1992年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南).doc

1992 年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． （3 分） 设函数 z=i2+，那么 argz 是（ ）A ．B ．C ．D ．﹣2． （3 分） 如果等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的体积是 16πcm3，那么它的底面半径等 于（ ）A ．4cmB ．4cmC ．2cmD ．2cm3． （3 分） 的值等于（ ）A ．1B ．0C ．﹣D ．﹣4． （3 分） 函数 y=log的反函数是（ ）A ．y=1+2﹣x （x∈R）B ．y=1﹣2﹣x （x∈R）C ．y=1+2x（x∈R ）D ．y=1﹣2x（x∈R）5． （3 分） 在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，如果 AB=BC=a，AA1=2a，那么点 A 到直线 A1C 的距离等于（ ）A ．B ．aC ．aD ．a6． （3 分） 函数 y=sinxcosx+的最小正周期等于（ ）A ．πB ．2πC ．D ．7． （3 分） 有一个椭圆，它的极坐标方程是（ ）A ．B ．ρ=C ．ρ=D ．ρ=8． （3 分） 不等式的解集是（ ）A ．{x|5＜x＜16} B ．{x|6＜x＜18} C ．{x|7＜x＜20} D ．{x|8＜x＜22}9． （3 分） 设等差数列{an}的公差是 d，如果它的前 n 项和 Sn=﹣n2，那么（ ）A ．an=2n﹣1，d=﹣2B ．an=2n﹣1，d=2C ．an=﹣2n+1，d=﹣2D ．an=﹣2n+1，d=210． （3 分） 方程 cos2x=3cosx+1 的解集是（ ）A ．{x|x=2k}B ．C ．{x|x=k}D ．{x|x=2kx}11． （3 分） 有一条半径是 2 的弧，其度数是 60°，它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠，那 么这个球冠的面积是（ ）A ．4（2﹣）πB ．2（2﹣）C ．4D ．212． （3 分） 某小组共有 10 名学生，其中女生 3 名．现选举 2 名代表，至少有 1 名女生当选的不同 的选法共有（ ）A ．27 种B ．48 种C ．21 种D ．24 种13． （3 分） 设全集 I=R，集合 M={x|＞2}，N={x|logx7＞log37}那么 M∩∁UN=（ ）A ．{x|x＜﹣2}B ．{x|x＜﹣2，或x≥3}C ．{x|x≥3}D ．{x|﹣2≤x＜3}14． （3 分） 设{an}是由正数组成的等比数列，公比 q=2，且 a1•a2•a3•…•a30=230，那么 a3•a6•a9•…•a30 等于（ ）A ．210B ．220C ．216D ．21515． （3 分） 设△ABC 不是直角三角形，A 和 B 是它的两个内角，那么（ ）A ．“A＜B“是“tanA＜tanB“的充分条件，但不是必要条件．B ．“A＜B“是“tanA＜tanB“的必要条件，但不是充分条件．C ．“A＜B“是“tanA＜tanB“的充分必要条件．D ．“A＜B“不是“tanA＜tanB“的充分条件，也不是必要条件．16． （3 分） 对于定义域是 R 的任何奇函数 f（x） ，都有（ ）A ．f（x）﹣f（﹣x）＞0 （x∈R）B ．f（x）﹣f（﹣x）≤0 （x∈R）C ．f（x）f（﹣x）≤0 （x∈R）D ．f（x）f（﹣x）＞0 （x∈R）17． （3 分） 如果双曲线的两条渐近线的方程是，焦点坐标是（﹣，0）和（，0） ，那么它的两条准线之间的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：把答案填在题中的横线上.18． （3 分） = _________ ．19． （3 分） 设直线的参数方程是，那么它的斜截式方程是 _________ ．20． （3 分） 如果三角形的顶点分别是 O（0，0） ，A（0，15） ，B（﹣8，0） ，那么它的内切圆方程是 _________ ．21． （3 分） = _________ ．22． （3 分） 9192除以 100 的余数是 _________ ．23． （3 分） 已知三棱锥 A﹣BCD 的体积是 V，棱 BC 的长是 a，面 ABC 和面 DBC 的面积分别是 S1和 S2．设面 ABC 和面 DBC 所成的二面角是 α，那么 sinα= _________ ．三、解答题：解题应写出文字说明、演算步骤.24． 已知关于 x 的方程 2a2x﹣2﹣7ax﹣1+3=0 有一个根是 2，求 a 的值和方程其余的根．25． 已知：平面 α 和不在这个平面内的直线 a 都垂直于平面 β．求证：a∥α．26． 证明不等式（n∈N*）27． 设抛物线经过两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）对称轴与 x 轴平行，开口向右，直线 y=2x+7 被抛物线截得的线段的长是，求抛物线的方程．28． 求同时满足下列两个条件的所有复数 z：①z+是实数，且 1＜z+≤6；②z 的实部和虚部都是整数．1992 年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南） 参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． （3 分） 设函数 z=i2+，那么 argz 是（ ）A ．B ．C ．D ．﹣考点：复数的基本概念． 专题：计算题． 分析：利用特殊角的三角函数值和辐角主值的意义即可得出． 解答：解：z=﹣1+i═2=2，∴．故选 C． 点评：熟练掌握特殊角的三角函数值和辐角主值的意义是解题的关键．2． （3 分） 如果等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的体积是 16πcm3，那么它的底面半径等 于（ ）A ．4cmB ．4cmC ．2cmD ．2cm考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） ． 专题：空间位置关系与距离． 分析：先要根据题意设出底面半径，根据圆柱体的体积公式列出方程即可求解． 