CNC6(数值计算).ppt

◆对零件图形进行数学处理是编程前的主要准备工作之一◆手工编程中必不可少◆采用计算机进行自动编程，也需要对工件的轮廓图形先进行数学预处理，才能对有关几何元素进行定义◆ 即使数控编程系统具有完备的处理功能，不需要人工干预处理，应该明白其中的数学理论，知道数控编程系统如何进行工作4 程序编制中的数值计算4.1.1 基点与节点 基点基点：：各几何元素间的联结点称为基点 如两直线间的交点，直线与圆弧或圆弧与圆弧间的交点或切点，圆弧与二次曲线的交点或切点等 对于由直线与直线或直线与圆弧沟成的平面轮廓零件，由于目前一般机床数控系统都具有直线、圆弧插补功能，故数值计算比较简单此时，主要应计算出基点坐标与圆弧的圆心点坐标 4.1 数值计算的内容用若干直线段或圆弧来逼近曲线，逼近线段的交点或切点称为节点直线逼近圆弧逼近一般的数控装置不具备曲线的插补功能，只能采用逼近的方法使用直线或圆弧插补，需计算节点坐标节点用直线或圆弧逼近非圆曲线，存在逼近误差逼近误差应不大于加工允许误差 立体型面零件在加工时，将曲面分割成不同的加工截面，各加工截面上轮廓曲线需要计算基点和节点逼近误差4.1.2 刀位点轨迹的计算◆刀位点是标志刀具所处不同位置的坐标点，不同类型的刀具刀位点不同◆数控系统控制刀位点运动轨迹，零件轮廓由刀具的切削刃加工出来◆刀位点与切削刃一般不重合，编程轨迹与零件轮廓不重合◆ 半径补偿与长度补偿：使刀位点按一定的规则自动偏离编程轨迹，实现正确加工4.1.3 辅助计算 辅助计算包括增量计算、辅助程序段的数值计算等增量计算增量计算--由绝对坐标数据到增量坐标数据的转换辅助程序段辅助程序段是指开始加工时，刀具从对刀点到切入点，或加工完了时，刀具从切出点返回到对刀点而特意安排的程序段--切入点和切出点等的计算辅助计算比较简单。

4.2 直线圆弧零件轮廓的基点计算直线和圆弧组成的零件轮廓：--直线与直线相交、--直线与圆弧相交或相切、--圆弧与圆弧相交或相切、--一直线与两圆弧相切计算方法-- 联立方程组求解-- 利用几何元素间的三角函数关系求解计算形式标准化4.2.1 联立方程组法求解基点坐标1．直线与圆弧相交或相切联立方程组标推计算公式当直线与圆相切时，取4.2.2 三角函数法求解基点坐标计算公式当已知直线L相对于基准线逆时针方向旋转时：+顺时针方向旋转时：-角度取绝对值不大于900的那个角如果xc在x右边时取+，反之取-如果yc在y上边时取＋号，反之取-号4.3 直线圆弧零件刀位点轨迹计算4.3.1 对刀对刀对刀: :操作者在启动程序之前，通过一定的测量手段，使刀位点与对刀点重合对刀方法对刀方法: :用对刀仪对刀，其操作比较简单，测量数据准确.在数控机床上定位好夹具或安装好工件之后，使用量块、千分表等，利用机床的坐标显示对刀刀位点仅对刀具作平动的数控加工有效刀位点仅对刀具作平动的数控加工有效对于包含刀具轴线摆动的四坐标或五坐标数控加工，应使用刀位矢量的概念4.3.2 刀具中心编程的数值计算用D＝10mm 立铣刀加工某样板曲线时的起刀点位置和刀具中心运动轨迹圆的等距线方程直线的等距方程当所求等距线在原直线上(右)边时，应取“＋”号，反之取“－”号当所求等距线为圆的外等距线时，取“＋”号，求内等距线时取“－”号。

求解等距线上的基点坐标，可将相关等距线方程联立求解得到刀具中心编程的数值计算4.3.3 尖角过渡的数值计算手工编程时计算刀具在尖角处的附加偏置值直线m1相对于X轴的旋转方向，沿着x轴正方向看，逆时针旋转取＋，顺时针旋转取－直线m2相对于直线m1的旋转方向均取转角的绝对值不大于900值有向角4.4 一般非圆曲线节点坐标计算4.4.1 概述非圆曲线非圆曲线—在数控加工中，除直线与圆之外可以用数学方程式表达的平面廓形平面廓形曲线平面凸轮类、样板曲线、圆柱凸轮、数控车床上加工的各种以非圆曲线为母线的回转体零件等等 (1)选择插补方式：采用直线段、圆弧段或抛物线等二次曲线逼近非圆曲线 非圆曲线节点坐标计算步骤 数学处理较简单，但计算的坐标数据较多，且各直线段间连接处存在尖角，刀具不能连续地对零件进行切削，零件表面会出现硬点或切痕，加工表面质量差 插补方式-直线逼近圆弧逼近：可以大大减少程序段的数目其数值计算又分为两种情况： (a)相邻两圆弧段间彼此相交 (b)彼此相切的圆弧段：由于相邻圆弧彼此相切，一阶导数连续，工件表面整体光滑，有利于加工表面质量的提高 采用圆弧段逼近，其数学处理过程比直线段逼近要复杂一些。

