k次R对称矩阵理论及其应用.pdf

聊城大学硕士学位论文摘要发现并利用矩阵的特殊结构对其降阶及其它特殊处理，进而针对相关计算问题设计好的算法是线性系统和数值代数研究的重要思想和基本方法．基于这种思想，本文引进了两类新的特殊矩阵，即，k 次R 一对称矩阵和k 次R ．同余矩阵，对它们的结构及性质进行了系统的研究和讨论，并解决了两类相关的反问题及其最佳逼近问题．证明了k 次R ．同余矩阵的线性系统问题可以等价于两个实线性系统问题且其特征问题可转化成两个低阶实矩阵的相应问题；给出了P r o c r u s t e s 问题有H e r m i t ek 次R 一对称矩阵解的充要条件以及解的表达式，还通过构造( x ，人) 使得特征值反问题似= x 人有k 次R 一对称矩阵解，并解决了在这种谱约束下的最佳逼近问题．事实上，k 次尺．对称矩阵是文[ 1 ，3 5 ．3 9 ] 中A ．L ．A n d r e w , W ．C ．P y e 等讨论的中心对称矩阵、文[ 9 ，1 9 ，2 5 ] q bC h e n 定义的自反矩阵以及文[ 1 0 ，1 4 ，2 6 ] 中T r e n c h 引入的R ．对称矩阵的推广，因而本文所得结果涵盖了上述文献中的相应结果．更为重要的是——利用k 次R ．对称矩阵的特殊结构可以一次性将其线性方程组、特征问题、广义逆、奇异值分解、P r o c r u s t e s 问题以及特征值反问题等转化成多个( ≥2 ) 低阶子矩阵的相应问题来处理，这在数值计算中的意义是不言而喻的．主要结果如下：定理A ∈C ”“是k 次R ．对称矩阵当且仅当彳= ( 鼻⋯只) ( 么。

声i⋯声；) 1 ，其中铲{ 警’如乳巍叭一x 胚咖氮定理令P2 【‘只⋯ ‘■一·0■+ ·⋯B 一·f 只J ，Q21 只⋯ ■一·■f ■+ ，⋯f R 一·一f Rj ·则A = B + i C 是k 次R ．同余矩阵当且仅当A = 雎Q7 ’，这里彳，是具有特殊结构的实矩阵．聊城大学硕士学位论文定理若A ∈C “”是k 次R 一对称矩阵；令墨，⋯，x 为不全为零的向量组，其中S五∈c 么，l 0 ．§1 ．2 ．广义逆与投影P e n r o s e ，于1 9 5 5 年，利用四个矩阵方程以非常简单、直观的形式给出广义逆矩阵的定义．设A ∈C ～”，X ∈C “一，满足聊城大学硕士学位论文 ————————————————————————————————————————————_ 二——————一——一．( 1 ) 么X 么= A ；( 3 ) ( AX ) Ⅳ= AX ；( 2 ) X 彳X = X ；( 4 ) ( 彳爿) H ：X 彳．( 1 ·8 )定义1 ．7 ．设A ∈C ⋯．满足( 1 ．8 ) 式中四个方程的解彳∈C ”×m 称为彳的M o o r —P e n r o s e 逆，简称M P 逆，记作彳t ．看7 7 是{ 1 ，2 ，3 ，4 ) 的一个非空子集，矩阵x ∈C ””满足( 1 ．8 ) 式中所有方程标号在叩中的条件，则称x 为么的一个叩一逆，记作彳”．设矩阵么∈Cm ×一的奇异值分解如( 1 ．7 ) ．容易验证．∥L 矿( r L1 M K ] u ⅣIJ川，2 ) ：y 『，r1K、| ∥ⅣI 三L ∑KJ 川⋯卅( r10UL0Ⅳ∽9 ，IL l ·即川⋯卅㈠0K 0 卜lj么t = y [ ∑o - 1 吕] uH = A ( 1 , 2 , 4 ) AA ( 1 , 2 , 3 )定义1 ．8 ．A ∈C ～n ，称尺( 彳) = { z ∈C “：x = A y ，Y ∈C ”)( I ．1 0 )为A 的列空间．称N ( 彳) = { Y ∈C ”：彳Y = 0 )( 1 ．11 )为4 的零空间．定义1 ．9 ．设C ”= LoM ，z ∈Cn有分解式x2Y + z ，Y ∈L ，z ∈M ．( 1 ．1 2 )称Y 为x沿M 到￡的投影．用P ￡，M 表示相应的由Cn 到L上的映射，且称P ，。

