2024年北京海淀区高三（上）期中数学试题及答案.pdf

2024 北京海淀高三（上）期中 数 学 2024.11 本试卷共 6页，150分考试时长 120分钟考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1）已知集合|01Ax xx=或，2,0,1,2B=，则AB=（A）2,2 （B）2,1,2（C）2,0,2（D）2,0,1,2（2）若复数z满足i1 iz=，则z=（A）1 i （B）1 i+（C）1i （D）1i+（3）若0ab，则下列不等式成立的是（A）22ab （B）2aab（C）baab （D）2baab+（4）已知sin()cosxf xx=，则()4f=（A）1 （B）2（C）1 （D）2（5）下列不等式成立的是（A）0.3log0.21 （B）0.20.31（C）0.2log0.30（D）0.30.21（6）若2,()23,xxaf xxxa=+为增函数，则a的取值范围是（A）1,)+（B）3,)+（C）1,3（D）(,13,)+（7）若向量(,1)x=a，(1,)y=b，则下列等式中，有且仅有一组实数,x y使其成立的是（A）0=a b （B）|2+=ab（C）|=ab （D）|2+=ab（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是 （A）由上图推测，甲地的绿化好于乙地（B）当日 6时到 12 时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （C）当日 12 时到 18 时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率（D）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等（9）设无穷等差数列的前项积为nT.若10a，则“nT有最大值”是“公差0d”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（10）已知数列na满足1(1)nnnaraa+=（1,2,3,n=），1(0,1)a，则（A）当2r=时，存在n使得1na （B）当3r=时，存在n使得0na （C）当3r=时，存在正整数N，当nN时，1nnaa+（D）当2r=时，存在正整数N，当nN时，112024nnaa+第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。

11）已知102,105ab=，则ab+=（12）在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点(2,1)P.若角的终边逆时针旋转2得到角的终边，则sin=（13）如右图所示，四点,O A B C在正方形网格的格点处.若OCOAOB=+，则=_,=_.（14）已知函数()sin()f xx=+（0，|2）满足()2(0)f xf 恒成立.的取值范围是_；若2()2(0)3ff=，则的最小值为_.nan（15）已知函数ln(1)()lnxf xx+=，其定义域记为集合D，,a bD，给出下列四个结论：|0Dx x=且1x；若1ab=，则|()()|1f af b；存在ab，使得()()f af b=；对任意a，存在b使得()()1f af b+=其中所有正确结论的序号是 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16）（本小题 13 分）已知无穷等比数列 na的前n项和为3nnSb=+.（）求1,b a的值；（）设221nncan=+，1,2,3,n=，求数列 nc的前n项和nT （17）（本小题 14 分）设函数2()sin22sin1f xAxx=+（0A），从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知（）求 A 的值；（）若()f x在(0，m)上有且仅有两个极大值点，求 m的取值范围 条件：7()()0412ff+=；条件：将()f x的图象向右平移12各单位长后所得的图象关于原点对称；条件：对于任意的实数12,x x，12|()()|f xf x的最大值为 4.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（18）（本小题 14 分）已知函数2()exxaf x=.曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程为3ybx=.（）求,a b的值；（）求()f x的最小值.（19）（本小题 13 分）如图所示，某景区有MN，PQ两条公路（,MN PQ在同一平面内），在公路上有两个景点入口,A C，游客服务中心在点B处，已知1kmBC=，120ABC=，5 7cos14BAC=，2 7cos7ACQ=.（）已知该景区工作人员所用的对讲机是同一型号，该型号对讲机的信号有效覆盖距离为 3 km.若不考虑其他环境因素干扰，则A处的工作人员用与C处的工作人员能否用对讲机正常通话？（）已知一点处接受到对讲机的信号强度与到该对讲机的距离的平方成反比.欲在CQ路段上建立一个志愿服务驿站D，且要求在志愿服务驿站D接收景点入口A处对讲机的信号最强.若选址D使得2kmCD=，请判断该选址是否符合要求？（20）（本小题 15 分）已知函数21()ln()(21)2f xaxaxax=+，0a.（）若()f x在4x=处取得极大值，求(4)f的值；（）求()f x的零点个数.（21）（本小题 15 分）对于n行n列(2)n 的数表111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa=，定义变换T：任选一组,i j，其中1,2,in，1,2,jn，对于A的第i行和第j列的21n 个数，将每个数同时加 1，或者将每个数同时减 1，其余的数不变，得到一个新数表.