初一下数学证明经典例题及答案.pdf

创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1月 8 日 创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1月 8 日 如图，已知D 是△ABC 内一点，试说明 AB+AC＞BD+CD 证明：延长BD交AC于E 在△ABC 中，AB+AE＞BE,即 AB+AE＞BD+DE……① 在△DEC 中,DE+EC＞DC……② ①+②，得（AB+AE）+（DE+EC）＞（BD+DE）+CD 即 AB+（AE+EC）+DE＞（BD+DE）+CD 即 AB+AC+DE＞BD+DE+CD ∴AB+AC＞BD+CD 如图，△ABC 中，D 是 BC 的中点，求证： （1）AB+AC＞2AD （2）若 AB=5,AC=3，求 AD 的范围 (1)延长 AD 到点 G,使 DG=AD.连接 BG 在△CDA 和△BDE 中 AD=GD,∠ADC=∠GDB ∵D 是 BC 的中点 ∴CD=BD ∴△CDA≌△BDG. ∴BG=AC 在△ABG 中,AB+BG=AB+BC AG=2AD 因为三角形两边和大于第三边,所以 AB+BE＞AG ∴AB+BC＞2AD B A E A B C D G创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1月 8 日 创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1月 8 日 (2)AB-AC＜2AD＜AB+AC 2＜2AD＜8 1＜AD＜4 如图，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，点 F 为 DE 的中点，求证：BC=2AF. 延长 AF 到点 G,使 AF=DF.连接 GD 在△AFE 和△DFG 中 AF=GF,∠AFE=∠DFG ∵点 F 为 DE 的中点 ∴DF=EF 所以△AFE≌△DFG.(SAS) GD=AE=AC;∠G=∠FAE. ∴DG∥AE.(内错角相等,两直线平行) 则∠GDA+∠DAE=180°.(两直线平行,同旁内角互补） 又∵∠BAC+∠DAE=180°. ∴∠GDA=∠BAC.(同角的补角相等). 又∵AD=AB. ∴⊿ADG≌⊿BAC(SAS) ∴AG=BC,即 2AF=BC. ∴BC=2AF. 如图，AD是△ABC 的中线，点 E 在 BC 的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA B D G F C A EC D B A 创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1月 8 日 创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1月 8 日 求证：AE=2AD 证明：在 AD 的延长线上取点 F,使 AD＝FD,连接 CF ∵AD 是中线 ∴BD＝CD,AD＝FD,∠ADB＝∠FDC ∴△ABD≌△FCD （SAS） ∴CF＝AB,∠B＝∠FCD ∵∠ACF＝∠BCA+∠BCE,∠ACE＝∠BAC+∠B,∠BAC＝∠BCA ∴∠ACF＝∠ACE ∵CE＝AB ∴CE＝CF ∴△ACE≌△ACF （SAS） ∴AE＝AF ∵AF＝AD+FD＝2AD ∴AE＝2AD 如图，△ABC 中，∠ABC=90°，AC=CE,BC=CD,∠ACE=∠BCD=90°，BC 的延长线交 DE 于 F。

（1）求证:EF=DF （2）求证:S△ABC=S△DCE 证明： ①作 EG⊥BF,交 BF 延长线于 G 则∠CGE=∠ABC=90° ∵∠ACE=90° E G C F 创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1月 8 日 创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1月 8 日 ∴∠ACB+∠ECG=90° ∵∠ACB+∠BAC=90° ∴∠ECG=∠BAC 又∵AC=EC ∴△ABC≌△CGE（AAS） ∴BC=EG ∵BC=CD ∴EG=CD ∵∠BCD=90° ∴∠DCF=90°=∠EGF 又∵∠CFD=∠GFE（对顶角相等）,CD=EG ∴△CFD≌△GFE（AAS） ∴EF=DF ②∵△CFD≌△GFE ∴S△CFD=S△GFE ∴S△CFD+S△CFE=S△GFE+S△CFE 即 S△DCE=S△CGE ∵△ABC≌△CGE ∴S△ABC=S△CGE ∴S△ABC=S△DCE 如图，在△ABC，△DEF 中，AM,DN 分别是两三角形中线，AB=DE,AC=DF,AM=DN. B A 创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1月 8 日 创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1月 8 日 求证：△ABC≌△DEF 证明：如图，延长 AM 至 A′，使 A′M=AM 延长 DN 至 D′，使 D′N=DN 连接 A′C、D′F ∵AM 是△ABC 的中线 ∴BM=MC 在△ABM 和△A′CM 中 BM＝MC∠AMB＝∠A′MCAM＝A′M ∴△ABM≌△A′CM（SAS） ∴AB=A′C，同理可得 DE=D′F ∵AB=DE，∴A′C=D′F ∵AM=DN，AA′=2AM，DD′=2DN ∴AA′=DD′，在△AA′C 和△DD′F 中，AC＝DFAA′＝DD′A′C＝D′F ∴△AA′C≌△DD′F（SSS） ∴∠A′=∠D′，在△A′MC 和△D′NF 中，A′M＝D′N∠A′＝∠D′A′C＝D′F ∴△A′MC≌△D′NF（SAS） ，∴MC=NF ∵AM、DN 分别是两三角形中线 ∴BC=2MC，EF=2NF ∴BC=EF，在△ABC 和 DEF 中，AB＝DEAC＝DFBC＝EF B A M C A′ D E D′ N 创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1月 8 日 创作者（人）： 轻秘张 日 期： 贰零贰贰 年 1月 8 日 ∴△ABC≌DEF（SSS）． 。