为沿M 到三上的投影变换．或投影笪子聊城大学硕士学位论文定理1 ．1 0 ．如果E ∈C ””是一个幂等矩阵，即，E2 ：E ，则C ”= R ( E ) oN ( E ) ．( 1 ．1 3 )定理1 ．1 1 ．设三是C “的子空间，X 是C “内任一向量．则在L 中存在唯一的向量U ，，使得I Ix 一“1 1 2 1 ，乞≥1 且‰+ ⋯+ 乞= 咒．令{ 号4 ，⋯，馐) 为壳R ( 丘) ，1 ≤a ≤S ，的一组标准正交基．并令则有定义只= ( 只4 ，⋯，甏) ( ，z ×r J o 阶矩阵) ，RP ，，如．P a H ，I - I ，( ，一WJ lR ㈧) 一，= 1 ．，≠ap= ——————————』———————————————————————一1oS，l q ，( 1 一W ，，W ∥k - )，= 1 ．，≠口 2 ．3 )( 2 ．4 )( 2 ．5 )ooo ，吒～．．．．．‰oO．．．．．．．～●．．．．．～■0；；O眨聊城大学硕士学位论文那么其中1 ≤口，b ≤s ．我们有于是If即n2R ：’a = b ，a ≠b ，( 鼻⋯只) ～= ( 声j⋯≯；) r ．( 2 ．6 )( 2 ．7 )尺= ( 置⋯只) 舭g ( w j , I r j , ，⋯，岷乞) ( 声i ⋯声≯( 2 ．8 )因为( 2 ．8 ) 还可以写为R ：∑W ，，只乒，所以由( 2 ．6 ) 得 ，= 1P 一。

R = W ，口= 1 ，⋯，J ．如果R 是正规矩阵，那么其中1 ≤口，b ≤s ．由( 2 ．4 ) 得f，n 叩a2 ㈡’= b ，≠b ，( P 1 ⋯只) - 1 = ( P 1 ⋯只) Ⅳ且在( 2 ．7 ) 中，声 掣0 = 1 ，2 ，⋯，s ) ．于是( 2 ．9 )( 2 ．1 0 )R = ( 鼻⋯P , ) d i 订g ( w ^ ，‰，⋯，w 五，气) ( 鼻⋯B ) 何．( 2 ．1 1 )例2 ．8 ．令R = P d i a g ( i ，一1 ，一f ，1 ，1 ) P Ⅳ，这里矩阵R 和P 同例2 ．6 ．显然R 是正规4 次尺．对称矩阵．引理2 ．9 ．令R ∈9 1 “( k ) ，P 口= 1 ，⋯，s )由( 2 ．3 ) ，( 2 ．5 ) 给出，且A ∈C ””是任意的．那么1 )彳= ( 鼻⋯只) ( 么) ⋯( 声；⋯声矿其中A 6 = P o 日A 圪∈C ‰”坫，口，b = 1 ，⋯，s ．．1 4 ．( 2 ．1 2 )聊城大学硕士学位论文R A R = ( 只⋯只) [ 屹彳w 厶] ， 声j ⋯声；) 丁，( 2 ．1 3 )其中A 0 6 = e _ 彳只∈C ‰。

％，a , b = 1 ，⋯，S ．证．2 ) ( 2 ．1 3 ) 成立，这是因为( 2 ．4 ) 第一个式子和≯R = W 丘≯口= 1 ，⋯，s ．§2 ．3 ．k 次R 一对称矩阵特征刻画我们现在刻画k 次R ．对称矩阵类并给出它们的十分有用的性质．定理2 ．1 0 ．A ∈C “”是k 次R ．对称矩阵当且仅当彳= ( P ⋯P ，) ( 么) BXS ( 芦j ⋯P A ，T ) 2 ，( 2 ．1 4 )其中厶= R ％如黝一舵J b - 0 ∞0 d ”’，1 < 咖氮证．由( 2 ．1 2 ) 和( 2 ．1 3 ) 知，R A R = A 当且仅当( 2 ．1 4 ) 成立．如果( 2 ．1 4 ) 成立，那么由( 2 ．7 ) 得彳( P ⋯P ，) = ( P ⋯P ，) ( 彳．( 2 ．1 5 )于是如果丘+ 五三0 ( m o dk ) ，那么彳圪= P o A o 即，4 掣彳￡．其他情况，以6 = o ．这里口，b = 1 ，⋯，S ．推论2 ．1 1 ．若R ∈吼“( 尼) 有k 个两两不同的特征值，即，S = k ．则A ∈C “”是k次R ．对称矩阵当目．仅当4 = ( 只⋯只)0：●彳t 一1 ．10A l ，t —l0OO0A 女，t这里A o 如。

