1981-2019全国高中数学联赛竞赛真题及解析(39年完整版).pdf

1981 年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛 1选择题(本题满分 35 分，每题答对者得 5 分，答错者得2 分，不答者得 0 分) 条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等 条件乙：两个三角形全等 A甲是乙的充分必要条件 B甲是乙的必要条件 C甲是乙的充分条件 D甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 条件甲： 1+sin=a 条件乙：sin2+cos2=a A甲是乙的充分必要条件 B甲是乙的必要条件 C甲是乙的充分条件 D甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 设 k2 (k0，1，2，)， T=sin+tancos+cot AT 取负值 BT 取非负值 CT 取正值 DT 取值可正可负 下面四个图形中，哪一个面积大？ AABC：A=60 ，B=45 ，AC= 2 B梯形：两条对角线的长度分别为 2和 3，夹角为 75 C圆：半径为 1 D正方形：对角线长度为 2.5 给出长方体 ABCDABCD，下列 12 条直线：AB，BA，CD，DC，AD，DA，BC，CB，AC，BD，AC，BD中有多少对异面直线？ A30 对 B60 对 C24 对 D48 对 在坐标平面上有两个区域 M 和 N，M 是由 y0，yx 和 y2-x 这三个不等式确定，N 是随 t 变化的区域，它由不等式 txt+1 确定，t 的取值范围是 0t1 ，设 M 和 N 的公共面积是函数 f(t)，则 f(t)为 At2+t+12 B2t2+2t C.112t2 D. 12(t2)2 对方程 x|x|+px+q=0 进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？ A至多有三个实根 B至少有一个实根 C仅当 p24q0 时才有实根 D当 p0 时，有三个实根 2(本题 15 分) 下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正： x 0.021 0.27 1.5 2.8 3 5 lgx 2a+b+c3 6a3b2 3ab+c 12a+2bc 2ab a+c x 6 7 8 9 14 lgx 1+abc 2(a+c) 33a3c 4a2b 1a+2b 3(本题 15 分)在圆 O 内，弦 CD 平行于弦 EF，且与直径 AB 交成 45 角，若 CD 与 EF 分别交直径 AB于 P 和 Q，且圆 O 的半径为 1，求证： PCQE+PDQF0，选 C 下面四个图形中，哪一个面积大？ AABC：A=60 ，B=45 ，AC= 2 B梯形：两条对角线的长度分别为 2和 3，夹角为 75 C圆：半径为 1 D正方形：对角线长度为 2.5 解：A 中三角形面积=14(3+ 3)；B 中梯形面积=14(3+ 3)； C 中圆面积=，D 中正方形面积=12 (52)2=252于是 B=ADC选 C 给出长方体 ABCDABCD，下列 12 条直线：AB，BA，CD，DC，AD，DA，BC，CB，AC，BD，AC，BD中有多少对异面直线？ A30 对 B60 对 C24 对 D48 对 解：每条面上的对角线都与 5 条面上的对角线异面故共有 5122=30 对选 A 在坐标平面上有两个区域 M 和 N，M 是由 y0，yx 和 y2-x 这三个不等式确定，N 是随 t 变化的区域，它由不等式 txt+1 确定，t 的取值范围是 0t1 ，设 M 和 N 的公共面积是函数 f(t)，则 f(t)为 At2+t+12 B2t2+2t C.112t2 D. 12(t2)2 解：OAB 的面积=1。

直角边长为t的等腰直角三角形面积=12t2.直角边长为2(1+t)=1t的等腰直角三角形面积=12(1t)2 f(t)=112t212(1t)2=1t2+t12=12+tt2( 0t1 )选 A 对方程 x|x|+px+q=0 进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？ yxO1212ABll12tt+1y=xy=2-x A至多有三个实根 B至少有一个实根 C仅当 p24q0 时才有实根 D当 p0 时，有三个实根 解：画出 y=x|x|及 y=pxq 的图象：知 A、B 正确，C、D 错误选 C、D 2(本题 15 分) 下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正： x 0.021 0.27 1.5 2.8 3 5 lgx 2a+b+c3 6a3b2 3ab+c 12a+2bc 2ab a+c x 6 7 8 9 14 lgx 1+abc 2(a+c) 33a3c 4a2b 1a+2b 解：若 lg3=2ab，则 lg9=4a2b 及 lg0.27=6a3b2，此三个数值同时正确或错误，故此三个数值都正确 若 lg8=33a3c，则 lg2=1ac，lg5=1lg2=ac，lg6=lg3lg2=1abc由于此三数同时正确或错误，故此三个数值都正确 于是 lg1.5=lg3lg2=(2ab)(1ac)=3abc1 与表中 lg1.5=3abc 矛盾即 lg1.5 的数值错误 若 lg2.8=12a2bc，则 lg14=lg2.8lg5=(12a2bc)(ac)=1a2b，lg0.021=lg3lg14lg23=(2ab)(1a2b)(1ac)3=2abc3，即此三个数值同时正确或错误，故此三个数值正确lg7=lg14lg2=(1a2b)(1ac)=2bc，与表中 lg7=2a2c 矛盾； 表中 lg1.5 与 lg7 是错误的，应为 lg1.5=3abc1，lg7=2bc 3(本题 15 分)在圆 O 内，弦 CD 平行于弦 EF，且与直径 AB 交成 45 角，若 CD 与 EF 分别交直径 AB于 P 和 Q，且圆 O 的半径为 1，求证： PCQE+PDQF2 证明：作 OMCD，垂足为 M，交 EF 于 N，设 ON=n，OM=m 则 CM=DM=1m2，EN=FN= 1n2， 本题即证(1m2m)( 1n2n)+( 1m2m)( 1n2n)2 展开得，1m2 1n2mn1 