知名机构高中讲义 【研究院】[人教版][高三数学一轮复习][第18讲 圆锥曲线综合]讲义（学生版）.docx
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第18讲 圆锥曲线综合1.了解常见的圆锥曲线综合类型题；2.掌握利用韦达定理求解圆锥曲线问题的方法；3.强化圆锥曲线的计算推理能力和转化思想1.运用韦达定理解决圆锥曲线问题是重点；2. 弦长公式和面积公式是重点；3.利用向量求解圆锥曲线问题是难点 弦长问题一、涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长，设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 二、涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．三、涉及中点中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 ， , 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用．例1. (2016全国甲卷)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积．(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：
2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形二、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化三、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算这样可以使函数解析式较为简单，便于分析四、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（1）椭圆：设为椭圆上一点，且，则 （2）双曲线：设为椭圆上一点，且，则 例3. （2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）A．|BF|-1|AF|-1 B．|BF|2-1|AF|2-1 C．|BF|+1|AF|+1 D．|BF|2+1|AF|2+1练习1. （2017•郑州三模）椭圆x25+y24=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（ ）A．55 B．655 C．855 D．455_____________________________________________________________________________________________ ___例4. （2016秋•双流县校级期中）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=22，且点P（2，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M段OP（不包括端点）上．求△AOB面积的最大值．练习1. 已知x28+y24=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A（2，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直，过A作直线与椭圆交于另一点于B，求△AOB面积的最大值．_____________________________________________________________________________________________ ___垂直问题垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设、是直线与曲线的两个交点，为坐标原点，(1)，则 ，(2) 若,则 .例5. （2016秋•怀柔区期末）已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB； 练习1. （2015•重庆）设双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）A．12 B．22 C．1 D．2_____________________________________________________________________________________________ ___共线成比例问题一、求证多点共线的问题：把多点共线（一般也就是三点）转化为向量共线，通过向量坐标来分析向量共线所应满足的条件，进而确立运算目标。
只要运算目标明确了，后边的运算也就手到擒来了二、同一直线上不同的线段成比例问题：我们可以把同一直线上不同线段长度之间的比例转化为向量之间的相等，并且利用向量的横坐标或纵坐标相等加以解决例6. （2016•桂林一模）已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣22x=0的圆心重合，且椭圆过点（2，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若AP→=2PB→，求△AOB的面积．练习1. 已知F1（﹣2，0），F2（2，0）两点，曲线C上的动点P满足|PF1|+|PF2|=32|F1F2|．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若直线l经过点M（0，3），交曲线C于A，B两点，且MA→=12MB→，求直线l的方程．_____________________________________________________________________________________________ ___定点、定值问题一、圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．二、圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．例7. (2017长沙联考)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．练习1. (2016河北衡水中学调研)如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：x＝ty＋λ是椭圆C的一条切线，点M(－，y1)，点N(，y2)是切线l上两个点，证明：当t，λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．_____________________________________________________________________________________________ ___例8. (2016广西柳州铁路一中月考)椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当|CD|＝时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，求证：为定值．练习1. (2016珠海模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(，0)，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．__________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________。
