做出合理推断的能力出合理推断的能力1 1）问题的背景往往隐含着重要）问题的背景往往隐含着重要的数学概念、性质或关系的数学概念、性质或关系2 2）问题中能以新的数学对象）问题中能以新的数学对象 （如：法则、概念、公式、命（如：法则、概念、公式、命题）做为主要研究对象，侧重题）做为主要研究对象，侧重对变化现象的研究，对变化关对变化现象的研究，对变化关系的理解系的理解特点特点特点注意点注意点（（3 3）问题的挑战性落实在研究对象的实）问题的挑战性落实在研究对象的实际意义上（不能因阅读方面的障碍导致际意义上（不能因阅读方面的障碍导致学生答题困难）。

学生答题困难）4 4）图表阅读题，要求通过图表阅读获）图表阅读题，要求通过图表阅读获得的信息应当超越借助代数运算获得的得的信息应当超越借助代数运算获得的结论，要求学生做一些合理的预测、推结论，要求学生做一些合理的预测、推断 （（1 1）不要因所选择的）不要因所选择的““阅读对象阅读对象””自身自身的内容和表达的方式影响学生解答的内容和表达的方式影响学生解答2 2）图表阅读类型问题有时可能会影响）图表阅读类型问题有时可能会影响考查学生认识对象的精确性考查学生认识对象的精确性例9 若一个图形绕着一个定点旋转一若一个图形绕着一个定点旋转一个角个角a(0°

图略）图略） 点评 该试题所探讨的是一个生活中的该试题所探讨的是一个生活中的现象，但其中却隐含着重要的现象，但其中却隐含着重要的数学概念，而且问题的挑战性数学概念，而且问题的挑战性落实在对现象中数学关系的概落实在对现象中数学关系的概括，以及对所获得的关系的准括，以及对所获得的关系的准确应用它既是将考试过程视确应用它既是将考试过程视为一种学习过程（值得提倡），为一种学习过程（值得提倡），也可以考查学生通过阅读获取也可以考查学生通过阅读获取数学知识的能力数学知识的能力 例10 |骆驼被称为沙漠之舟，它的体温随骆驼被称为沙漠之舟，它的体温随 外部环境温度的变化而变化，下图外部环境温度的变化而变化，下图表现了一峰骆驼在两昼夜之间体温表现了一峰骆驼在两昼夜之间体温变化情况图略，近似抛物线）变化情况图略，近似抛物线）|⑴⑴一天中，骆驼体温的变化范围是一天中，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？需要多少时间？|⑵⑵在什么时间范围内骆驼的体温是在什么时间范围内骆驼的体温是上升的？在什么时间范围内骆驼的上升的？在什么时间范围内骆驼的体温是下降的？体温是下降的？|⑶⑶如果以后两天环境温度没有什么如果以后两天环境温度没有什么变化，你能画出这峰骆驼体温变化变化，你能画出这峰骆驼体温变化的大致图象吗？的大致图象吗？|⑷⑷编一个与函数相关的问题，使得编一个与函数相关的问题，使得其中的变量之间关系能够用这张图其中的变量之间关系能够用这张图来表示。

来表示点评 该题的背景富有现实性，其中的该题的背景富有现实性，其中的数据、图象都有意义；问题的数据、图象都有意义；问题的求解既需读图的技能，也需要求解既需读图的技能，也需要基本数学运算技能，还牵涉到基本数学运算技能，还牵涉到对函数基本概念的应用；特别对函数基本概念的应用；特别地，问题地，问题⑶⑶与与⑷⑷并非直接读图并非直接读图就可以得到答案，而需要对该就可以得到答案，而需要对该图象有一个整体把握，以获得图象有一个整体把握，以获得超越图象本身的结论超越图象本身的结论 例11 某基金在申购和赎回时，其费率某基金在申购和赎回时，其费率分别按下表计算：分别按下表计算： 申购金额（申购金额（M M））/ /万元万元 申购费率申购费率 赎回费率赎回费率 M≤100 M≤100 2.0% 2.0% 0.5% 0.5% 100<100

