华南农大高数第3章积分2.ppt

第二类换元积分法第二类换元积分法分部积分法分部积分法◆◆第一换元法第一换元法◆◆第二换元法第二换元法注：注： 单调、可导，且单调、可导，且 凑微分凑微分则则对于对于则则则则对于对于对于对于 一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式化根式化根式 为三角函数的有理式，为三角函数的有理式，再积分 令令令令令令上式中，均假设上式中，均假设 为各对应反三角函数的为各对应反三角函数的主值区间主值区间解解 令令 则则例例1 求不定积分求不定积分 原式原式辅助三角形辅助三角形公式公式 解解 令令 则则例例2求不定积分求不定积分 原式原式 辅助三角形辅助三角形公式公式 解解 令令 则则 例例3 求不定积分求不定积分 原式原式 辅助三角形辅助三角形解解 令令 例例4 求不定积分求不定积分 则则原式原式 辅助三角形辅助三角形偶次方化倍角偶次方化倍角 ◆◆基本积分公式基本积分公式P106-P107◆◆公式的直接应用公式的直接应用 例例1例例2例例3解解 令令 则则 原式原式例例1求不定积分求不定积分 直接令根式为直接令根式为u，，化根式为有理式化根式为有理式解解 例例2求不定积分求不定积分 令令 则则原式原式 直接令根式为直接令根式为u，，化根式为有理式化根式为有理式解解 则则 例例3求不定积分求不定积分 令令 原式原式 P107公式（公式（20）） 直接令根式为直接令根式为u，，化根式为有理式化根式为有理式解解 原式原式例例4 求不定积分求不定积分 则则 令令 直接令根式为直接令根式为u，，化根式为有理式化根式为有理式例例5 求不定积分求不定积分 解解 则则 令令 原式原式由由得得即即或或◆◆ 分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式 解解 则则例例1求不定积分求不定积分 令令 原式原式 若令若令 则则原式原式 比比 更难求更难求失败！失败！与与 的选择原则的选择原则1、、 可求；可求；2、、 可求，可求， 或较易求或较易求解解 例例2求不定积分求不定积分 令令 则则原式原式 求不定积分求不定积分 解答解答 原式原式 两次使用两次使用分部积分公式分部积分公式解解 例例3求不定积分求不定积分 原式原式原式原式解解 例例4求不定积分求不定积分 原式原式原式原式解解 例例5求不定积分求不定积分 原式原式原式原式 解解 例例6求不定积分求不定积分 原式原式原式原式 解解 例例7求不定积分求不定积分 原式原式原式原式 所以所以所以所以 ◆◆◆◆一般规律一般规律一般规律一般规律令幂函数为令幂函数为令幂函数为令幂函数为 令幂函数为令幂函数为令幂函数为令幂函数为 两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解 注意：第一次使用分部积分公式时，注意：第一次使用分部积分公式时，注意：第一次使用分部积分公式时，注意：第一次使用分部积分公式时，u u与与与与dvdv可任选，但可任选，但可任选，但可任选，但第二次使用分部积分公式时，第二次使用分部积分公式时，第二次使用分部积分公式时，第二次使用分部积分公式时，u u与与与与dvdv的选择，必须与第一次的选择，必须与第一次的选择，必须与第一次的选择，必须与第一次的选择同类的选择同类的选择同类的选择同类。

解解 例例8求不定积分求不定积分 原式原式原式原式 所以所以所以所以 解解 例例9求不定积分求不定积分 原式原式原式原式 所以所以所以所以 解解 令令 例例10 求不定积分求不定积分 则则原式原式原式原式 ◆◆◆◆求不定积分方法小结求不定积分方法小结求不定积分方法小结求不定积分方法小结直接积分法直接积分法直接积分法直接积分法————变形、用公式（变形、用公式（变形、用公式（变形、用公式（2424条）条）条）条） 第一类换元积分法第一类换元积分法第一类换元积分法第一类换元积分法—— —— 凑微分凑微分凑微分凑微分 第二类换元积分法第二类换元积分法第二类换元积分法第二类换元积分法—— —— 利用三角代换，化无理根式为有理式利用三角代换，化无理根式为有理式利用三角代换，化无理根式为有理式利用三角代换，化无理根式为有理式 分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法—— —— ◆◆有理分式的积分有理分式的积分 真分式的性质真分式的性质 将真分式将真分式 分解为部分分式之和．分解为部分分式之和． 上面等式两边乘以上面等式两边乘以，则，则令令令令故故解解 因为因为 例例例例1 1 求不定积分求不定积分求不定积分求不定积分 所以所以所以所以 解解 由待定系数法，把被积函数分解为部分分式之和由待定系数法，把被积函数分解为部分分式之和例例例例2 2 求不定积分求不定积分求不定积分求不定积分 所以所以所以所以 万能公式万能公式◆◆三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 则则原式原式例例例例3 3 求不定积分求不定积分求不定积分求不定积分 解解解解 再见！再见！。