插补方式-圆弧逼近(2)确定编程允许误差,使(3)选择数学模型，确定算法 非圆曲线节点计算的算法，主要应考虑： 其一是尽可能按等误差的条件，确定节点坐标位置，以便最大程度地减少程序段的数目； 其二是尽可能寻找一种简便的计算方法，以便计算机程序的制作，及时得到节点坐标数据4)根据算法，画出计算机处理流程图(5)用高级语言编写程序，上机调试程序，并获得节点坐标数据非圆曲线节点坐标计算步骤4.4.2 用直线段逼近非圆曲线常用的计算方法等间距法、等程序段法和等误差法等1．等间距法直线段逼近的节点计算节点坐标不能任意设定－－保证曲线f=(x)与相邻两节点连线间的法向距离小于允许的程序编制误差◆ 需检验逼近误差◆ 验算曲线曲率半径最小处，两节点间 距离最长处的误差◆ 可由轮廓图形直接观察确定校验的位置等间距法直线段逼近的节点计算逼近误差校验方法需校验的曲线为mn，其方程为令方程变为距mn直线为 的等距线m’n’的直线方程与曲线方程联立求解，若两条线无交点或只有一个交点，则满足要求；有两个交点，超差2．等程序段法直线段逼近的节点计算等程序段法就是使每个程序段的线段长度相等 线段的长度由曲线的最小曲率半径和允许编程误差确定 由于零件轮廓曲线的曲率各处不等，首先求出该曲线的最小曲率半径Rmin，由Rmin和 确定允许的步长l，然后从曲线起点开始，按等步长l依次截取曲线，得b、c、d…等点，则ab=bc=cd=…即为所求各直线段。

曲线曲率半径得令根据曲线可求得，代入上式可求得x等程序段法直线段逼近节点计算步骤允许步长如果曲线起点坐标为由方程组可求得点b如此顺次可求得所有节点特点特点？…计算步骤3．等误差法直线段逼近的节点计算在起点处以允许的逼近误差作圆；作圆和曲线的公切线；从起点作公切线的平行线，与曲线相交，交点为第二点，循环执行，求得各节点，逼近曲线原理原理：(1)以起点(xa,ya) 为圆心， 为半径作圆：(2)求圆与曲线的公切线PT的斜率：圆切线方程圆方程曲线切线方程曲线方程…计算步骤(3)过a点与直线PT平行的直线方程为(4)与曲线联立求解b点(Xb，yb)(5)循环依次求得c、d、…等各节点坐标特点特点 ◆各程序段逼近误差均相等，程序段数目最少 ◆计算过程比较复杂，必须由计算机辅助才能完成计算MapleMaple、、MathematicaMathematica－－数学软件数学软件 在采用直线段逼近非圆曲线的拟合方法中，是一种较好的拟合方法…计算步骤4.4.3 用圆弧段逼近非圆曲线常用的方法：曲率圆法三点圆法相切圆法曲率圆法是用彼此相交的圆弧逼近非圆曲线1．曲率圆法圆弧逼近的节点计算从曲线的起点开始，求出曲率圆的圆心，以该圆心为圆心，以曲率半径加(减) 为半径，作圆(偏差圆)与曲线y=f(x)的交点为下一个节点。

