高数-极限求解方法与技巧总结.docx

第一章 极限论极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终因为有关函数的 可积、连续可导等性质都是用极限来定义的毫不夸张地说，所谓高数，就是 极限衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻， 有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解 重点是求极限数列极限函数极限极限的定义极限的性质 函数极限的定义 函数极限的性质一、求极限的方法1. 利用单调有界原理 单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递 减有下界，则该数列的极限一定存在可以说，整个高等数学是从该结论出发来 建立体系的利用该定理一般分两步：1、证明极限存在2、求极限说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n项和第n +1项的关系式，首先用 归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性(或先证有界、再证单 调性)，由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限例1设a > 0,x > 0,x = (x +— ),n = 0,1,…证｛x ｝的极限存在，并求其极限0 n+1 2 n x nn 分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。

解：由基本不等式，x二i(x + -)>Ja，所以可知数列x有下界；下面证单n+1 2 n x nn调性，可知当n > 2时，有x二x + )< x +二)二x，则x单调递减综n +1 2 n x 2 n x n nnn合可得，则x单调递减有下界，所以limx存在；令limx = A，带入等式解得n n nnTg nsA = \： a评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性的过程中并没有用传统的作差或作商的方法，而是用了x ”这一代换(原因n+1是\方正是数列的极限值，这正是本题的高明之处，在以后的证明过程中可以借 鉴，掌握这一套路例2设x =工— 证明｛x ｝的极限存在n k ln k nk=2分析：本题给出的是数列的通项，看似很难下手，其实应该注意到丄 的原函x ln x数就是lnln x，而且工丄正好可以与定积分的和式挂钩，这就是本题的突破 k ln kk = 2口证：工可视为高(长)度为~^—(k = 2,...,n)，宽度为1的矩形的面积和 k ln k k ln kk=2由于f (x)= 丄在［2, +如上单调递减且恒大于0，则由定积分的几何意义可知,x ln x艺—1— > fn -_dx = lnlnn-lnln2，所以有k ln k 2 x ln x1 -lnlnn > fn 1 dx-lnlnn = -lnln22 x ln xk=2+ k ln k n ln n k=2x =工-1 - lnln n = E-1 n k ln kk=2(0.1)所以 x 有下界 ，n下证单调性1—dx - ln ln n + ln ln(n -1) = 0 lnln xx - x = - ln ln n + ln ln(n -1) < fn n -1 n ln n n -1(0.2)由式(1.1)和(1.2)可知，数列 x 单调递减有下界，所以 lim x 存在。

得证 nnns评注：本题以丄的原函数就是lnlnx，而且工」可视为定积分的和式这一 xln x klnkk=2突破口，结合函数的单调性运用定积分的几何意义构造不等式进行有界性，单调 性的证明对于单调性的证明，也可1 1 n 1 1 n 1x -x = -lnlnn + lnln(n-1) = -Jn dx< -Jn dx = 0n n-1 nlnn nlnn n-1 xln x nlnn n-1nlnn其本质上是一样的前面，我们讨论的数列都是单调的，但有时候数列本身不单调，而其奇、偶子列单调且其有相同的极限值，则原数列也有极限下面以例子说明例3设a = 3,a = ,n g N*.证明｛a ｝收敛，并求之1 n+11 + a nn分析：首先可知a = 3,a = ,a =—,a =?，可知a并不单调，但可以考虑奇子1 2 4 3 5 4 9 n列和偶子列证明：用数归法证明单调性1)由a > a，知k = 1成立13(2) 假设当n = 2k +1时，有a < a 成立2 k+1 2 k -1(3) 则有当n = 2k+3时，a2k+31+1+ a2k+11+a= <2+a2k+11+a 2k-1 = 2 + a2 k-1 1 十 r1+a2k-1=a2k+1所以，当n = 2k + 3时也成立。

其奇子列单调递减1由于a > 0，而a = ——< 1，且a = 3，所以有0 < a < 4则其奇子列单调递n n+1 1 + a 1 nn11 + B11 + A解得A=B=叮减且有下界同理可证，偶子列单调递增且有上界，由单调有界原理可知，奇、A = 偶子列的极限均存在，不妨设为A和B则有0，则a —a >0即奇子列单调递减，偶子列单调递增4 2 2k+2 2k这样的讨论显然比较繁琐，有没有更简单的方法呢？当然有，下面再讨论2. 压缩映象原理其实应用压缩映象原理求极限的基础实质上就是极限的定义下面介绍该原理定理：设0

则有nS =工(x -x ) = x -x 两边同时取极限，可知limx = s + x，得证.n k +1 k n +1 1 n +1 1nsk =1Q2 由x - A < r x - A，贝y当n充分大时，Ve > 0有n+1xn+1-A < r x - A < r2 x - A < •…< rn x - A 5，所以有4 n n 4a — an+1 n1 + an1 + an-1a — a 161—— n-1 < ——a - a(1+ a )(1+ a ) 25 n n-1n n-1可知其满足条款 1，所以 lima 存在nns显然，没有对比就没有差距，第二种方法要简单很多，这正是压缩映象原理的魅 力3.夹逼定理 夹逼定理实际上就是运用数列极限的性质求极限，其实质上就是掌握不等式的放 缩技巧，做到放缩有度例 4. 求 limn T8【法一】设 Xn = 1 23.4.；(2(2-)1)(0.3)，因为22 3 4 2n -1 2n<—，— < ,…, <3 4 5 2n 2n +11・ 3 • 5 …(2n — 1) 2 • 4 • 6 …(2n)、巴-2 - 4 - 6 - (2n) < 3 - 5 - (2n +1)(0.4)将式（1.3）与式1.4）两边相乘，则有有1叽2n吕二0,由夹逼定理,则有lim x = 0nns当然，夹逼定理能证明，但是世界总是多元的，方法也当然不只是一种。