2022-2023学年广东省广州市广东中学(高中部)高一数学理上学期期末试卷含解析.docx

2022-2023学年广东省广州市广东中学(高中部)高一数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中，角,均为锐角，且，则的形状是 (　　)A．直角三角形　 B．锐角三角形    C．钝角三角形  D．等腰三角形参考答案：C2. 对于实数m，n定义运算“⊕”：m⊕n=，设f（x）=（2x﹣1）⊕（x﹣1），且关于x的方程f（x）=a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（　　） A．（﹣，0） B．（﹣，0） C．（0，） D．（0，）参考答案：A【考点】函数的零点与方程根的关系． 【专题】综合题；函数的性质及应用． 【分析】由新定义，可以求出函数的解析式，进而求出x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x1x2x3的取值范围． 【解答】解：由2x﹣1≤x﹣1，得x≤0，此时f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=﹣（2x﹣1）2+2（2x﹣1）（x﹣1）﹣1=﹣2x， 由2x﹣1＞x﹣1，得x＞0，此时f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=（x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x﹣1）=﹣x2+x， ∴f（x）=（2x﹣1）⊕（x﹣1）=， 作出函数的图象可得， 要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3， 则0＜x2＜＜x3＜1，且x2和x3，关于x=对称， ∴x2+x3=2×=1．则x2+x3≥2，0＜x2x3＜，等号取不到． 当﹣2x=时，解得x=﹣， ∴﹣＜x1＜0， ∵0＜x2x3＜， ∴﹣＜x1x2x3＜0， 即x1x2x3的取值范围是（﹣，0）， 故选：A． 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，根据已知新定义，求出函数的解析式，并分析出函数图象是解答的关键． 3. 已知集合，且，则实数的取值范围是（    ）A.      B.      C.   D.参考答案：C4. 已知函数，当时，y取得最小值b，则等于（）A. －3 B. 2 C. 3 D. 8参考答案：C【分析】配凑成可用基本不等式的形式。

