线性代数第1.1课矩阵及其运算.ppt

线性代数(第二版),,魏福义 黄燕苹 主编,中国农业出版社,本课程的基本结构,第一章：矩阵 第二章：向量与线性方程组 第三章：矩阵的特征值与特征向量 第四章：向量的内积与二次型 第五章*：线性空间与线性变换 第六章：Matlab软件的应用,第一章 矩阵,§1 矩阵及其运算,§3 行列式,§2 矩阵的初等变换与初等矩阵,§4 数学建模实例*,第一节 矩阵及其运算,,1.1.1 线性方程组和矩阵的概念,1.1.2 矩阵的基本运算及性质,1.1.3 逆矩阵,1.1.1 线性方程组和矩阵的概念,,,m个方程， n个未知数,,线性方程组,齐次线性方程组,非齐次线性方程组,,,,方程组中未知量的系数矩形数表,考虑方程组右端常数项矩形数表,定义1.1,,,称为m行n列矩阵 ，简称,,,其中诸,,叫做该矩阵的元素，矩阵可以简记,,矩阵，i,j分别称为矩阵A的行标和列标几种特殊形式的矩阵,n阶单位矩阵，简记作In.,IA=AI=A,等……,●对角形矩阵——主对角线上的元素不全为零，其它的元素都为0的方阵，简记作 ●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的元素不全为0的方阵。

如：,等……,●下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零，下方的元素不全为0的方阵数量矩阵,●行矩阵（行向量）——只有一行的矩阵等……,●列矩阵（列向量）——只有一列的矩阵等……,等……,●零矩阵 ——所有元素都为零的矩阵，简记作 ●方阵——行数和列数相等的矩阵如：,等……,二阶方阵,三阶方阵,n阶方阵,如,●同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的两个矩阵，称为同型矩阵如：,只有矩阵 与矩阵 同型,●相等矩阵：若 两矩阵有相同的行数与列数且对应位置上 的元素相等，则称 相等， 记作：,例如：,,,,,,,,● 矩阵的基本运算及性质,（1）交换律 A+B = B+A,（2）结合律 （A+B）+C = A+（B+C）,●矩阵的加法（见P3定义1.3）,矩阵加法的运算规律：,注意：只有同型矩阵才能相加例,●矩阵的减法,,对应位置上的元素相减,二 矩阵的数乘运算,定义,,,,,,（1）,（2）,（3）,,,,（4）,（5）,（6）,,,,设 ， ，求满足方程 的 。

课堂练习,,设两个商店某天销售三种电视机的数量由矩阵A表示,,长虹,,康佳,,创维,百佳,,华润,三种电视机的零售单价(单位千元)由矩阵B表示,,长虹,康佳,创维,,,,,,,,百佳该天出售这三种 电视机的总收入为多 少？华润呢？,矩阵A表示两车间每小时生产三种产品的数量,,矩阵B表示三种产品的单位产品消耗两种原料的数量,车间一,车间二,面包,蛋糕,饼干,面包,蛋糕,饼干,糖,面粉,,,,,,,,,,车间一消耗两种原料的数量？车间二呢？,矩阵A表示两车间每小时生产三种产品的数量,,矩阵B表示三种产品的单位产品消耗两种原料的数量,糖,面粉,,,,,,,,,车间一,车间二,●矩阵的乘法,设,则,其中,左矩阵 右矩阵 A的列数 B的行数,矩阵乘法的规则：,（1） 两矩阵相乘时，前矩阵（居左）每一行（如第i行）的各元素与后矩阵（居右）每一列（如第j列）中顺次对应的各元素相乘再相加，从而得到乘积矩阵（第i行第j列）的元素2) 为保证规则（1），前矩阵的列数应与后矩阵的行数相等，否则两矩阵不能相乘3） 乘积矩阵的行数与前矩阵相同，乘积矩阵的列数与后矩阵相同A,,m,,,,=,,n,n,p,m,p,B,C,矩阵乘法的法则：乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素,,等于前矩阵A的第i行的各元素与后矩阵B的第j列中顺次对应的各个元素的乘积之和。

