十数学广角相遇问题.doc

第十讲 数学广角（相遇问题）计算技巧:速度和×相遇时间=相遇路程相遇路程÷速度和=相遇时间相遇路程÷相遇时间=速度和例题 1、两辆汽车从 AB 两地相对开出，甲车每小时行 55千米，乙车每小时行 45 千米，经过 3 小时相遇A、B 两地相距多少千米？解答：速度和是：45+55=100 千米/时，相遇时间是：3.根据：相遇路程=速度和×相遇时间所以两地之间的路程是：（45+55）×3=300 千米答：A、B 两地之间的路程是 300 千米例题 2、一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 450 千米的两地相向而行，公共汽车每小时行 40 千米，小轿车每小时行 50 千米，几小时后两车相距 90 千米？ 解答：此题有两种情况，一种是两车没有相遇，还差 90 千米相遇相遇路程是：450-90=360 千米，速度和是：50+40=90千米相遇时间=相遇路程÷速度和=360÷90=4 小时.第二种情况是相遇后又相距 90 千米,所以相遇路程是450+90=540,速度和是 50+40=90，所以相遇时间是：540÷90=6 小时如图： 例题 3、 甲、乙两人从 A、B 两地步行相向而行，甲每小时行 3 千米，乙每小时行 2 千米，两人相遇距离中点 3 千米。

A、B 两地相距多远？解答：现在知甲乙的速度和是 3+2=5；甲乙行驶的时间不知道，但可以求出因为甲每小时比乙多行 3-2=1 千米/小时而通过图可知，甲比乙多行了 3×2=6 千米，所以甲乙共行了 3×2÷（3-2）=6小时根据相遇路程=速度和×相遇时间3+2）×6=30 千米 例题 4. 小明站在铁路旁，一列火车从他身边开过用了 2 分钟已知这列火车长 900 米，以同样的速度通过一座大桥时用了 5 分钟这座大桥长多少米？解答:火车的速度是：900÷2=450 米/分火车行驶 5 分钟行驶的路程是：450×5=2250 米在 2250 米里是火车车身长+桥长所以桥长=2250 米-火车长=2250-900=1350 米答：大桥长 1350 米同步训练：1. 解答：相遇路程是 30 千米，速度和是：4+6=10 千米根据相遇时间=相遇路程÷速度和因此相遇时间是：30÷（4+6）=3 小时答：二人 3 小时相遇2. 解答：两车间加工 1080 套服装，9 天可加工完，每天加工：1080÷9=120 套，由于甲车间每天加工 56 套，所以乙车间加工：120-56=64 套3. 甲乙两车从 A、B 两地出发相向而行，甲乙两车的速度分别是 120 千米/时和 90 千米/时，乙车先开 3 小时，甲车出发又经过 4 小时两车相遇，AB 两地相距多少千米？解答：乙先开 3 小时行 90×3=270 千米；甲乙两车共行驶4 小时，所以两车共同行驶的路程是：4×（120+90）=840千米。

两地之间的路程是乙先行的 270 千米与两车共同行驶的 840 千米的和因此两地之间路程是：840+270=1110千米4. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56 千米，乙每小时行 48 千米，两辆车在离中点 32 千米处相遇，东西两地相距多少千米？解答：甲车每小时比乙车多行 56-48=8 千米现在甲车比乙车多行 32×2=64 千米所以两车共行了 64÷8=8 小时如图甲乙速度和是：56+48=104，甲乙行驶时间是：8 小时，所以两地之间路程是：104×8=832 千米5. 两地相距 6600 千米，甲、乙两列火车从两地出发，相向而行，甲每小时行驶 100 千米，乙车每小时行驶 120 千米，两车在途中相遇后继续前进从相遇时算起，两车开到对方出发点各需几小时？解答：甲乙相遇需要的时间是：6600÷（100+120）=30 小时 乙需要走的是甲的路程：30×100=3000 千米，甲需走的是乙的路程：120×30=3600 千米因此甲到达乙出发点需要的时间是：3600÷100=36 小时；乙到达甲出发点需要的时间是：3000÷120=25 小时6. 一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地向背而行，甲每分钟走 66 米，乙每分钟走 59 米。

经过几分钟才能相遇？解答：两人相遇需行路程为 500 米，甲乙 1 分钟行驶的路程是（速度和）：66+59=125 米/分两人相遇的时间是：500÷125=4 分钟7. A、B 两车同时从相距 810 千米的两地出发相向而行A车的速度是 45 千米/时，B 车的速度是 50 千米/时，途中 A车因故停留了 1 小时，相遇时，AB 两车各行驶了多少千米？解答：若 B 与 A 行驶的时间一样，应行驶的路程是 810-50=760，所以 A 行的时间是：760÷（50+45）=8 小时所以 B 行了 8+1=9 小时A 行路程：8×45=360 千米B 行驶路程：9×50=450 千米8. 一列火车全长 265 米，每秒行 25 米，全车要通过一座985 米长的大桥，需要多少秒钟？解答：火车要行驶的路程是：265+985=1250 米；火车的速度是 25 米/秒所以火车过桥行驶的时间是：行驶路程÷行驶速度=行驶时间即 1250÷25=50 秒9. 一列火车长 258 米，以每秒 18 米的速度，通过一个山洞，从车头入洞到车尾出洞共用了 3 分 45 秒山洞长是多少米？解答：通过的时间是 3 分 45 秒，即 3×60+45=225 秒。

