
第3章导数与微分.ppt
30页第三章导数与微分(一) 复习 第二章 (二) 极限运算法那么 因式分解法“约去0因子 观察法“有理分式函数x “重要极限法 “等价无穷小代换法 “初等函数连续法 “复合函数极限法那么 法 “罗必达法那么法1 极限方法2 函数的连续性 利用初等函数的连续性,求初等函数的连续点; 求初等函数的连续区间; 分段函数连续,求待定常数 ;判断分段函数在分段点连续的方法利用 , 求k 利用 , 求k 等价无穷小量x0时: sin xx, tan xx, ln(1+x)x (ex1)x *x=u(x),只要u(x)0 结论仍成立初等函数在其定义区间内任一点连续重要极限公式:主要学习内容 导数的概念 根本初等函数的导数公式 导数的四那么运算法那么 简单函数的二阶导数 学习要求1、理解导数的概念,知道可导与连续的关系2、知道导数的几何意义,会求切线方程3、掌握根本初等函数的导数公式4、掌握导数的四那么运算法那么5、会求简单函数的二阶导数重点 导数公式和四那么运算法那么难点 求导方法 3.1 导数的概念3.1.1 实例 曲线的切线问题 设函数f(x)连续,点P(xf(x)是区间内的一点 求曲线y=f(x)在点P的切线斜率。
解 在曲线上另取一点Q(x+x f(x+x),割线的斜率KPQ=P(x,y)Q(x+x,y+y)xy0 xx+xyR切线的斜率 3.1.2 导数的概念 函数f(x)在点x处导数定义 f (x)的另一定义式 函数f(x)在点x处可导的充要条件 函数f(x)在某区间上导数 函数f(x)可导与连续的关系 函数f(x)在点x处导数定义3.1.1 设函数y=f(x)在点x及其附近有定义,假设极限 存在,那么称函数f(x)在点x处可导,并称此极限值为函数y=f(x)在点x处的导数记作还可表示 例1 求抛物线y=x在点x=1处的切线的斜率解抛物线y=x在点x=1处的切线的斜率为2=2 f (x) 的另一定义式 记 x=h 记 x+x=x 那么 x=x x 函数f(x)在点x处可导的充要条件理解 左导数 右导数 函数f(x)在点x处可导 或 假设函数f(x)在点x处可导,以下不等于f (x)的是( )D例2注 (C)=0B 函数f(x)在某区间上导数 假设函数f(x)在区间I内每一点可导,那么称函数f(x)在区间I内可导即对每一个xI,都有f(x)的一个导数值f (x)与之对应,把f (x)称为函数f(x)的导函数(简称导数)。
记作 即另一种形式表示 函数f(x)在点x处的导数f (x)与函数f(x)的导函数f (x)的关系例3 设 y=x 求y , y (1) 解=3x 一般地, y =x y = (x) = x -1 (为任意实数) 如: 求f (3) 函数f(x)可导与连续的关系P64例4 考察函数 在点x=0处的可导性解函数 在点x=0不可导 曲线 在点x=0处切线的倾角为/2, 即 切线垂直x轴,且斜率为而曲线 在点x=0处连续注 函数f(x)在点x可导函数f(x)在点x连续;反之未必成立例5 设f(x)=|x|/x,那么f (1)=( )A. 不存在 B. 0 C. 1 D. 1例6 以下结论中,正确的说法是( ) f(x)在x=x处连续,那么一定在x处可导B. f(x)在x=x处不连续,那么一定在x处不可导C. f(x)在x=x处有极限,那么一定在x处有定义D. f(x)在x=x处无极限,那么一定在x处无定义B B3.1.3 导数的几何意义k=f (x)曲线y=f(x)在点(x y)处的切线方程 法线方程 例7 求过曲线 上的点x=1处的切线方程解x=1 代入,y=1曲线 在点(11)处的切线方程为32 导数的根本公式与运算法那么 1 根本初等函数的导数公式 2 导数的四那么运算法那么 3 高阶导数3.2.1 根本初等函数的导数公式 P66例1 用导数定义求以下函数的导数 求导方法理解 y=logax y=ax y=sinx解 考虑以下函数的导数2 导数的四那么运算法那么 P67设函数u=u(x),v=v(x)均可导,那么例2 求导数解= 2cos2x例3 求导数 y=tanx y=secx解= secx tanx= secx同样3.2.3 高阶导数 f(x)的导函数 ,假设 可导,称它的导数 为f(x)的二阶导数。
记作 类似定义n 阶导数 记作二阶、二阶以上的导数统称高阶导数称f (x)为函数y=f(x)的一阶导数注 这里以二阶导数为主例4解小结1 函数f(x)在点x处导数定义2 函数f(x)可导与连续的关系3 曲线y=f(x)在点(x y)处的切线方程4 根本初等函数的导数公式5 导数的四那么运算法那么6 高阶导数f (x)、 f (x) 预习 3-3 3-4。












