高一年级第一期数学创新试题综合测试题(一).doc

来稿时间：2004.9.18 适应范围：数学高分之路　E－mail:muzegang123@高一年级第一期数学创新试题综合测试题(一)慕泽刚 (重庆市九龙坡区渝西中学 401326)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数f(x)有反函数f-1(x)，若f(x)=f-1(x),则我们称f(x)有不变的反函数，那么下面所给函数中有不变反函数的是( D )A.y=2x B.y=x3 C.y=x2 D.y=图甲图乙解析：y=2x的反函数为y=x；y=x3的反函数为y=；y=x2没有反函数；y=反函数为y=，故选D.2.设M、P是两个非空集合，若规定：M﹣P={x|x∈M且xÏP}，则M﹣(M﹣P)等于( B )A.P B.M∩P C.M∪P D.M解析：利用韦恩图，图1表示M﹣P，图2表示M﹣(M﹣P)，所以正确答案是（B）.3.设集合I={1，2，3，4，5}，A与B是I的子集，若A∩B={1，2，3}，就称集对(A，B)为“好集”，那么所有“好集”的个数( C )A.7 B.8 C.9 D.10解析：由A∩B={1，2，3}，知集合A、B中都必含有1，2，3三个元素，则A={1，2，3}或A={1，2，3，4}或A={1，2，3，5}.B={1，2，3}或B={1，2，3，4}或B={1，2，3，5}.∴所有“好集”(A，B)的个数为9个，故选C.4.在实数集上定义一个运算“*”，a*b=,则方程lgx*lg(x+3)=的解是( B )A.﹣5 B.2 C.﹣5或2 D.5解析：根据运算的定义，得原方程等价于=，所以lgx(x+3)=1，x2+3x﹣10=0，解得x=﹣5或2，经检验x=2是原方程的解.5.一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式y=x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有( B )A.10个 B.9个 C.8个 D.7个解析：由x2=1或x2=4，得x=±1或x=±2，则由同族函数的定义知，定义域取法有：{1，2}、{1，﹣2}、{﹣1，2}、{﹣1，﹣2}、{1，2，﹣2}、{﹣1，2，﹣2}、{1，﹣1，2}、{1，﹣1，﹣2}、{1，﹣1，﹣2，2}共有9种，故选B.6.等比数列{an}中，a1=512，公比q=﹣，用∏n表示它的前n项之积：∏n=a1a2a3…an，则∏1，∏2，…中最大的是( B )A.∏8 B.∏9 C.∏10 D.∏11解析：要使∏n=a1a2a3…an最大，必须an＞1，an+2＜1且n为奇数，即512·(﹣)n－1＞1，512·(﹣)n+1＜1，∴8＜n＜10，∴n=9，故选B.7.对于正数和，其中，定义nm!=(n﹣m)(n﹣2m)(n﹣3m)·…·(n﹣km)，其中k是满足n＞km的最大整数，则= .184!A. B.﹣ C. D.﹣解析：184!=(18﹣4)(18﹣2×4)(18﹣3×4)(18﹣4×4)=14×10×6×2，204!=(20﹣6)(20﹣2×6)(20﹣3×6)=14×8×2，∴=.8.一组实验数据如下表t1.021.993.014.005.106.12V0.011.504.407.5012.0918.01与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的 ( C )A.V=log2t B.V=-log2t C.V=(t2-1) D.V=2t-2解析：从表中取t=4.00，则在A中V=2≠7.5；在B中V=﹣2≠7.5；在C中V=7.5＝7.5；在D V=6≠7.5.故选C.9.定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形 那么在下列图形中： 可以表示A*D、A*C的分别是( C )A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(2)、(4) D.(1)、(4)解析：分析已知图，易知A表示竖线，B表示较大正方形，C表示横线，D表示小正方形，则A*D表示的图形(2)，A*C表示的图形是(4).故选D.10.已知函数f(x)=2-x2，g(x)=x.若f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)},那么f(x)*g(x)的最大值是（ D ）A.1 B.2 C.3 D.4解析：f(x)*g(x)是一个分段函数： f(x)*g(x)=.于是，原问题就是：求这个分段函数的最大值。

利用求函数最值的方法可以解决问题通过函数y=2﹣x2与y=x的图象（如图），可知实线部分即为f(x)*g(x)的图象,于是图中点的纵坐标即为所求，易求得xA=1，故选A.11. 设集合M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果b﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是( C )A. B. C. D.解析：集合M的“长度”为，集合N的“长度”为，而集合{x|0≤x≤1}的“长度”为1，故M∩N的“长度”的最小值为+﹣1=，故选C.12.给定an=logn+1(n+2)(n∈N*)，定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的数k(k∈N*)叫企盼数，则区间[1，2003]内的所有企盼数的和M=（ D ）A.4074 B.4073 C.2025 D.2026解析：∵an=logn+1(n+2)(n∈N*)，∴a1·a2·a3·…·ak=log23·log34·…·logk+1(k+2)= log2(k+2)，要使log2(k+2)为正整数，则可设k(n)+2=2n+1，即k(n)=2n+1﹣2(n∈N*)，令1≤2n+1﹣2≤2003，∴1≤n≤9(n∈N*)，则区间[1，2003]内的所有企盼数的和M=k(n)=(2n+1-2)=(22-2)+(22-2)+…+ (210-2)=(22+23+……210)-2×9==2026，故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上13.经济学中，定义Mf(x)=f(x+1)-f(x)为函数f(x)的边际函数，某企业的一种产品的利润P(x)=-x3+30x2+1000(x∈[10,25]且x∈N*)，则它的边际函数MP(x)=_-3x2+57x+29(x∈[10,25]，且x∈N*)_.解析：由定义，得MP(x)=P(x+1)﹣P(x)=﹣3(x+1)3+30(x+1)2+1000﹣(-x3+30x2+1000)=-3x2+57x+29.14.若数列{an}满足：（1）{an}是递增的；（2）当n≤5时，Sn＜0；当n＞5时，Sn＞0；（3）对n∈N*，有2an+1=a n+2+a n；(4)点{n，an}在方向向量为(1，2)的直线上.对符符合条件的数列{an}为 .(写出一个通项公式即可)解析：这是结论开放题，由题知，{an}是等差数列，且d=2，由S5＜0，S6＞0，，解得﹣5＜a1＜﹣4，故an=﹣+(n﹣1)×2，an=﹣+(n﹣1)×2，……，an=2n﹣，an=2n﹣，…….15.已知函数f(x)满足：对任意实数x1，x2，当x11时,为使函数f(x)= loga(ax2﹣x)在区间[2,4]上是增函数,需g(x)=ax2﹣x在区间[2,4]上是增函数,故应满足，解得 a>，又∵a>1，所以a>1.当01时，函数f(x)=loga(ax2﹣x)在区间[2,4]上是增函数.20.(本小题12分)已知a＞0，a≠1，则P：函数y=loga(x+1)在x∈(0，+∞)内单调递减；q：抛物线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点，如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围.解析：由题意知p与q有且仅有一个为真命题.当0＜a＜1时，函数y=loga(x+1)在(0，+∞)内单调递减；当a＞1时，函数y=loga(x+1)在(0，+∞)内不是单调递减；抛物线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点等价于(2a-3)2﹣4＞0，解得a＜或a＞.(1) 若p正确，q不正确，即函数y=loga(x+1)在(0，+∞)内单调递减，抛物线y=x2+(2a-3)x+1与x轴不交于两点，(2) 因此a∈(0，1)∩([，1]∪(1，))，即[，1].(3) 若p不正确，q正确，即函数y=loga(x+。