计算出最值与取最值时的x值详解】当且仅当即时取等号，即【点睛】在使用均值不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可5. 为了判断甲乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个比较稳定，通常需要知道这两个人的（　　）　A．平均数B．众数C．方差D．频率分布参考答案：C6. 在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）A．（，） B．（﹣，0） C．（0，） D．（，）参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据导函数判断函数f（x）=ex+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵函数f（x）=ex+4x﹣3∴f′（x）=ex+4当x＞0时，f′（x）=ex+4＞0∴函数f（x）=ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0﹣3=﹣2＜0f（）=﹣1＞0f（）=﹣2=﹣＜0∵f（）?f（）＜0，∴函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（，）故选：A7. 设P，Q是两个非空集，定义集合间的一种运算“”：PQ={x|x∈P∪Q，且x?P∩Q}．如果P={y|y=}，Q={y|y=4x，x＞0}，则PQ=（　　）A．[0，1]∪（4，+∞） B．[0，1]∪（2，+∞） C．[1，4] D．（4，+∞）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出P与Q中y的范围，分别确定出P与Q，求出P与Q的交集、并集，利用题中的新定义求出所求集合即可．【解答】解：由P中y=，得到0≤y≤2；由Q中y=4x，x＞0，得到y＞1，∴P=[0，2]，Q=（1，+∞），∴P∪Q=[0，+∞），P∩Q=（1，2]，则PQ={x|x∈P∪Q，且x?P∩Q}=[0，1]∪（2，+∞）．故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．　8. 下列命题中表示直线，表示直线平面，正确的是（    ）A.若，则 .          B.若，则.C.若，则.    D.若，，，则.参考答案：D略9. 多面体的直观图如右图所示，则其正视图为（ ） 参考答案：A略10. 空间四点A、B、C、D满足的取值  （    ）    A．只有一个       B．有二个         C．有四个         D．有无穷多个参考答案：解析：注意到32+112=130=72+92，由于，则    DA2==AB2+BC2+CD2+2（+=，即，只有一个值0，故选A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知||=2，||=1，与的夹角为60°，又=m+3， =2﹣m，且⊥，则实数m的值为　    　．参考答案：﹣1或6【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题设条件⊥，可得?=0，将=m+3， =2﹣m，代入，展开，再将||=2，||=1，与的夹角为60°，代入，即可得到关于参数的方程，求出参数的值【解答】解：由题意⊥，可得?=0，又=m+3， =2﹣m，∴2m﹣3m+（6﹣m2）=0，又||=2，||=1，与的夹角为60°，∴5m+6﹣m2=0∴m=﹣1或m=6．故答案为：﹣1或6．【点评】本题考查平面向量的综合题，解答本题关键是熟练掌握向量垂直的条件，数量积的运算性质，数量积公式，本题属于向量的基本运算题，难度中等．12. 已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是　　．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】求出f（x）的解析式，带入不等式解出．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x+2，∵y=f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x﹣2．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．∴f（x）=，（1）当x＞0时，2（x﹣2）﹣1＜0，解得0＜x＜．（2）当x=0时，﹣1＜0，恒成立．（3）当x＜0时，2（x+2）﹣1＜0，解得x＜﹣．综上所述：2f（x）﹣1＜0的解集是．故答案为．【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性，属于中档题．13. 若函数为偶函数，则实数的值为__________．参考答案：0略14. 直线与曲线有公共点，则的取值范围是          参考答案：15. 设是等差数列，的前项和，且，则=          ．参考答案：略16. 设集合是小于5的质数，则的真子集的个数为　　     ．参考答案：317. 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为　_________　和　_________　．参考答案：24,23三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （8分）已知向量，满足||=2，||=1，，的夹角为120°．（1）求?的值；（2）求向量﹣2的模．参考答案：考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用．分析： （1）由向量的数量积的定义，计算即可得到；（2）由向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．解答： （1）由||=2，||=1，，的夹角为120°，则=||?||?cos120°=2×1×（﹣）=﹣1．（2）||====2．点评： 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题． 19. （12分）（1）已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1及f（x+1）﹣f（x）=2x，求f（x）．（2）若f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，求f（x）．参考答案：考点： 函数解析式的求解及常用方法． 专题： 函数的性质及应用．分析： （1）设出f（x）的表达式，得出f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b=2x，得方程组，从而求出函数的解析式；（2）把x=代入方程，得到方程组解出即可．解答： （1）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1，得c=1，∵f（x+1）﹣f（x）=[a（x+1）2+b（x+1）+c]﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b=2x，∴，解得：，∴f（x）=x2﹣x+1；（2）∵f（x）+2f（）=3x①，∴f（）+2f（x）=②，①②组成方程组，解得：f（x）=﹣x．点评： 本题考查了函数的解析式的常用求法，本题属于基础题．20. （本小题满分12分）已知抛物线的最低点为，（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（1）依题意，有．因此，的解析式为；   ………………3分故 …………………6分（2）由（）得（），解之得（）由此可得且，所以实数的取值范围是．    …………………12分略21. 已知平面向量=（，﹣1），=（，）．若存在不同时为零的实数k和t，使=+（t2﹣3）， =﹣k+t，且⊥（1）试求函数关系式k=f（t）；（2）求使f（t）＞0的t的取值范围．参考答案：【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；9J：平面向量的坐标运算．【分析】（1）由题意可得，即[+（t2﹣3）?]?（﹣k+t）=0．再由，可得﹣4k+t（t2﹣3）=0，化简可得函数关系式k=f（t）．（2）由f（t）＞0，得，即，由此解得t的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，即[+（t2﹣3）?]?（﹣k+t）=0．∵，∴﹣4k+t（t2﹣3）=0，即  ．（2）由f（t）＞0，得，即，解得﹣＜t＜0 或 t＞．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，高次不等式的解法，属于基础题．22. （本小题满分16分）如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3(百米)， 底AB的长为4(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为S1和S2(1) 若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；(2) 求的最小值。

参考答案：解：(1) ∵ E为AC中点，∴ AE＝CE＝.∵ ＋3＜＋4，∴ F不在BC上．(2分)若F在AB上，则AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3，∴ AE＋AF＝5.∴ AF＝＜4.(4分)在△ABC中，cosA＝.(5分)在△AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcosA＝＋－2×××＝，∴ EF＝.(6分)     即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)．(7分)(2) 若小道的端点E、F点都在两腰上，如图，设CE＝x，C。