电磁场与波：3第三章-静电场5和6.ppt

3.8 3.8 静电能量与力静电能量与力1. 静电能量静电能量 (Electrostatic Energy)Electrostatic Energy and Force①① 用场源表示静电能量用场源表示静电能量下 页上 页 电磁场是一种特殊形式的物质，能量是物质的电磁场是一种特殊形式的物质，能量是物质的属性之一电场能量是在建立电场过程中从与各导属性之一电场能量是在建立电场过程中从与各导体相连接的电源中取得的，因此电场储能是外力做体相连接的电源中取得的，因此电场储能是外力做功形成的功形成的讨论前提讨论前提a)a)线性系统；线性系统；b)b)电场建立无限缓慢，忽略能量的辐射；电场建立无限缓慢，忽略能量的辐射；c)c)没有动能，只考虑位能没有动能，只考虑位能 背景知识 背景知识下 页上 页电荷增量电荷增量设设将将dq电荷电荷移至电场中外源做功移至电场中外源做功推广推广2 2：： 若是带电若是带电导体导体系统，静电能量为系统，静电能量为推广推广1 1 ：：若是连续分布的电荷，若是连续分布的电荷， 下 页上 页注意上式建立在静电场是位场的基础上，只上式建立在静电场是位场的基础上，只适用于静电场。

适用于静电场推广推广3 3：： 若是若是 n 个点电荷的系统，静电能量为个点电荷的系统，静电能量为下 页上 页只含互有能只含互有能固有能和相互作用能固有能和相互作用能固有能固有能把某一区域的电荷从无穷远聚拢到把某一区域的电荷从无穷远聚拢到给定分布所需的功给定分布所需的功互有能互有能把各区域的电荷放置到各自给定位把各区域的电荷放置到各自给定位置所需的功置所需的功设空间有两个电荷分布区设空间有两个电荷分布区下 页上 页 说明要把一定量的电荷压缩到几何上的一个说明要把一定量的电荷压缩到几何上的一个点需要克服无穷大的斥力，需要作无穷大的功点需要克服无穷大的斥力，需要作无穷大的功对点电荷只研究互有能对点电荷只研究互有能点电荷点电荷q qV1   1V2   2当当 半径为半径为a的球面带电荷的球面带电荷Q，，球心放一点电荷球心放一点电荷q，，求静电能量求静电能量球面电荷的固有能球面电荷的固有能下 页上 页例例解解 qQ在在球面产生的电位球面产生的电位Q在在球心建立的电位球心建立的电位q在在球面产生的电位球面产生的电位把点电荷从把点电荷从 移至球面移至球面中心所需作中心所需作的功的功下 页上 页②② 用场量表示静电能量用场量表示静电能量能量能量矢量恒等式矢量恒等式定义能量密度定义能量密度下 页上 页各向同性均匀媒质各向同性均匀媒质适用适用于静于静电场电场和时和时变场变场因因 当当 时，面积分为零，故时，面积分为零，故 半径为半径为a a的球面带面电荷的球面带面电荷Q，，球心放一点电荷球心放一点电荷q，，求静求静电能量。

电能量下 页上 页例例解解 q下 页上 页 试求平板电容器的静电能量试求平板电容器的静电能量例例 平行板电容器解解带电带电导体导体系统系统电容能量电容能量的计算式的计算式 试求真空中体电荷密度为试求真空中体电荷密度为的介质球产生的静电的介质球产生的静电能量由场量求静电能量由场量求静电能量下 页上 页例例解：解：2.2.静电力静电力 (Electrostatic Force)下 页上 页1 1）） 根据电场定义计算静电力根据电场定义计算静电力注意上式使用的条件①①只适用于均匀介质只适用于均匀介质②②式中的电场式中的电场E不包括不包括dq本身的贡献本身的贡献矢量积分矢量积分 多导体系统 ( K 打开 )虚位移法虚位移法下 页上 页2 2）） 根据电场能量计算静电力根据电场能量计算静电力 在多导体系统中，导体在多导体系统中，导体p发生位移发生位移dg后后, ,系统系统发生的功能过程为：发生的功能过程为：外源提供能量外源提供能量 = = 静电能量增量静电能量增量 + 电场力所作功电场力所作功①①常电荷系统（常电荷系统（K打开）打开） 取消外源后，电场力做功必须靠减取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。

