2021年二阶线性微分方程的解法.docx

精品word学习资料可编辑二阶常系数线性微分方程一，二阶常系数线形微分方程的概念名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑形如 ypy qyf ( x)(1)名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑的方程称为二阶常系数线性微分方程 .其中 p ， q 均为实数 ,f (x)为已知的名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑连续函数 .假如 f( x)0 ,就方程式 (1) 变成名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑y pyqy 0(2)名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑我们把方程 (2) 叫做二阶常系数齐次线性方程 ,把方程式 (1) 叫做二阶常系数非齐次线性方程 . 本节我们将争论其解法 .二，二阶常系数齐次线性微分方程1. 解的叠加性名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑定理 1 假如函数y1与y2 是式 (2) 的两个解 , 就 yC1 y1C 2 y2 也是名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑式(2) 的解,其中C1, C 2 是任意常数 .名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑证明 由于y1与y2 是方程 (2) 的解 ,所以有名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑y1 py1 qy1 0y2 py2 qy2 0将 y C1 y1 C 2 y2 代入方程 (2)的左边 ,得名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑(C1 y1C 2 y2 )p(C1 y1C 2 y2 )q(C1 y1C 2 y2 )名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑= C1( y1py1qy1 )C 2 ( y2py2qy2 ) 0名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑所以 yC1 y1C 2 y2 是方程 (2)的解 .名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑定理 1 说明齐次线性方程的解具有叠加性 .名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑叠加起来的解从形式看含有的通解 .C1,C 2 两个任意常数 ,但它不肯定是方程式 (2)名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑2. 线性相关，线性无关的概念名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑设 y1 , y2 ,, yn , 为定义在区间 I 内的 n 个函数 ,如存在不全为零的常数k1 , k2,, kn , 使得当在该区间内有k1 y1k 2 y2k n yn0 , 就称这 n个函数在区间 I 内线性相关 ,否就称 线性无关 .例如1, cos2 x,sin 2 x 在实数范畴内是线性相关的,由于1 cos2 x sin 2 x0又如 1, x, x2 在任何区间 (a,b)内是线性无关的 ,由于在该区间内要使k1 k2 xk3 x20必需 k1k2k30 .对两个函数的情形 ,如y1y2常数 , 就 y1 , y2 线性相关 ,如y1y2常数 , 就y1 , y2 线性无关 .3.二阶常系数齐次微分方程的解法定 理 2 如 果y1 与 y2 是 方 程 式 (2) 的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 , 就y C1 y1 C 2 y2 (C1 ,C 2 为任意常数 )是方程式 (2)的通解 .例如 , yy0 是二阶齐次线性方程, y1 sin x, y2cos x 是它的y1两 个 解 , 且tan x常 数 , 即y1 , y2 线 性 无 关 ,所 以y2名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑y C1 y1C 2 y2C1 sin xC2 cos x名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑( C1 ,C 2 是任意常数 )是方程 y y 0 的通解 .名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑由于指数函数 yerx(r 为常数 ) 和它的各阶导数都只差一个常数因子 ,名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑依据指数函数的这个特点 ,我们用 yerx来试着看能否选取适当的常数 r ,名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑使 y erx 满意方程 (2).将 y e rx 求导,得名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑y re rx , yr 2 erx名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑把 y, y , y代入方程 (2),得名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑( r 2 pr q)erx 0名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑由于 erx0 , 所以只有r 2 pr q 0(3)名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑只要 r 满意方程式 (3), yerx 就是方程式 (2)的解 .名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑我们把方程式 (3)叫做方程式 (2) 的特点方程 ,特点方程是一个代数方程 ,名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑其中 r 2 , r的系数及常数项恰好依次是方程 (2)y , y , y 的系数 .名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑特点方程 (3) 的两个根为解有以下三种不同的情形 .r1, 2p p 224q, 因此方程式 (2) 的通名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑2(1) 当 p4q 0 时，r1, r2是两个不相等的实根 .名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑p p 2r124q, r2p p 2 4q 2名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑12y er1 x , yer2 x 是方程 (2) 的两个特解 ,并且 y1y2( r r ) x12e常数 ,即名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑y1 与y2 线性无关 .依据定理 2,得方程 (2) 的通解为 yC er1xC er2 x名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑122(2) 当 p4q 0 时,r1, r2 是两个相等的实根 .名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑r1 r2p,这时只能得到方程 (2) 的一个特解 y12er1x,仍需求出另名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑一个解y2y2 ,且y1y2常数,设y1u( x) , 即名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑2y er1xu( x)名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑2y er1x (ur1u ), y2er1x (u2 r1u2r1 u) .名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑将 y2 , y2 , y2 代入方程 (2), 得名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑整理 ,得e r1 x (u2 r1u2r1 u)p(ur1u) qu 0名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑e r1x [u( 2r1p) u22(r1pr1q) u] 0名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑由于 er1x0 , 所以 u(2r1p) u(r1pr1q) u 0名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑由于 r1 是特点方程 (3) 的二重根 , 所以名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑从而有1 pr1 qr2u 00, 2r1 p 0名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑由于我们只需一个不为常数的解 ,不妨取 u个解x , 可得到方程 (2) 的另一名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑y2那么 ,方程 (2)的通解为xer1x .名。