在225 秒里行的路程是：225×18=4050 米4050 里是车身长度+山洞长，所以山洞长是：4050-258=3792 米10. 一个车队以每秒行 5 米的速度缓缓通过一座长 200 米的大桥，共用 145 秒已知每辆车长 5 米，两车间隔 8 米这个车队共有多少辆车？ 解答：车队的速度是 5 米/秒行 145 秒，共行路程为：5×145=725 米由于桥长是 200 米，所以车队长 725-200=525 米由于车队中车长 5 米，两车之间间隔 8 米应注意的是：车数比间隔数多 1.所以若每个车 1 个间隔，车队长应为：525+8=533 米所以共有车：533÷（5+8）=41 辆拓展训练1. 甲乙两车同时从 A、B 两地相向而行，第一次相遇在离A40 千米的地方，两人仍以原速度前进，各自到达终点立即返回，又在离 B 地 20 千米处相遇，A、B 两地之间的距离是 多少千米？解答：如图，甲、乙两人从开始出发到第二次相遇一共行了 3 个全程，两人每行一个全程的时间都相等，行一个全程的时间甲行 40 千米，行 3 个全程的时间，甲应行 3 个 40千米，由于到达 B 点返回 20 千米，所以两地之间的路程是：40×3-20=100 千米。

2. 甲乙两村相距 6 千米，小进和小天分别从甲乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后马上折回） ，在出发后 40 分钟两人第一次相遇，小天到达甲村后返回，在离甲村 2 千米的地方两人第二次相遇小进和小天的速度各是多少？解答：小进和小天行一个全程用时 40 分钟，从出发到第二次相遇一共两人行了 3 个全程，所以行了 40×3=120 分钟，120 分钟=2 小时，此时小天行的路程是 6+2=8 千米，所以小天的速度是 8÷2=4 千米/小时小进在 2 小时里行的路程是：6×2-2=10 千米，小进的速度是：10÷2=5 千米/小时3. 甲、乙二人同时从学校出发到少年宫，已知学校到少年宫的距离是 1200 米，甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫 150 米处遇到乙，此时他们离学校已 30 分钟，甲每分钟行多少米，乙每分钟走多少米？解答：红线为甲，绿线为乙甲行的路程是：1200+150=1350 米，乙行的路程是：1200-150=1050 米甲、乙各行 30 分钟，所以甲速为：1350÷30=45 米/分，乙速为：1050÷30=35 米/分4. 小强和小丽同时从两地出发相向而行，两地相距 20 千米。

小强每小时走 6 千米，小丽每小时走 4 千米，小丽带着一只狗，狗每小时走 8 千米这只狗同小丽一道出发，碰到小强的时候，它又掉头朝小丽这边走，碰到小丽时又往小强那边走，直到两人相遇这只狗共走了多少千米？解答：现在知小狗的速度，只需知小狗跑的时间，就可以求出小狗跑的路程由于小狗跑的时间与小丽和小强相遇的时间相同，因此只需求出小强和小丽行完 20 千米路程所用时间即可小丽和小强相遇时间是：20÷（4+6）=2 小时，所以小狗跑的路程是：2×8=16 千米5. 甲、乙两人骑车同时从 AB 两地相向而行，他们相遇时距离 AB 两地中心处 8 千米，已知甲的速度是乙的 2 倍，AB 两地的距离是多少千米？解答：甲是蓝色，乙是黄色，红色是中点如图甲是乙速度是 2 倍，在相同时间里，所行路程也是乙的 2 倍甲过中点 8 千米，甲就比乙多行 8×2=16 千米，因此根据差倍问题知乙速是：16÷（2-1）=16，所以两地之间的路程是：16×（1+2）=48 千米6. A、B 两地相距 21 千米，甲从 A 地出发，每小时行 4 千米，同时乙从 B 地出发相向而行，每小时行 3 千米在途中相遇以后，两人又相背而行，各自到达目的地后立即返回，在途中第二次相遇。

它们第一次相遇后要经过多少时间第二次相遇？解答：从出发到第一次相遇，两人行了 21 千米，所以需要的时间是：21÷（3+4）=3 小时从第一次相遇到到第二次相遇甲、乙二人还需行 2个全程即用时 2 个 3 小时，即 6 小时7. 甲、乙两地之间有一条公路，李明从甲地出发步行到乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车往甲地80 分钟后两人在途中相遇，张平到达甲地马上折回往乙地，在第一次相遇后经过 20 分钟张平在途中追上李明张平到达乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去，当李明到达乙地时，张平追上李明的次数是多少？解答：张平遇到李明后，然后走了李明用时 80 分钟的路程的 2 倍又走了李明 20 分钟的路程才追上李明，说明李明用时 80×2+20=180 分钟的路程，张平只需 20 分钟走完，所以张平的速度是李明速度的 180÷20=9 倍因此当李明从甲地到达乙地时，张平行了 9 个全程，在单程中，只是迎面相遇，只有在返程中，即第二次，第四次，第六次，第八次行全程时才能从后面追上李明，因此共有 4 次从后面追上李明8. 甲、乙、丙三人中，甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60米，丙每分钟走 70 米，甲、乙两人从东镇，丙从西镇同时相向而行，丙遇到乙后 2 分钟再遇到甲。

两镇相距多少千米？解答：如图，黑色为甲，绿色为乙，红色为丙甲、丙走的 2 分钟路程，应是乙比甲多行的路程由于每分钟乙比甲多行 60-50=10 米，甲丙 2 分钟行的路程是（50+70）×2=240 米，所以乙和丙行了 240÷（60-50）=24 分钟，因此两镇的距离是：24×（60+70）=3120 米。