信号与系统第11章.ppt

第七章 有限长冲激响应数字滤波器的设计,一、IIR DF的优缺点,IIR滤波器的优点：可以利用模拟滤波器设 计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可 查，方便简单IIR滤波器的缺点：相位的非线性，若需线 性相位，则要另外增加相位校正网络，使滤波 器设计变得复杂，成本也高二、FIR DF的优点,FIR滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同 时，很容易做到有严格的线性相位特性设FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)长度为N， 其系统函数H(z)为：H(z)是z-1的N-1次多项式，它在有限z平面上有N-1 个零点，在原点z=0处是N-1阶重极点因此，稳 定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点三、本章讨论的设计方法,窗函数法 频率采样法 切比雪夫逼近法,11.1 线性相位FIR DF 的条件和特点,11.1.1 线性相位条件,对于长度为N的h(n)，频率响应函数为：,线性相位是指 是 的线性函数 ，， 为常数 (11.1-3) 如果 ， 是起始相位 (11.1-4) 严格地说，此时不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即：认为这两种情况都为线性相位。

称满足式(11.1-3)为第一类线性相位；满足式(11.1-4)为第二类线性相位满足第一类线性相位的条件是： h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即满足第二类线性相位的条件是： h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即,,,1. 第一类线性相位条件的证明,2. 第二类线性相位条件的证明,11.1.2 线性相位FIR滤波器的幅频特性,由于h(n)有上述偶对称和奇对称两种，而h(n)的点数N又有奇数、偶数两种情况，因而h(n)可以有四种类型，分别对应四种线性相位FIR滤波器 （1）h(n) = h(N-1-n)， h(n)为偶对称，N=奇数 （2）h(n) = h(N-1-n)， h(n)为偶对称，N=偶数 （3）h(n) = -h(N-1-n)，h(n)为奇对称，N=奇数 （4）h(n) = -h(N-1-n)，h(n)为奇对称，N=偶数,1. h(n)=h(N-1-n)，N=奇数,,2. h(n)=h(N-1-n)，N=偶数,,3. h(n) = -h(N-1-n)，N=奇数,,,,4. h(n) = -h(N-1-n)，N=偶数,,了解了线性相位FIR滤波器的各种特性，便可根据实际需要选择合适的FIR滤波器，同时设计时要遵循有关约束条件。

11.1.3 线性相位FIR滤波器零点分布特点,（1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是H(z)的零点2）由于h(n)是实数，所以H(z)的零点必共轭成对，因而：,综合（1）,（2）两点可知，线性相位FIR滤波器的零点是互为倒数的共轭对，或者说是共轭镜像的11.2 FIR数字滤波器网络结构,,FIR数字滤波器可以用差分方程来描述，也可以用系统函数来描述差分方程和系统函数的一般形式为：,,,11.2.1 直接型网络结构,,,图11-3 FIR数字滤波器的直接型网络结构,11.2.2 级联型网络结构,式(11.3-2)可以分解为实系数二阶因子乘积的形式，即,,注意，若,为偶数，则,为奇数，故系数,中有一个为零图11-4 FIR数字滤波器的级联型网络结构,例11-1已知FIR数字滤波器的系统函数为画出直接型和级联型的结构图 解：将 进行因式分解得,,,,直接型和级联型的结构图分别如图11-5(a)、(b)所示图11-5,11.2.3 线性相位FIR数字滤波器的网络结构,满足对称条件 的FIR数字滤波器具有线性相位代表第一类线性相位，“-”代表第二类线性相位。

为偶数时，为奇数时，,,,,,,,第一类线性相位为偶数和奇数两种情况的结构图如图11-6所示第二类线性相位结构图如图11-7所示图11-6 第一类线性相位网络结构,,,图11-7 第二类线性相位网络结构,11.2.4 频率采样型结构,用频域采样序列,表示,的内插公式为：,,,,令,则,,FIR数字滤波器的频率采样结构,由两个网络级联组成：一个为梳状滤波网络 ，另一个为 个一阶网络 的并联结构图11-8 FIR数字滤波器的频率采样结构,,(1)梳状滤波网络梳状滤波网络在 处有 阶极点， 个零点均匀分布在单位圆上2） 个并联一阶网络整个并联网络共有 个极点 ：该并联网络在 有一阶零点，在有限 平面上有 个零点频率采样结构的特点：,(1)结构有递归型部分也有非递归型部分； (2)系数 就是滤波器在 处的频率响应，即：因此只要调整 ，就可以有效地调整滤波器的频率响应；,,,,,（1）结构中所乘的系数 及 都是复数，要求乘法器完成复数乘法运算，增加了乘法次数和存储量； （2）并联一阶网络的极点都在单位圆上，由系数 决定，这样，当系数量化时，极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波网络的零点所抵消，从而使系统不稳定。

