实验三 课程名称：算法设计与实现 实验名称：贪心算法-找零问题 实验日期：2019年5月2日 仪器编号：007 班级：数媒0000班 姓名：郝仁 学号 实验内容假设零钱系统的币值是{1，p,p^2,……，p^n},p>1,且每个钱币的重量都等于1，设计一个最坏情况下时间复杂度最低的算法，使得对任何钱数y，该算法得到的零钱个数最少，说明算法的主要设计思想，证明它的正确性，并给出最坏情况下的时间复杂度实验分析引理1（离散数学其及应用3.1.4）：若n是正整数，则用25美分、10美分、5美分和1美分等尽可能少的硬币找出的n美分零钱中，至多有2个10美分、至多有1个5美分、至多有4个1美分硬币，而不能有2个10美分和1个5美分硬币用10美分、5美分和1美分硬币找出的零钱不能超过24美分证明如果有超过规定数目的各种类型的硬币，就可以用等值的数目更少的硬币来替换注意，如果有3个10美分硬币，就可以换成1个25美分和1个5美分硬币；如果有2个5美分硬币，就可以换成1个10美分硬币；如果有5个1美分硬币，就可以换成1个5美分硬币；如果有2个10美分和1个5美分硬币，就可以换成1个25美分硬币。
由于至多可以有2个10美分、1个5美分和4个1美分硬币，而不能有2个10美分和1个5美分硬币，所以当用尽可能少的硬币找n美分零钱时，24美分就是用10美分、5美分和1美分硬币能找出的最大值假设存在正整数n，使得有办法将25美分、10美分、5美分和1美分硬币用少于贪心算法所求出的硬币去找n美分零钱首先注意，在这种找n美分零钱的最优方式中使用25美分硬币的个数q′，一定等于贪心算法所用25美分硬币的个数为说明这一点，注意贪心算法使用尽可能多的25美分硬币，所以q′≤q但是q′也不能小于q假如q′小于q，需要在这种最优方式中用10美分、5美分和1美分硬币至少找出25美分零钱而根据引理1，这是不可能的由于在找零钱的这两种方式中一定有同样多的25美分硬币，所以在这两种方式中10美分、5美分和1美分硬币的总值一定相等，并且这些硬币的总值不超过24美分10美分硬币的个数一定相等，因为贪心算法使用尽可能多的10美分硬币而根据引理1，当使用尽可能少的硬币找零钱时，至多使用1个5分硬币和4个1分硬币，所以在找零钱的最优方式中也使用尽可能多的10美分硬币类似地，5美分硬币的个数相等；最终，1美分的个数相等同上，由于1+p1+p2+p3+...pk-1=pk - 1
假若最优解不含币值的钱币，即那么存在，如果不是，则与矛盾，不妨设，那么用1个币值为的钱币替换p个币值为的钱币，总钱币数将减少，与这个解为最优解矛盾下面证明最优解签好含有个币值的钱币设钱数为y时最优解是，则设其中 通过对t的归纳不难证明，即最优解中含有个币值的钱币上诉算法在最坏情况下的时间复杂度是.实验源代码// 找零ConsoleApplication1.cpp : 此文件包含 "main" 函数程序执行将在此处开始并结束//数媒1703班--唐思成// coin.cpp : 定义控制台应用程序的入口点//#include"pch.h"#include#includeusing namespace std;//money需要找零的钱//coin可用的硬币的种类//n硬币种类的数量void ZhaoLing(int money, int *coin, int n){ int *coinNum = new int[money + 1]();//存储1...money找零最少需要的硬币的个数 int *coinValue = new int[money + 1]();//最后加入的硬币，方便后面输出是哪几个硬币 coinNum[0] = 0; for (int i = 1; i <= money; i++) { int minNum = i;//i面值钱，需要最少硬币个数 int usedMoney = 0;//这次找零，在原来的基础上需要的硬币 for (int j = 0; j < n; j++) { if (i >= coin[j])//找零的钱大于这个硬币的面值 { if (coinNum[i - coin[j]] + 1 <= minNum && (i == coin[j] || coinValue[i - coin[j]] != 0))//所需硬币个数减少了 { minNum = coinNum[i - coin[j]] + 1;//更新 usedMoney = coin[j];//更新 } } } coinNum[i] = minNum; coinValue[i] = usedMoney; } //输出结果 if (coinValue[money] == 0) cout << "找不开零钱" << endl; else { cout << "需要最少硬币个数为：" << coinNum[money] << endl; cout << "硬币分别为:"; while (money > 0) { cout << coinValue[money] << ","; money -= coinValue[money]; } cout << endl; } delete[]coinNum; delete[]coinValue;}int main(){ int Money; int n,i,p; cout << "请输入需要找零的钱的值" << endl; cin >> Money; cout << "请输入硬币种类的数量" << endl; cin >> n; int*coin = (int*)malloc(n * sizeof(int));//定义动态长度的数组 cout << "请输入零钱的底数" << endl; while(1) { cin >> p; if (p > 0) { break; } else { cout << "输入的数小于零，请重新输入" << endl; } } for (i = 0; i < n; i++) { coin[i] = pow(p, i); } cout << "找零系统中的零钱种类为：" << endl; for (i = 0; i < n; i++) { cout << coin[i] << ","; } cout << endl; ZhaoLing(Money, coin, n); system("pause"); return 0;}实验结果。