掣彳最一 以= 1 ，⋯，k 一1 ) 且如= 掣彳最．( 2 ．1 6 )若给定X ∈C ”，则存在唯一的向量组x o ∈C ％( a = 1 ，⋯，S )使得X = 暑五+ ⋯+ 只以其中x o = 声≯( 口= 1 ，⋯，s ) ．这里也，只分别由( 2 ．2 ) 和( 2 ．3 ) 给出．由定理2 ．1 0 ，我们可得下面重要且有用的结果．聊城大学硕士学位论文定理2 ．1 2 ．若A ∈C “”是k 次R - 对称矩阵且V = 墨K + ⋯+ 只圪∈C ”已给定．那么翩= V ’的解( 若存在) 具有下面形式：X = 层五+ ⋯+ 只以，其中4 叉r 口= 圪，1 ≤口，b ≤s 且：庀+ 以三0 ( m o d k ) ．定理2 ．1 3 ．若彳∈C ““是尼次R 一对称矩阵；令墨，⋯，鼍为不全为零的向量组，时成立：4 的一个特征对当且仅当下面两个条件同1 ) 对所有满足2 t 三0 ( m o dk ) l 拘a = 1 ，⋯，s 来说，如果疋≠0 ，那么( 旯，x o ) 是屯的一个特征对；2 ) 对所有满足口≠6 和丘+ 五兰0 ( m o d 尼) 的口，b = 1 ，⋯，s 来说，如果( 霹，霹) 7 ’≠0 ，那么c 纵霹，霹n 是( Z 。

勺6 ] 的一个特征对．5 证．由定理2 ．1 0 ，若( 旯，∑P ) 是么的一个特征对，即， a = lsS1 11 ．1 彳己只x 乞只X , 2 ，则A 6 2 X 6 和彳6 X 6 = 2X 这里口，b = 1 ，⋯，s 满足 a = 1a = l^ + 五三d 尼，·若口= 6 ，贝u 以瓦= K A ；若口≠6 ，贝u ( 乏％6 ] [ 蔓] = [ 囊] 允．反过来，由A a b X 旯得彳咒％= 只置A ，这是因为当丘+ 五三O ( m o 歃) 时An b = P ? AP b ．利用- F N 的定N2 ．1 4 可以求得一个k 次R ．对称矩阵的所有特征值．定理2 ·1 4 ·若彳∈c “”是尼次R - 对称矩阵；令妒= d e t ( 4 彦一九t ) ( 如果尼是偶数) ，沙2d e t ( A 聃一兄1 ) ，V = { ( 口，6 ) Ia ，b = l ，⋯，J 满础+ 以= 尼，J o ≠以和气≥屯) ．则当1 < S < k 时．为疋只 s ∑硝丑m 烬S< 一口< 一％C∈K中其聊城大学硕士学位论文1 ) 如果k 是奇数，那么l a ) 若魄诺旯( 尺) ，则d e t ( A 一心) _ - - ( a ，6 ) I - I 。

v [ ( _ 1 ) ％见％d e t ( A b ．A ．6 一兄2 乞) ] ；1 6 ) 若c o k ∈／t ( R ) ，则d e t ( A 一心) 2 y ( d ，1 6 ) ∈- I v [ ( 一1 ) ％A ‰一％d e t ( 屯厶_ 旯2 乞) ] ；2 ) 如果k 是偶数，那么2 a ) 若魄2 诺允( R ) ，则d 6 t ( A 一鸽) 2 ( 及v [ ( 一1 ) ％旯讹d e t ( 丸如一A 2 乞) 】；2 b ) 若魄2 ∈旯( R ) ，则d e t ( A 一心) 2 缈( d ，F 6 ) ∈Iv [ ( 一1 ) 么A ‰d e t ( A h , A ．6 一旯2 乞) ] ．( 2 ．1 7 )( 2 ．1 8 )( 2 ．1 9 )( 2 ．2 0 )另外当s = k 时，1 ) 女l J 果k 是奇数，那么d e t ( A 一鸽) 2y ㈦1 6 ) ∈。