移项，平方得，1m2n2m2n22mn 取“+”号时，M、N 在点 O 同侧，此时 mn，总之，命题成立 (当 E、F 交换位置时，且 CD、EF 在点 O 异侧时，可能有 m=n) 又证：PC2+PD2=(CM+OM)2+(CMOM)2=2(CM2+OM2)=2，同理 QE2+QF2=2 4=PC2+PD2+QE2+QF2=(PC2+QE2)+(PD2+QF2)2 (PCQE+PDQF) 等号当且仅当 PC=QE， PD=QF时成立但由已知，此二式不成立故证 4(本题 15 分)组装甲、乙、丙三种产品，需用 A、B、C 三种零件每件甲需用 A、B 各 2 个；每件乙需用 B、C 各 1 个；每件丙需用 2 个 A 与 1 个 C用库存的 A、B、C 三种零件，如组装成 p 件甲产品、q件乙产品和 r 件丙产品，则剩下 2 个 A 和 1 个 B，但 C 恰好用完试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的 A、B、C 三种零件都恰好用完 解：已知即：每个甲用 A2，B2， 每个乙用 B1，C1， 每个丙用 A2， C1 共有 A 产品 2p2r2 件；B 产品 2pq1 件；C 产品 qr 件 设组装 m 件甲，n 件乙，k 件丙，则用 2m2k 件 A； 用 2mn 件 B； 用 nk 件 C 如全部用完，则有 2p2r2=2m2k； pr1=mk MNADCBFEPQO 2pq1=2mn； qr=nk ：3p2=3m这是不可能的故证 5(本题 20 分)一张台球桌形状是正六边形 ABCDEF，一个球从 AB 的中点 P 击出，击中 BC 边上的某点 Q，并且依次碰击 CD、DE、EF、FA 各边，最后击中 AB 边上的某一点设BPQ=，求 的范围 提示：利用入射角等于反射角的原理 解：解：只要把这个正六边形经过 5 次对称变换则击球时应如图所示，击球方向在MPN 内部时即可 设 AB=2，以 P 为原点，PB 为 x 轴正方向建立直角坐标系， 点 M 坐标为(8， 3 3) 点 N 坐标为(10，3 3)，即 arctan3 310，arctan3 38 NMQPFEDCBA- 1 - 1982 年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛 1选择题(本题 48 分，每一小题答对者得 6 分，答错者得 0 分，不答者得 1 分)： 如果凸 n 边形 F(n4)的所有对角线都相等，那么 AF四边形 BF五边形 CF四边形五边形 DF边相等的多边形内角相等的多边形 极坐标方程 =11cos +sin所确定的曲线是 A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 如果 log2log12(log2)=log3log13(log3x)= log5log15(log5x)=0，那么 Azxy Bxyz Cyzx Dzyx 由方程|x1|+|y1|=1 确定的曲线所围成的图形的面积是 A1 B2 C D4 对任何 (0，2)都有 Asinsincoscoscoscos Csincoscoscossin Dsincoscos0，N=(x，y)|arctanx+arccoty=，那么 AMN=(x，y)| |xy|=1 BMN=M CMN=N DMN=(x，y)| |xy|=1，且 x，y 不同时为负数 当 a，b 是两个不相等的正数时，下列三个代数式： 甲：(a+1a)(b+1b)， 乙：( ab+1ab)2， 丙：(a+b2+2a+b)2 中间，值最大的一个是 A必定是甲 B必定是乙 C必定是丙 D一般并不确定，而与 a、b 的取值有关 2(本题 16 分)已知四面体 SABC 中， ASB=2，ASC=(02)，BSC=(02) 以 SC 为棱的二面角的平面角为 求证：=arc cos(cotcot) 3(本题 16 分)已知： 半圆的直径 AB 长为 2r； 半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直，垂足为 T，|AT|=2a(2av点 P 在 x 轴和 y 轴上的射影分别为 M、N 求证：|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别为 1、9、8、2 - 3 - 1982 年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答 1选择题(本题 48 分，每一小题答对者得 6 分，答错者得 0 分，不答者得 1 分)： 如果凸 n 边形 F(n4)的所有对角线都相等，那么 AF四边形 BF五边形 CF四边形五边形 DF边相等的多边形内角相等的多边形 解：由正方形及正五边形知 A、B 均错，由对角线相等的四边形形状不确定，知 D 错，选 C 极坐标方程 =11cos +sin所确定的曲线是 A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解：=11 2cos( +4)，知 e= 2，选 C 如果 log2log12(log2)=log3log13(log3x)= log5log15(log5x)=0，那么 Azxy Bxyz Cyzx Dzyx 解：x=212，y=313，z=515；x=212=816，y=313=916，故 xy，又 x=32110，z=25110，故 zx故选 A 由方程|x1|+|y1|=1 确定的曲线所围成的图形的面积是 A1 B2 C D4 解：此曲线的图形是一个正方形，顶点为(0，1)，(1，0)，(2，1)，(1，2)；其面积为 2选 B 对任何 (0，2)都有 Asinsincoscoscoscos Csincoscoscossin Dsincoscoscossin 解：由 0sinsin由 0cos1，得 sincos0，N=(x，y)|arctanx+arccoty=，那么 AMN=(x，y)| |xy|=1 BMN=M CMN=N DMN=(x，y)| |xy|=1，且 x，y 不同时为负数 解：M 是双曲线 xy=1 在第一、四象限内的两支； 由 arctanx=arccoty， x=1y， xy=1， 若 x0即 N 是 xy=1 在第四象限的一支故选 B 当 a，b 是两个不相等的正数时，下列三个代数式： 甲：(a+1a)(b+1b)， 乙：( ab+1ab)2， 丙：(a+b2+2a+b。