解答：解：设等边圆柱的底面半径为 r， 则圆柱的高为 2r， 由题意得 πr2•2r=16π，r=2． 故选 D． 点评：此题主要考查了实数的运算，解答此类题目的关键是熟知圆柱的体积公式即可．3． （3 分） 的值等于（ ）A ．1B ．0C ．﹣D ．﹣考点：反三角函数的运用． 专题：三角函数的求值． 分析：根据反三角函数的定义可得 arcsin=，arccos（﹣ ）=，arctan（﹣）=﹣，代入要求的式子化简可得结果． 解答：解：==1，故选 A． 点评：本题主要考查反三角函数的定义，属于中档题．4． （3 分） 函数 y=log的反函数是（ ）A ．y=1+2﹣x （x∈R）B ．y=1﹣2﹣x （x∈R）C ．y=1+2x（x∈R ）D ．y=1﹣2x（x∈R）考点：反函数． 专题：函数的性质及应用． 分析：把 y 看作常数，求出 x：x=﹣2﹣y+1，x，y 互换，得到 y=log的反函数．解答：解：把 y 看作常数，求出 x：x﹣1=﹣2﹣y，x=﹣2﹣y+1，x，y 互换，得到 y=log的反函数：y=﹣2﹣x+1，x∈R，故选 B． 点评：本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．5． （3 分） 在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，如果 AB=BC=a，AA1=2a，那么点 A 到直线 A1C 的距离等于（ ）A ．B ．aC ．aD ．a考点：棱柱的结构特征． 专题：空间位置关系与距离． 分析：由题意可得：连接 A1C，AC，过 A 作 AE⊥A1C，根据长方体得性质可得：A1C⊥平面 ABCD，即可得到 AC=，A1C=，再根据等面积可得答案． 解答：解：由题意可得：连接 A1C，AC，过 A 作 AE⊥A1C，如图所示： 根据长方体得性质可得：A1C⊥平面 ABCD． 因为 AB=BC=a，AA1=2a， 所以 AC=，A1C=，根据等面积可得：AE==．故选 C．点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．6． （3 分） 函数 y=sinxcosx+的最小正周期等于（ ）A ．πB ．2πC ．D ．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 专题：计算题；三角函数的图像与性质． 分析：将 y=sinxcosx+cos2x﹣转化为 y=sin（2x+） ，即可求得其最小正周期．解答：解：∵y=sinxcosx+cos2x﹣= sin2x+﹣= sin2x+cos2x=sin（2x+） ，∴其最小正周期 T==π．故选 A． 点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角函数的周期性及其求法，属于中档题．7． （3 分） 有一个椭圆，它的极坐标方程是（ ）A ．B ．ρ=C ．ρ=D ．ρ=考点：简单曲线的极坐标方程． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：由已知中圆锥曲线的极坐标方程为 ρ=，我们可以判断出曲线的离心率，进而判断出的极坐标方程． 解答：解：∵圆锥曲线统一的极坐标方程 ρ=，则该曲线表示离心率为 e， 对照选项，排除 C．A 中：，e=＞1，表示双曲线，故错；B 中：ρ=，e=1，表示抛物线，故错；D 中：，e=＜1，表示椭圆，故正确；故选 D． 点评：本题的知识点是简单曲线的极坐标方程，其中圆锥曲线的极坐标方程统一为 ρ=，其中 e 表示离心率，p 为焦点到准线的距离，就是解答本题的关键．8． （3 分） 不等式的解集是（ ）A ．{x|5＜x＜16} B ．{x|6＜x＜18} C ．{x|7＜x＜20} D ．{x|8＜x＜22}考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：由不等式可得﹣1＜﹣3＜1，即 2＜＜4，化为 4＜x﹣2＜16，由此求得不等式的解集． 解答：解：由不等式，可得﹣1＜﹣3＜1，故有 2＜＜4，∴4＜x﹣2＜16，解得 6＜x＜18， 故选 B． 点评：本题主要考查绝对值不等式、根式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解， 体现了等价转化的数学思想，属于中档题．9． （3 分） 设等差数列{an}的公差是 d，如果它的前 n 项和 Sn=﹣n2，那么（ ）A ．an=2n﹣1，d=﹣2B ．an=2n﹣1，d=2C ．an=﹣2n+1，d=﹣2D ．an=﹣2n+1，d=2考点：等差数列的前 n 项和． 专题：等差数列与等比数列． 分析： 利用即可得出．解答：解：当 n=1 时，a1=S1=﹣1．当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣n2﹣[﹣（n﹣1）2]=1﹣2n，当 n=1 时也成立．∴d=﹣2．故选 C． 点评： 熟练掌握是解题的关键．10． （3 分） 方程 cos2x=3cosx+1 的解集是（ ）A ．{x|x=2k}B ．C ．{x|x=k}D ．{x|x=2kx}考点：二倍角的余弦． 专题：计算题；三角函数的求值． 分析：利用二倍角的余弦 cos2x=2cos2x﹣1，将其代入已知关系式，解方程即可．解答：解：∵cos2x=2cos2x﹣1，∴2cos2x﹣1=3cosx+1，∴（cosx﹣2） （2cosx+1）=0，∴cosx=﹣ 或 cosx=2（舍去） ．∴x=2kπ±，k∈Z．∴方程 cos2x=3cosx+1 的解集是{x|x=2kπ±，k∈Z}．故选 A． 点评：本题考查二倍角的余弦，考查方程思想与余弦函数的性质，属于中档题．11． （3 分） 有一条半径是 2 的弧，其度数是 60°，它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠，那 么这个球冠的面积是（ ）A ．4（2﹣）πB ．2（2﹣）C ．4D ．2考点：球的体积和表面积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：利用度数是 60°求出球冠的高，再利用球冠的面积公式求出球冠的面积即可． 解答：解：球的半径为：r=OA=OB=2，有一条半径是 2 的弧，度数是 60°，如图． 在直角三角形 BOD 中，∠B。