赎回费甲于某日持申购金额甲于某日持申购金额10 355.1010 355.10元申购元申购本基金，当日基金单位资产净值为本基金，当日基金单位资产净值为1.014 81.014 8；一段时间后，甲在赎回本基；一段时间后，甲在赎回本基金时，当日基金单位资产净值为金时，当日基金单位资产净值为1.086 1.086 8 8则甲在此基金的申购和赎回过程中则甲在此基金的申购和赎回过程中赚了赚了 元点评 本题出现了本题出现了5 5个经济学术语及其解个经济学术语及其解释，对考生来说，不容易理解，释，对考生来说，不容易理解，从而影响答题；问题的求解基从而影响答题；问题的求解基本上是套用公式，纯属本上是套用公式，纯属““烦琐烦琐的背景，简单的数学的背景，简单的数学””特点6 6、探索题、探索题 －－有利于考查学生的数学实－－有利于考查学生的数学实践能力、探索能力，适合于考查学生践能力、探索能力，适合于考查学生““做数学做数学””与从事与从事““数学化数学化””活动的能力；活动的能力；评价学生从事归纳、类比、概括、推理评价学生从事归纳、类比、概括、推理等思维活动的水平，检查学生自我反思等思维活动的水平，检查学生自我反思能力。

能力⑴⑴试题背景具有实际意义，而不仅仅是探试题背景具有实际意义，而不仅仅是探索归纳一列数字特征索归纳一列数字特征2 2）允许借助直觉思维或对问题的整体）允许借助直觉思维或对问题的整体把握而直接获得合理的猜测把握而直接获得合理的猜测 特点注意点⑶⑶试题的设问能引发学生对自我试题的设问能引发学生对自我思考过程的反思思考过程的反思⑷⑷试题的评分标准总会考虑到多试题的评分标准总会考虑到多 种合理性答案及其评分规定种合理性答案及其评分规定5)(5)探索过程可借助计算器、简便探索过程可借助计算器、简便模具等难度不易把握、制定评分标准时难度不易把握、制定评分标准时难于全面估计难于全面估计例12 | 将一把三角尺放在边长为将一把三角尺放在边长为1 1的正方形的正方形ABCDABCD上，并使它的直角顶点上，并使它的直角顶点P P在对角线在对角线ACAC上滑上滑动，直角的一边始终经过点动，直角的一边始终经过点B B，，另一边与另一边与射线射线DCDC相交于点相交于点Q Q，设，设A A，，P P两点间的距离两点间的距离为为x x⑴⑴当点当点Q Q在边在边CDCD上时，线段上时，线段PQPQ与线段与线段PBPB之之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；的结论；|⑵⑵当点当点Q Q在边在边CDCD上时，设四边形上时，设四边形PBCDPBCD的面的面积为积为y y，求，求y y与与x x之间的函数解析式，并写之间的函数解析式，并写出函数的定义域；出函数的定义域；|⑶⑶当点当点P P段段ACAC上滑动时，上滑动时，△PCQ△PCQ是否可是否可能成为等腰三角形能成为等腰三角形; ;如果可能如果可能, ,指出所有能指出所有能使使△PCQ△PCQ成为等腰三角形的点成为等腰三角形的点Q Q的位置，并的位置，并求出相应求出相应的的x x的值；如果不可能，试说明的值；如果不可能，试说明理由。

理由 |（图（图⑴⑴、、⑵⑵、、⑶⑶的形状大小相同，的形状大小相同，图图⑴⑴供供操作实验用，操作实验用，图图⑵⑵和图和图⑶⑶备用）备用）点评 该题正确地将探索对象定位于该题正确地将探索对象定位于““一个变化过程中变量之间关系一个变化过程中变量之间关系””，探索过程与方式较好地体，探索过程与方式较好地体现出现出““数学化数学化””的倾向；学生的倾向；学生的求解过程能够反映出他对于的求解过程能够反映出他对于现象中数学关系的把握水平；现象中数学关系的把握水平；猜想的获得可借助对运动本身猜想的获得可借助对运动本身的整体把握获得，而对于猜想的整体把握获得，而对于猜想的证明则必须依赖于对运动过的证明则必须依赖于对运动过程本身的数学思考程本身的数学思考 ABCD图(3)ABCD图(2)图(1)DCBA例13点评点评 用尺规作图的方式画一个正好有两条对称用尺规作图的方式画一个正好有两条对称轴的六边形，写出作图过程，解释答案轴的六边形，写出作图过程，解释答案的正确性的正确性本题的着眼点落实在对具体作图过程的数本题的着眼点落实在对具体作图过程的数学分析，所讨论的对象又是较为重要的学分析，所讨论的对象又是较为重要的数学关系，且对说理方式与程度的要求数学关系，且对说理方式与程度的要求恰当；学生在解题过程中也需要在对相恰当；学生在解题过程中也需要在对相应数学关系（对称等）做必要的考察基应数学关系（对称等）做必要的考察基础之上，做适当的础之上，做适当的““数学化数学化””活动，但活动，但该题的难度较大。

