医药高等数学函数解析课件.ppt

5/10/2022医药高等数学医药高等数学1第第1 1章章 函数函数、极限与连续极限与连续 1.1 1.1 函函 数数1.2 1.2 极极 限限1.3 1.3 连连 续续5/10/2022医药高等数学医药高等数学21.1.11.1.1 实数、区间与邻域实数、区间与邻域1.1 1.1 函函 数数1.1.21.1.2 常量与变量常量与变量1.1.31.1.3 函数的定义函数的定义隐函数隐函数单值函数和多值函数单值函数和多值函数函数的定义函数的定义5/10/2022医药高等数学医药高等数学31.1.41.1.4 反函数反函数基本初等函数基本初等函数奇偶性奇偶性初等函数初等函数单调性单调性复合函数复合函数有界性有界性周期性周期性1.1.61.1.6 分段函数分段函数1.1.71.1.7 函数的简单性质函数的简单性质1.1.51.1.5 初等函数初等函数1.1 1.1 函函 数数5/10/2022医药高等数学医药高等数学41.1.1 1.1.1 实数、区间与邻域实数、区间与邻域 1. 1.实数实数实数实数由有理数和无理数两部分组成，全体由有理数和无理数两部分组成，全体实数实数可以用数轴上点的坐标来表示，每一可以用数轴上点的坐标来表示，每一实数构成的集合称为实数构成的集合称为实数集实数集。

实数必是实数必是数轴上某一点的坐标数轴上某一点的坐标，反之，数，反之，数轴上没一点的坐标必是轴上没一点的坐标必是一个实数一个实数每一实数集与数轴上的全体点形成数集与数轴上的全体点形成一一对应一一对应的关系5/10/2022医药高等数学医药高等数学52.2.区间区间区间区间是指介于某两个数之间的全体是指介于某两个数之间的全体在数轴上，区间是介于某两个点之间在数轴上，区间是介于某两个点之间实数，而这两个数叫做区间的实数，而这两个数叫做区间的端点的一条线段上点的全体，两点间的距的一条线段上点的全体，两点间的距离也就是线段的长度，称为离也就是线段的长度，称为区间的长度区间的长度区间可以分成以下几类：区间可以分成以下几类：开区间，闭区间，半开区间开区间，闭区间，半开区间5/10/2022医药高等数学医药高等数学6上述区间都称为上述区间都称为有限区间有限区间. .如果区间的两个端点中至少有一个是如果区间的两个端点中至少有一个是( (无限数）无限数）例如例如则称该区间为则称该区间为无限区间无限区间都是无限区间都是无限区间. .全体实数构成的集合全体实数构成的集合R R 可记作可记作也是也是无限区间无限区间在以上区间中，由于在以上区间中，由于a a，b b是两个实数，因此是两个实数，因此5/10/2022医药高等数学医药高等数学73.3.邻域邻域我们把以点我们把以点为中心，某一很小的正数为中心，某一很小的正数称为称为在后面的章节中经常会用到一种特殊的开在后面的章节中经常会用到一种特殊的开为半径的开区间为半径的开区间区间，区间，称之为邻域。