（）已知对1 11 1依次进行 4 次T变换，如下：1,1 10021201 1010202TTTTabcd 第 次 变换第2次 变换第3次 变换第4次 变换，直接写出,a b c d的值；DABCMNPQ（）已知000000000A=，1 1 11 1 11 1 1B=.是否可以依次进行有限次T变换，将A变换为 B？说明理由.（III）已知 11 行 11 列的数表000000000C=，是否可以依次进行k次T变换，将其变换为111011101010100D=？若可以，求k的最小值；若不可以，说明理由.参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）（1）C（2）A（3）D（4）B （5）B（6）B（7）B（8）C（9）A （10）D 二、填空题（共 5 小题，每小题 5分，共 25 分）（11）1 （12）2 55 （13）21,33 （14）,),26 2（15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（本小题 13 分）解解：（）当2n时，1132=nnnnSSa，因为na是等比数列，所以21=a.又因为bSa+=311，所以1=b；（）由（）可知132=nna，因为62=a，且9222=+nnaa，或者1269nna=所以2na是以6为首项，9为公比的等比数列；242()13(21)nnTaaan=+2219196nnn+=2)19(43nn+=.（17）（本小题 14 分）解解：（）条件()sin2cos2f xAxx=+，所以777()()sincossincos04122266ffAA+=+=，所以3022AA=.解得3A=.条件：()sin2cos2f xAxx=+,所以()f x的图象向右平移12后所得图象关于原点对称.所以()012f=，即3sin()cos()06622AA+=+=，计算得3A=.经验证：3A=.条件：()sin2cos2f xAxx=+,所以()()21sin 2f xAx=+其中1tan,(0,)2A=.由题意可知maxmin|()()|4f xf x=，即212A+=，因为0A，所以3A=.（）()3sin2cos2f xxx=+2sin(2)6x=+当22,Z62xkk+=+时()f x取得极大值,即,Z6xkk=+.因为()f x在(0,)m上有且仅有两个极大值点,所以仅有0,1k=符合题意,所以7 13(,66m.（18）（本小题 14 分）解解：（）2222()e()e2e()e()(e)exxxxxxxaxaxxafx=22exxxa+=依题意(0)3,(0),ffk=解得3ak=.（）由（）得23()exxf x=.法一：223(1)(3)()eexxxxxxfx+=，令()0fx=，解得1x=或3，(),()fxf x的变化情况如下表：x(,1)1(1,3)3(3,)+()fx 0+0 ()f x 极小值 极大值 由表格可知，()f x有极小值(1)2ef=，因为当(3,)x+时，()0f x，所以()f x最小值为2e.法二：23()exxf x=，因为e0 x，要求()f x最小值，只需考虑(3,3)x，223(1)(3)()eexxxxxxfx+=令()0fx=，解得1x=或3，(),()f xfx随x变化如下表：x(3,1)1(3,1)()fx 0+()f x 极小值 由表格可知，()f x有极小值(1)2ef=，此时，极小值即为最小值，所以()f x有最小值2e.（19）（本小题 14 分）解解：（）因为5 7cos014BAC=，所以BAC为锐角,所以221sin1cos14BACBAC=，在ABC中，sinsinACBCABCBAC=，所以sin7sinBCABCACBAC=，因为73，所以A处工作人员用对讲机能与C处工作人员正常通话.（II）方法一：由余弦定理，2222cosADACCDAC CDACD=+=2 77427237+=，因为222347ADCDAC+=+=，所以ADCD，所以AD的长为点A与直线PQ上所有点的距离的最小值，所以D点选址符合要求.方法二：假设PQ上的E点接收景点入口A处对讲机的信号最强，则AEPQ，所以2 7cos727CEACACD=，又因为选址 D满足2CD=，所以D点选址符合要求.（20）（本小题 15 分）解：（）()f x的定义域为(,)a+.22(31)22(2)(1)()(21)axaxaaxa xafxxaxaxaxa+=+=，因为4是()f x的极大值点，所以(4)0f=，即(42)(3)0aa=，解得2a=或3a=.当2a=时，当x变化时，(),()fxf x的变化情况如下表：x(2,3)3(3,4)4(4,)+()fx+0 0+()f x 极大值 极小值 此时4是()f x的极小值点，不符合题意.当3a=时，当x变化时，(),()fxf x的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)6(6,)+()fx+0 0+()f x 极大值 极小值 此时4是()f x的极大值点，符合题意.因此，3a=，此时(4)20f=.（）（1）01a时，当x变化时，(),()fxf x的变化情况如下表：x(,2)aa 2a(2,1)a a+1a+(1,)a+()fx+0 0+()f x 极大值 极小值 2(2)ln220faaaaa=，因此(,1xa a+时，()0f x.又(42)ln(32)0faaa+=+，因此()f x在(1,)a+上有且仅有一个零点.因此()f x的零点个数是1.（2）当1a=时，对任意1x，()0fx，()f x在(1,)+上是增函数.又(2)40,(6)ln50ff=，因此()f x的零点个数是1.（3）当1a 时，当x变化时，(),()fxf x的变化情况如下表：x(,1)a a+1a+(1,2)aa+2a(2,)a+()fx+0 0+()f x 极大值 极小值 1(1)(31)(1)02f aaa+=+，因此(,2 xaa时，()0f x.又(42)ln(32)0faaa+=+，因此()f x在(2,)a+上有且仅有一个零点.因此()f x的零点个数是1.综上，0a 时，()f x的零点个数是1.（21）（本小题 15 分）解：（）1,1,1,3abcd。