该题的难度较大 例14点评 观察下列各式：观察下列各式：1 12 2+1=1+1=1×2,22,22 2+2=2+2=2×3,33,32 2+3=3+3=3×3 3，，……请你将猜想到数学规律用自然数请你将猜想到数学规律用自然数n n表示出来表示出来 （（n≥1n≥1））该题只是一种形式上的探索题，该题只是一种形式上的探索题，对绝大多数学生而言，该试题对绝大多数学生而言，该试题的求解过程实际上只是一种简的求解过程实际上只是一种简单的数学运算，不存在探索的单的数学运算，不存在探索的味道，也没有出现不同解题策味道，也没有出现不同解题策略的可能性略的可能性 特点7 7、开放性问题－－能提供每一位、开放性问题－－能提供每一位学生用自己掌握的知识、熟悉学生用自己掌握的知识、熟悉的方式去表达对问题的理解的的方式去表达对问题的理解的机会，有利于考查学生直觉思机会，有利于考查学生直觉思维和发散思维的活动水平维和发散思维的活动水平⑴⑴问题的问题的““开放性开放性””落实在所提落实在所提供的条件具有不确定性、解决供的条件具有不确定性、解决问题的策略多样化、不同但合问题的策略多样化、不同但合理的答案个数不确定、问题结理的答案个数不确定、问题结构的可改变性等方面。

构的可改变性等方面 特点注意点⑵⑵能使不同的学生都能够给出自能使不同的学生都能够给出自己对问题的理解、解答己对问题的理解、解答⑶⑶问题本身或求解过程中涉及丰问题本身或求解过程中涉及丰 富而重要的数学概念、数学思富而重要的数学概念、数学思想方法⑷⑷评分标准可照顾到不同学生的评分标准可照顾到不同学生的差异性 评分标准制定和对阅卷者数学素评分标准制定和对阅卷者数学素养要求都较高养要求都较高例15 校运动会名次问题：在某校举行的一次校运动会中，初中各班的成绩如下表所示： 班班 级级 初一初一⑴ ⑴ 初一初一⑵⑵ 初二初二⑴⑴初二初二（（2 2））初三初三⑴⑴初三初三⑵⑵金牌数金牌数 6 69 99 96 63 39 9银牌数银牌数 8 87 79 97 79 92 2铜牌数铜牌数 10106 64 4101012120 0获第四获第四名的人名的人次次 6 610106 67 710103 3获第五获第五名的人名的人次次9 98 81 17 78 89 9获第六获第六名的人名的人次次 9 96 67 712120 08 8(1)请设计不同的计分规则,给出班级排名,并说明规则的特点.(2)如果希望在评分标准中既反映团队的作用,又突出金、银、铜牌的比重，可以采用什么规则。

点评 此题背景为学生所熟悉，而获得此题背景为学生所熟悉，而获得 问题结论的途径不惟一，具有问题结论的途径不惟一，具有很强的开放性，使得学生的思很强的开放性，使得学生的思考可以从多个角度展开；学生考可以从多个角度展开；学生解决问题的过程可以反映出分解决问题的过程可以反映出分析数据、处理数据的能力；而析数据、处理数据的能力；而问题要求学生对各种记分规则问题要求学生对各种记分规则进行比较，归纳出各自的特点，进行比较，归纳出各自的特点，可以考查学生对数据结果含义可以考查学生对数据结果含义的认识及对相应统计量的理解的认识及对相应统计量的理解程度，特别地，问题程度，特别地，问题⑵⑵要求学要求学生根据具体情况选择方案，又生根据具体情况选择方案，又考查了考查了““权重权重””概念 例16点评 在直角坐标系内，若点在直角坐标系内，若点P P的纵坐标是的纵坐标是横坐标的横坐标的3 3倍，过点倍，过点P P的一次函数解的一次函数解析式可能是什么？析式可能是什么？题意不够明确，点题意不够明确，点P P是否为动点，对是否为动点，对问题的答案有实质性影响，而学生问题的答案有实质性影响，而学生一般不可能对此加以讨论，本题不一般不可能对此加以讨论，本题不是真正意义上的开放题是真正意义上的开放题————没有本没有本质不同的答案。

质不同的答案| 谢谢。