过两节点、以起点曲率圆的半径为半径的圆为非圆曲线的一段逼近圆弧从新的节点开始循环，得到所有的节点和圆弧半径曲率圆法圆弧逼近基本原理…计算步骤(1) 曲线起点(xn，yn)的曲率圆圆心和半径：(2) 偏差圆方程与曲线方程联立求解：得交点(xn+1,yn+1)3) 过(xn,yn)、 (xn+1,yn+1)两点，半径为Rn的圆的圆心，由下式得到该圆即为逼近圆注意：相邻逼近圆弧间是相交的…计算步骤2．三点圆法圆弧逼近的节点计算 三点圆法是在等误差直线段逼近求出各节点的基础上，通过连续三点作圆弧，并求出圆心点的坐标或圆的半径 所求出的逼近圆弧是相交的 具体方法请参考有关资料3．相切圆法圆弧逼近的节点计算基本原理 过曲线上A、B和C、D作曲线法线，分别交于M、N以M为圆心，AM为半径作圆，以N为圆心，ND为半径作圆圆M和N相切的条件为BB’、CC’为逼近误差，应满足:相切圆法圆弧逼近的节点计算…基本原理由以上条件确定的B、C、D三点可保证：◆M、N圆相切； ◆ 条件； ◆逼近圆弧A、D点分别与曲线相切…计算方法 (1)自起点A开始，任意选定B、C、D三点 点A和B处曲线的法线方程为式中 kA、kB 曲线在A和B处的斜率，从上式得两法线交点M坐标为同理，对C、D两点可求得N点坐标…计算方法(2)按圆弧相切和逼近误差条件，计算B、C、D三点坐标式中…计算方法 在圆弧逼近零件轮廓的计算中，采用相切圆法，每次可求得两个彼此相切的圆弧，由于在前一个圆弧的起点处与后一个圆弧终点处均可保证与轮廓曲线相切，因此，整个曲线是由一系列彼此相切的圆弧逼近实现的。

可简化编程，但计算过程繁琐相切圆法圆弧逼近的节点计算特点4.5 其他插补方法一、列表曲线 列表曲线：给出曲线上某些坐标点，没有显式的曲线方程y=f(x)当列表点密到不影响曲线的精度的程度，可直接在相邻列表点间用直线段或圆弧编程；否则，采用的一般处理方法：1、一次拟合：根据已知列表点导出插值方程2、二次拟合：根据插值方程进行插值，求出新的节点1、牛顿插值法 用相邻三个列表点建立二次抛物线方程，再插值加密 计算简单 但相邻拟合曲线过拐点处的一阶导数不连续，整体曲线不光滑 目前较少使用常用拟合方法样条：拟合出的曲线通过给定的列表点，具有连续的曲率 物理样条实际上是一种绘制模线的工具，一般采用一根富有弹性的木条或薄金属条、有机玻璃条来作为样条在绘制船舶、汽车和飞机的外形放样曲线时，用压铁压在一批点上，强迫样条通过这些离散的型值点，经过调整压铁，使样条作弹性变形，当认为形状合适后，便可沿样条画出所需要的曲线2、三次样条曲线拟合 二次样条：在相邻三个列表点间建立的样条函数 三次样条：在相邻四个点间建立的样条函数 四次样条：求解困难 三次样条： 具有连续的一阶、二阶导数，拟合效果好，整体光滑，应用广泛 函数随列表点坐标变化，不具有几何不变性；在大挠度处产生多余拐点样条种类 圆弧样条是我国在1977年创造的一种拟合方法． 采用圆弧样条可以直接输出圆弧信息，避免了用其它拟合方法需进行二次逼近处理的过程，减少了误差环节。

3、圆弧样条拟合 用圆弧样条拟合一条自由曲线时，只给出曲线上一系列数据点（一般称作型值点，数学上叫节点），这些型值点可以是均匀分布，也可以是不均匀分布的 用若干圆弧相切的线段组成的曲线来代替三次样条曲线 原理： 过每一个型值点作一段圆弧，使相邻圆弧在相邻节点的弦的垂直平分线上相切编程按圆参数（圆心、半径、节点）编制程序，曲线的程序段数与节点数相等圆弧样条拟合 计算简单，程序段数少 无尖角过渡处理问题 拟合精度可满足一般数控加工精度要求 当型值点为曲线的拐点时，拟合效果不好 只限于描述平面曲线，不适于描述空间曲线圆弧样条拟合特点 三坐标立体型面 看作由平面曲线叠加而成 采用“行切法”加工： 球头刀；二轴半编程 要解决的问题： 合理确定行距—粗糙度 计算球头刀有效半径—与球头刀和型面接触的切点斜率有关 二、简单立体型面零件的数值计算 自由曲面零件：螺旋桨、叶片、机翼翼型 图样数据确定：通过计算机辅助设计或实验确定的列表点 拟合方法： B样条、Bezier样条、Coons曲面 粗（半精）加工：采用Fergusoon曲面拟合 精度要求高：Coons曲面拟合三、自由曲面的数学处理 1、确定曲面的参数方程及矢量方程 2、确定曲面片的要素 3、双三次样条曲面的生成 4、双三次参数样条的插值 5、曲面的切割Coons曲面的数学处理的五个方面 组合曲面：由多种曲面，包括解析曲面合自由曲面相贯成的复杂曲面 应用：飞机、舰船、汽车、模具等 处理在CAD/CAM较难解决的问题,可通过曲面求交等方法处理，但都有一定的局限性。

涉及到比较高深的数学知识的应用 四、组合曲面的数学处理。