例,设,,求AB,,,,,,,,,,,,,,BA没有意义,例,设,,,AB,,,求AB和BA,,BA,,,,AB和BA都有意义，但不同型,例,,,求AB和BA,AB,,,BA,,,,,(1)AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等(2)两个非零矩阵相乘可能是零矩阵,,例,,求AB和BA,AB,,,BA,,=AB,如果同阶方阵A和B满足AB=BA,则称A与B可交换,矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律,(i) (AB)C=A(BC),(ii),(iii),,,或,●矩阵相乘的运算规律：,,一般地：,或,（1）,（2）,（3）,（4）,●矩阵代数,矩阵的幂,设A是n阶方阵，k为正整数，则,表示,k个A连乘, 如,显然，只有方阵的幂才有意义,,方阵的迹,,方阵的迹是它的主对角线上的元素和,例,tr(A)=2+(-3)+0=-1,性质： (1) tr(A+B)=tr(A)+tr(B)(2) tr(AB)=tr(BA),转置矩阵,把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做的A转置矩阵，记作,行列对调,例,,,,,,,,,,,运算规律,,,对称矩阵,如果方阵A满足,,就称A为对称矩阵,,,,例如,方阵A为对称矩阵,矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素都相等,设A为任意矩阵，则,,,恒为方阵，且都是对称矩阵,设B为任意方阵，则,,恒为对称矩阵,,矩阵分块的定义对于行数和列数较大的矩阵,经常采用 “矩阵分块法” , 即将一个大矩阵看成是以一些小矩阵为元素的矩阵.在运算中,常常把这些小矩阵当作 “元素”来处理.,(在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理),定义: 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每 个小矩阵称为A的一个子块,以这些子块为元素的形式上 的矩阵称为分块阵.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(矩阵A就可以看成是二阶矩阵参与运算).,,,加法运算: 设矩阵A与B的行数相同，列数相同，采用相同的分块法,有,,,,其中 与 的行数相同，列数相同，那么,分块矩阵的加法与数乘,设,,,为数，那么,,数乘,分块矩阵的乘法,,,其中,,转置运算,例题：设,,,,,将A、B适当分块，计算AB,解 将A、B作如下分块：在二、三行之间插入横线，在二、三列之间插入竖线（如题目所示），则,则,而,所以,定义,设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都是零距阵，且非零子块都是方阵，即,,其中,都是方阵，称A为分块对角矩阵,分块对角阵,内容小结,矩阵基本概念：方阵，单位矩阵，对角线矩阵，上（下）三角形矩阵，行（列）向量，矩阵相等.,矩阵的运算：加，减，乘，数乘，转置.分块矩阵及基本运算.,练习,1.计算下列乘积,解：,2.计算,解：,,因此，得,作业: P33-34 1.2: (2),(4),(5). 1.5: (3).,1.1.4 逆矩阵,,AB,BA,称B为A的逆矩阵,定义,设A为n阶方阵。

AB=BA=I,就称为A可逆矩阵，,如果存在n阶方阵B，使得,并称B为A的逆矩阵（简称逆),记作,,,,性质1,如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一,证明,设B和C都是A的逆矩阵，,则AB=BA=I, AC=CA=I,B,=BI,=B(AC),=(BA)C,=IC,=C,,,,,可逆矩阵也称为非退化阵或非奇异阵.,,,性质2,如果A是可逆矩阵，且AB=I，则必有BA=I；如果A是可逆矩阵，且BA=I ，则必有AB=I.,证明,由A可逆，必有,A-1A=AA-1=I,BA,=I(BA),=(A-1A)(BA),=A-1(AB)A,=I,,又已知AB=I，于是有,=A-1IA,=A-1A,同理，可以证明后一结论性质3,如果A和B为同阶可逆矩阵，则AB可逆，且,,证明,,,,,故由性质2可得,,由于,所以AB可逆，由逆矩阵的惟一性得,推广到有限个方阵乘积的情况：,性质4,如果方阵A可逆，则A-1也可逆，且 (A-1) -1 =A.,性质5,如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零证明,假设A的第i行全为零，则由矩阵乘法的定义知AA-1的第i行全为零，这与AA-1=I矛盾.,所以A的每一行都不能全为零.,同理A的每一列也都不能全为零.,性质6,。