称之为邻域的的邻域，邻域，其中点其中点，即即记为记为称为该称为该邻域的中心邻域的中心，称为该称为该邻域的半径邻域的半径正数正数5/10/2022医药高等数学医药高等数学8将点将点的全体，的全体，即即的一切点的一切点x x距离小于距离小于表示与点表示与点邻域邻域邻域邻域，记为，记为的去心的去心所得到的的实数全体，所得到的的实数全体，称为点称为点邻域中去掉中心点邻域中去掉中心点，即即称为称为称为称为其中其中的的5/10/2022医药高等数学医药高等数学91.1.2 1.1.2 常量与变量常量与变量 1. 1.常量常量在某一现象或过程中始终保持同一数值不变在某一现象或过程中始终保持同一数值不变的量称为的量称为常量常量5/10/2022医药高等数学医药高等数学102.2.变量变量在某一现象或过程中量有变化，可以取不在某一现象或过程中量有变化，可以取不注意注意注意注意一个量是常量还是变量不是绝的，一个量是常量还是变量不是绝的，同的数值，这种量称为同的数值，这种量称为变量常量与变量是相对常量与变量是相对“场合场合”而言的5/10/2022医药高等数学医药高等数学111.1.3 1.1.3 函数的定义函数的定义1.1.函数的定义函数的定义数集数集D D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域因变量因变量自变量自变量5/10/2022医药高等数学医药高等数学12注意：注意：函数的两要素为：定义域和对应法则函数的两要素为：定义域和对应法则两个函数两个函数f f ( (x x) )，g g( (x x) )相等是指：它们定义域相等是指：它们定义域相同，且对于定义域内任意一点相同，且对于定义域内任意一点x x，都有，都有f f ( (x x) = ) = g g( (x x) )5/10/2022医药高等数学医药高等数学13（1 1）函数的定义域的确定）函数的定义域的确定函数的定义域函数的定义域D D通常按以下两种情形确定：通常按以下两种情形确定：当函数是用抽象的算式（解析式）表达当函数是用抽象的算式（解析式）表达 当函数在实际中应用时，其定义域不仅要使当函数在实际中应用时，其定义域不仅要使构成的集合。

构成的集合时，其定义域是使算式时，其定义域是使算式有意义的一切实数有意义的一切实数函数的表达式有意义，还要有函数的表达式有意义，还要有实际意义实际意义来确定其其定义域是定义域是5/10/2022医药高等数学医药高等数学14对应法则对应法则-函数的表示法函数的表示法列表法列表法图像法图像法解析法解析法（2 2）函数对应法则的表达形式）函数对应法则的表达形式5/10/2022医药高等数学医药高等数学15函数的表达主要是用函数的表达主要是用解析法解析法，下面举一个解析，下面举一个解析法表达的函数法表达的函数例例 假设假设1616岁以上的成年人每天服用某药物的剂岁以上的成年人每天服用某药物的剂该函数的定义域是该函数的定义域是，但在定义域的不，但在定义域的不同区间上，函数关系是用同区间上，函数关系是用两个解析式两个解析式表示的量量Q Q是是2mg2mg，而，而1616岁以下的未成年人每天服用岁以下的未成年人每天服用该药物的剂量该药物的剂量Q Q与年龄与年龄t t成正比，比例系数为成正比，比例系数为0.125mg/0.125mg/岁，则剂量岁，则剂量Q Q 与年龄与年龄t t的函数关系为的函数关系为5/10/2022医药高等数学医药高等数学162.2.单值函数和多值函数单值函数和多值函数在函数定义在函数定义1-11-1中，如果自变量中，如果自变量x x在在D D内任取一个内任取一个值，对应的函数值值，对应的函数值y y总是唯一的，这样的函数又总是唯一的，这样的函数又确定了一个确定了一个称为称为单值函数单值函数，否则称为，否则称为多值函数多值函数注意：注意：注意：注意：在本书中，若无特殊说明，所称的函数在本书中，若无特殊说明，所称的函数例如例如在方程在方程都有两个都有两个y y 值与之对值与之对应应中，对于每一个中，对于每一个以以x x为自变量、为自变量、y y为因变量的多值函数为因变量的多值函数. .因此，方程因此，方程都是单值函数都是单值函数. .5/10/2022医药高等数学医药高等数学173.3.隐函数隐函数称这种方式表达的函数为称这种方式表达的函数为显函数。