少电场中静电能量来实现下 页上 页表明②②常电位系统（常电位系统（K 闭合）闭合） 多导体系统( K 闭合 )p外源提供能量的增量外源提供能量的增量 外源提供的能量有一半用于静电能量外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功的增量，另一半用于电场力做功下 页上 页表明注意 dg广义坐标广义坐标：距离、面积、体积、角度距离、面积、体积、角度广义力广义力××广义坐标广义坐标 = =功功 广义坐标广义坐标 距距 离离 面面 积积 体体 积积 角角 度度 广义力广义力 机械力机械力 表面张力表面张力 压强压强 转矩转矩 单单 位位 N               N/m              N/m2             N m f广义力广义力：企图改变某一个广义坐标的力。

企图改变某一个广义坐标的力下 页上 页满足满足对应关系：对应关系： 广义力是代数量广义力是代数量 ，根据，根据 f 的的“±±”号判断力的号判断力的方向广义力的正方向为广义坐标增加的方向广义力的正方向为广义坐标增加的方向常电位系统常电位系统试求图示平行板电容器两极板间的电场力试求图示平行板电容器两极板间的电场力平行板电容器取取d 为广义坐标（相对位置坐标）为广义坐标（相对位置坐标） 负号表示电场力的方向企图使负号表示电场力的方向企图使 广义坐标广义坐标d 减减小，即电容增大小，即电容增大下 页上 页例例解一解一常电荷系统常电荷系统两种计算结果相同两种计算结果相同下 页上 页解二解二 图示一薄膜带电球面，半径为图示一薄膜带电球面，半径为a ，其上带电荷为，其上带电荷为q，试，试求薄膜单位面积所受的电场力求薄膜单位面积所受的电场力课堂练习课堂练习）） 取体积为广义坐标取体积为广义坐标f 的方向是广义坐标的方向是广义坐标V 增加的方向，表现为膨胀力增加的方向，表现为膨胀力N/m2下 页上 页 球形薄膜例例解解3 3）） 根据法拉第观点计算静电力根据法拉第观点计算静电力（（Farade’s review）） 法拉第认为，在场中沿通量线作一通量管，沿法拉第认为，在场中沿通量线作一通量管，沿其轴向受到电场的纵张力，垂直于轴线方向受到侧其轴向受到电场的纵张力，垂直于轴线方向受到侧压力，纵张力和侧压力大小相等，为：压力，纵张力和侧压力大小相等，为：下 页上 页 电位移管受力情况 物体受力情况下 页上 页 如平板电容器极板受力大小：如平板电容器极板受力大小：极板单位面积受力大小：极板单位面积受力大小：①①应用法拉第对电场应用法拉第对电场清晰和形象化的描清晰和形象化的描述可以定性的分析述可以定性的分析判断带电系统受力判断带电系统受力情况。

情况法拉第观点的作用下 页上 页②②应用法拉第观点可以对一些电场力问题进行定应用法拉第观点可以对一些电场力问题进行定量的计算量的计算 计算平板电容器中介质分界面上的压强计算平板电容器中介质分界面上的压强图(a)若 ，则 力由 指向 下 页上 页(a)(b)例例解解图(b)•分界面受力总是从分界面受力总是从   大的介质指向大的介质指向   小的介质小的介质若 ，则 力由 指向 b)下 页上 页结论•当有电场垂直或平行于两种介质分界面时，作用在分当有电场垂直或平行于两种介质分界面时，作用在分界面处的力总是和界面垂直界面处的力总是和界面垂直静电参数(电容及部分电容)静电能量与力有限差分法镜像法,电轴法 分离变量法直接积分法数值法解析法边值问题边界条件电位基本方程D 的散度基本物理量 E、、D基本实验定律（库仑定律）静电场知识结构E 的旋度下 页上 页静态场的应用 静电分离Steady Field Applications静电喷涂 上 页作业作业•3.26、3.27、3.32[ [例例1]1]e1e2[ [解解] ] 设设X=0X=0的平面是两种线性、各向同性电介质分界面，在的平面是两种线性、各向同性电介质分界面，在X<0X<0的的区域区域, , ε1=3ε0，，在在X>0X>0的区域的区域, ,ε2 2= =4 4ε0 0, ,分界面上无自由电荷分界面上无自由电荷, ,已已知知 , ,求求D D1 1、、D D2 2、、E E2 2。

