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例说解答“解析几何”题时常见的小误区湖北省荆州中学 鄢文俊在高中数学知识的学习中，解析几何一直是一个非常重要的知识点解析几何在问题的繁难和灵活多变等方面，学生们通过努力学习都可以取得一些很好的突破，但在考试得分上却又总是不太理想在分析原因时，大多学生总会以为是由一些偶然因素——粗心大意造成的，但其实却是因为一些没引起注意的误区而“必然”形成了这些失误……一、直线的倾斜角与斜率 对直线倾斜角定义掌握不准确，忽视斜率不存在的情况导致误判或漏解1. 直线的倾斜角的取值范围为__________错因 ①直线倾斜角定义，倾斜角的范围掌握不准确；②遗漏斜率不存在的情况；③由斜率范围推导倾斜角的范围时出现错误正解 ①当时，；②当时，，由得，故倾斜角的取值范围为2. 过点且与圆相切的直线方程是___________错解 设过点的直线方程为，即，由得：，故所求的直线方程是分析 设过点的直线方程为，忽视斜率不存在的情况正解 （1）当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时与圆相切2）当过点的直线斜率存在时，设过点的直线方程为，即，由得：，方程为综合得，所求所求的直线方程是或点拨 当点在圆外时，过点一定可作圆的两条切线（发现漏解，及时补全）；当点在圆上时，只能作一条以该点为切点的切线；当点在内时，过点不能作圆的切线。

3. 已知椭圆，为椭圆的右焦点，直线过原点交椭圆于两点求是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由错解 设两点坐标分别为,椭圆的右准线方程为，由椭圆第二定义得 所以 ………（*） 设直线的方程为，代入椭圆方程消整理得：， 于是有 代入(*)式得 所以有最小值3,无最大值分析 设过原点的直线方程中忽视了斜率不存在的情况正解 （1）当的斜率不存在时，即有 （2）（同上述错解中的步骤） 所以有最小值为，最大值为点拨 解有关直线与圆锥曲线的位置关系问题时，学生往往遗漏直线斜率不存在情况，而这种情况因其特殊性而很容易作答与得分，要优先考虑且优先作答 二、圆的方程 圆的标准方程的“标准性”与一般方程中的“必要条件”容易忽视1.已知圆的圆心在直线上，则 错解 圆的圆心坐标为，由得：，于是或分析 圆的一般方程的必要条件中要求，否则该方程不能作为圆的方程正解 由得，又圆的圆心在直线上，由，即，于是或（舍）点拨 若题中给定的圆是一般方程的形式并且含有参数时，要留意这一必要条件2. 已知点，圆，当圆与线段没有公共点时，求的取值范围 错解 将题中的实数当成了圆的半径，误认为。

分析 在表示圆的标准方程时，约定半径为，利用其它字母表示时，要注意范围正解 设，由题意得：，即 ，于是点拨 遵守约定俗成的表达方式，在表达方式中出现另类模式时，如本题中原本是，而改变成了，又如抛物线中的“”原本是“”等，要注意可能产生的陷阱三、圆锥曲线 注重对椭圆、双曲线及抛物线定义的正确解读；在使用曲线与直线方程联立解题时一定要细致运算，同时要正确使用韦达定理，并适时利用判别式加以检验1.抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 错解 选B分析 把方程当成标准方程正解 选D点拨 二次函数的图象为抛物线，在学习二次函数时的侧重点是函数知识，其解析式为而圆锥曲线中的抛物线的标准方程为或对于抛物线来说，其焦点坐标为，准线方程为；对于抛物线来说，其焦点坐标为，准线方程为2.求经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线方程错解 （1）当不存在时，直线满足题意2）当存在时，设所求直线方程为，代入双曲线方程得， 由得，，可得直线方程为， 故所求的直线方程为或分析 在错解的（2）中，利用判别式的前提是要确方程是一元二次方程，否则会产生漏解。

正解 （1）当不存在时，直线满足题意2）当存在时，设所求直线方程为，代入双曲线方程得， ①当时，直线方程为，与双曲线只有一个公共点②当时，直线方程为，与双曲线只有一个公共点③当直线和双曲线相切时，由，得，可得直线方程为故经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线方程有四条，它们分别为：，，，点拨 正解中的两条直线，，实际上是过点且与该双曲线平行的直线，很显然，这样的直线与双曲线一定只能有一个交点3. 已知双曲线,过点且被其平分的弦所在直线方程是（ ）A. B. C. D. 不存在错解 设所求弦所在的直线为，它与双曲线交于两点，因为为线段的中点，于是有， 则，由整理得 所以符合题设条件的直线存在，其直线方程为：，即，故选A分析 错解中由（1）（2）两式可推出（3）式，但由（3）式不能反推出（1）（2）两式，因此在运算中可能会出现不等价——命题涉及的范围放大了，故应对所求直线进行检验，采取补救措施正解 应在上述解题的基础上，再由得，此方程无解说明所求直线不存在故应选D点拨 在解析几何的代数运算中，常常会出现常规的变形或运算，要时刻留意等价性——充要关系。

在进行了不等价的运算后，要及时采取补救措施，把遗漏的补全，把增加的舍掉4. 已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程错解 设动圆圆心坐标为，半径为，由题意得两圆圆心坐标分别为，半径分别为，则,所以,即化简得，即为所求动圆圆心的轨迹方程分析 错解中将看成，误把动圆圆心的轨迹变成了双曲线，这是由对双曲线的定义理解不清所致正解 事实上，只能表示其双曲线右支，即所求的方程中应增加点拨 在解析几何中由与圆相切（内切，外切）而引起的轨迹问题，经常可以用圆锥曲线定义直接解题，但需注意正确运用，防止出现遗漏或增加5. 在中，，，是线段的垂直平分线上的一点，到的距离为2，过点的曲线上任一点满足为常数1）建立适当的坐标系，并求出曲线的方程2）过点的直线与曲线相交于不同的两点，且点在之间，若，求的取值范围正解 （1）(过程从略)（2）①当与轴重合时，②当与轴不重合时，设过的直线的方程为：，由得：（易错点），（易漏点） ∴，又由得：（如何变为求的范围——难点）（易错点）∴，∴，∵（易遗漏点）,∴,综上，（易忘点）点拨 在解答这一类解析几何题时，发现其思路大致成为了一些固定的模式，如“点差法”，“相关点法”，“韦达定理法”等，但看似会处理的问题往往得分不尽人意，需要在类似上题解答中的一些易错易漏点上好好把握，避免在会做的题上失分。