显函数如果因变量如果因变量y y 是用是用x x 的明显表达式表示出来的，的明显表达式表示出来的，而有些函数的表达方式却不是这样，因变量与而有些函数的表达方式却不是这样，因变量与系隐含在这个方程中，这样的函数称为系隐含在这个方程中，这样的函数称为隐函数自变量的对应关系是由一个方程确定的，函数关自变量的对应关系是由一个方程确定的，函数关都是隐函数都是隐函数. .例如例如5/10/2022医药高等数学医药高等数学18如果变量如果变量y y 与与x x 满足一个方满足一个方程程那么就说方程那么就说方程当变量当变量x x 取某区间内的任一值取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的时相应地总有满足这方程的y y 值与之对应，值与之对应，在该区间内确定了以在该区间内确定了以x x 为自变量为自变量y y 为因变量的隐函数为因变量的隐函数. .在一定条件下在一定条件下，有些隐函数可以化成显函数，但显化有有些隐函数可以化成显函数，但显化有时很时很困难困难，甚至不可能甚至不可能5/10/2022医药高等数学医药高等数学191.1.4 1.1.4 反函数反函数定义定义1-21-2量，哪个是因变量并不是量，哪个是因变量并不是绝对的绝对的，要根据所研究，要根据所研究一个叫做因变量，但在实际问题中，哪个是自变一个叫做因变量，但在实际问题中，哪个是自变的的具体问题而定。

具体问题而定在函数定义中的两个自变量，一个叫做自变量，在函数定义中的两个自变量，一个叫做自变量，反函数的一般定义如下：反函数的一般定义如下：都有都有唯一唯一的且满足的且满足如果对于每一个如果对于每一个设设 f f( (x x) )是定义在是定义在D D上的上的一个函数一个函数，值域为值域为W W. .5/10/2022医药高等数学医药高等数学20关系式关系式x x 的与之对应，则确定了一个定义在的与之对应，则确定了一个定义在W W上、以上、以y y 为自变量、为自变量、x x 为因变量的新函数，为因变量的新函数，称为称为y=fy=f( (x x) ) 的反函数的反函数，记为记为互为反函数互为反函数而原来的函数而原来的函数y y= = f f ( (x x) )称为称为直接函数直接函数，或称它，或称它们们我们通常用我们通常用x x 表示自变量，表示自变量，y y 表示因变表示因变量量这时我们说这时我们说因此，可以把因此，可以把改写为改写为是是 y=fy=f( (x x) ) 的反函的反函数5/10/2022医药高等数学医药高等数学21表示变量表示变量y y 和和x x 的的同一种函数关系，同一种函数关系，y=f(x) y=f(x) 和和的图形以的图形以y=x y=x 为轴翻转为轴翻转它们的图形是它们的图形是同一条曲线；同一条曲线； y=f(x)y=f(x) 注意：注意：就得到就得到的图形的图形. .也就是说它们的图形是也就是说它们的图形是关于关于y=x y=x 对称。

对称5/10/2022医药高等数学医药高等数学22见图见图1-11-1图图1-15/10/2022医药高等数学医药高等数学23例例求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：由由改变变量的记号，即得到改变变量的记号，即得到反函数为：反函数为：由由y=5x+6y=5x+6，解得，解得（1 1）y =5x+6y =5x+6，解得，解得改变变量的记号，即得到改变变量的记号，即得到反函数为：反函数为：解：解：（2 2）（1 1）5/10/2022医药高等数学医药高等数学24注注1 1：并不是任何函数并不是任何函数y=fy=f( (x x) ) 都有反函数，都有反函数，因为对于因为对于y y 的某些值，满足的某些值，满足y=fy=f( (x x) )这一条件的这一条件的x x 值可能不止一个值可能不止一个. .有些函数的反函数存在，但不一定能够有些函数的反函数存在，但不一定能够注注2 2：用一个显函数表示出来，即由用一个显函数表示出来，即由y=fy=f( (x x) )可能解不出可能解不出x=g x=g ( (y y),), 但反函数存在，但反函数存在，这时这时y=fy=f( (x x) ) 的反函数表示为的反函数表示为隐函数形隐函数形式式. .5/10/2022医药高等数学医药高等数学251.1.5 1.1.5 初等函数初等函数1.1.基本初等函数基本初等函数2.2.复合函数复合函数3.3.初等函数初等函数 5/10/2022医药高等数学医药高等数学26幂函数幂函数、指数函数指数函数、对数函数对数函数、三角函数三角函数、 反三角函数反三角函数六类函数：六类函数：1. 1. 基本初等函数基本初等函数常。