S S上上 ，， ；； S S0 0上上 ；； S S1212上上 ，， [ [例例2]2] 一个电位为一个电位为U U0 0的导体的导体S S0 0被一被一个接地导体个接地导体S S 所包围，其中有两种所包围，其中有两种均匀介质均匀介质εε1、、εε2（分界面（分界面S S1212上无上无自由电荷），设其电位分别为自由电荷），设其电位分别为 1 1，， 2 2，试列出边值问题定解的边界条，试列出边值问题定解的边界条件件 U0S12S0S 1 2[ [例例3] 3] 两同心导体球壳之间充以两种理想介质，左半部介电常两同心导体球壳之间充以两种理想介质，左半部介电常数为数为εε1，右半部介电常数为右半部介电常数为εε2 。

设内球壳带自由电荷设内球壳带自由电荷Q Q，外球，外球壳接地1 1）利用拉普拉斯方程求解介质中的电位和电场强度；）利用拉普拉斯方程求解介质中的电位和电场强度；（（2 2））求内球壳表面的自由电荷面密度；（求内球壳表面的自由电荷面密度；（3 3）根据计算结果，）根据计算结果，分析电场强度分布与电荷面密度分布的特点，并解释原因分析电场强度分布与电荷面密度分布的特点，并解释原因 e1e2R1R2[ [解解] 1] 1）因为球壳和内导）因为球壳和内导体球均为等势体，所以电体球均为等势体，所以电位与位与q q、、f f无关则 j1j2R1R2S原因是内球壳与介质分界面上还有极化电荷，两边不一样，但和原因是内球壳与介质分界面上还有极化电荷，两边不一样，但和自由电荷一起构成的总电荷却是相等的，所以电场是相等的自由电荷一起构成的总电荷却是相等的，所以电场是相等的 [ [例例4] 4] 求点电荷求点电荷q q在图示地面上所受之力在图示地面上所受之力 qdRq’dbb-q-q’[ [例例5] 5] 一半径为一半径为R R的长直圆柱导体，平行放置于地面上空，介质的长直圆柱导体，平行放置于地面上空，介质为为 0 0 。

离地面高度为离地面高度为h h导体与地面间电压为导体与地面间电压为U U0 0求（1 1）场中各）场中各点的电位；（点的电位；（2 2）单位长度的电容单位长度的电容 解解：：利利用用镜镜像像法法和和电电轴轴法法求求解解，，作作出出求求解解场场域域图图( (令地面令地面 ＝＝0)0)[ [例例6] 6] 半径为半径为R R的带电的带电q q导体球，求受电场力导体球，求受电场力 解：静电能量解：静电能量 R求力（求力（1 1）） • 力的方向朝力的方向朝R R增加的方向（不论电荷正负）增加的方向（不论电荷正负）压强压强 [ [例例7] 7] 半径分别为半径分别为a a和和b b的两个同轴圆柱导体电位分别为的两个同轴圆柱导体电位分别为Ua=0,  Ub=U0，，如图所示，导体间有两种介质如图所示，导体间有两种介质ε1、、ε2，分界面与轴平面相重合分界面与轴平面相重合1 1）写出求解导体间电）写出求解导体间电位的边值问题位的边值问题; (2); (2)求出导体间的电位与电场；（求出导体间的电位与电场；（3 3））给出两导体表面的面电荷密度；（给出两导体表面的面电荷密度；（4 4）每单位长度的）每单位长度的电容电容. . （（课堂练习课堂练习））ε1εε2abUbUa（（1 1））（（2 2））（（3 3））（（4 4））作业作业•3.7、3.15、3.31。