频率采样结构的缺点：,,,,,为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，可以将频率采样结构做一点修正修正的方法是将单位圆上的零点和极点都移到半径为 的圆上，取 且 ，因此，用 代替 中的 ，有：,,,,,,,,,,这样，即使极点不能完全被零点抵消，由于是在单位圆内， 系统仍然会保持稳定为了避免复数乘法运算，可以采用下面的方法 如果 是实数序列，则其离散傅里叶变换 关于 点共轭对称，有 又因为，可以将 和 合并成一个二阶网络，记为 ，,,,,,,,,,,其中,可以看出，二阶网络,的系数都为实数当,为偶数时，,可表示为,,式中，,和,为实数对应的频率采样修正结构由,个二阶网络并联构成两个一阶网络和,当,为奇数时，,可表示为,,式中，,为实数对应的频率采样修正结构由一个一阶网络和,个二阶网络并联构成FIR数字滤波器四种网络结构的简单比较,1.直接型结构简单直观，乘法运算较少，但调整零点较难； 2.级联型结构每级独立控制一对共轭零点，适用于需要控制传输零点的场合，其缺点是乘法器多； 3.线性相位型结构的乘法器比直接型少，当 为偶数时，乘法运算减少一半，当 为奇数时，乘法器由原来的 个减少为 个；,,,,,,4.频率采样结构可以直接由采样值 控制滤波器的频率特性，当滤波器通带很窄时， 的非零值很少，大部分零值采样 对应的并联二阶网络可以省去，从而大大简化结构。

所以，频率采样结构适用于窄带滤波器11.3 利用窗函数法设计FIR数字滤波器,11.3.1 设计思路,(1)给定所要求设计的理想滤波器的频率响应Hd(ejw). (2)设计一个FIR滤波器频率响应H(ejw)去逼近Hd(ejw). (3)由于设计是在时域中进行，使所设计滤波器的h(n)去逼近理想滤波器的hd(n).,（1）给定所要求的理想滤波器的频率响应Hd(ejw),一般情况下，Hd(ejw)逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而hd(n)是无限时宽的，且是非因果序列例：理想低通滤波器的传输函数Hd(ejw)--1,,,,,,,,,,(2)设计实际一个FIR滤波器H(ejw),,,,,,,,,,实际设计的FIR数字滤波器的频率响应：,,,,,对 加矩形窗处理后， 和 的差别有以下几点：,在理想频率特性不连续点,附近形成过渡带，它主要是,2.通带和阻带内产生了起伏振荡的波纹，其振荡幅度取决于,由窗函数幅度谱的主瓣引起的，过渡带的宽度近似等于,以上就是对 用矩形窗截断后，在频域上的反映，,矩形窗幅度谱的主瓣宽度,最大旁瓣的相对幅度称为吉布斯效应。

11.3.2 几种常见的窗函数,1. 矩形窗,2. 三角形窗,3. 汉宁窗,,,左移,右移,,倒余弦,,由于频谱是由三个互有频移的不同幅值的矩形窗函数相加而成，这样使旁瓣大大抵消，从而能量相当有效地集中在主瓣内 其代价:主瓣加宽一倍，可达到减少肩峰，余振，提高阻带衰减缺点：过滤带加大,4. 哈明窗,5. 布莱克曼窗,6. 凯塞窗（Kaiser窗）-1,以上几种窗函数是各以一定主瓣加宽为代价，来换取某种程度的旁瓣抑制，而凯窗则是： 全面地反映主瓣与旁瓣衰减之间的交换关系， 可以在它们两者之间自由地选择它们的比重11.3.3 设计步骤,(1)给定理想的频率响应函数 Hd(ejw) (2)求出理想的单位冲激响应：hd(n) (3)根据对过渡带宽度和阻带衰减的要求，选择窗函数的形状，并估计窗口长度原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数 (4)求所设计的FIR数字滤波器的单位冲激响应 (5)求所设计的滤波器的频率响应：检验是否满足设计要求，如不满足，则需重新设计例11-2 设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定采样频率为 ，通带截止频率为，阻带截止频率为 ，阻带最小衰减为 。

1.低通数字滤波器的设计,,,,,,,解：（1）求对应的数字频率：,通带截止频率为：,阻带截止频率为：,（2）给定理想低通滤波器的频率响应：,,由所需低通滤波器的过渡带求理想低通滤波器的截止频率,,（3）求理想低通滤波器的单位冲激响应,,（4）确定窗函数形状及窗口长度,由于阻带最小衰减,，查表选择哈明窗，过渡带宽为,即：,,（5）求所设计的FIR数字滤波器的单位冲激响应,,,,取,，保证了所设计的滤波器具有线性相位6）求,，验证各项指标是否满足要求，如不满足要求，改变,或改变窗函数来重新计算的图形如图11-15所示，满足要求2.高通数字滤波器的设计,,,,3.带通数字滤波器的设计,,,,4.带阻数字滤波器的设计,,,,11.4 利用频率采样法设计FIR数字滤波器,设待设计的滤波器的传输函数用Hd(ejω)表示，对它在ω=0到2π之间等间隔采样N点，得到Hd(k)，,再对N点Hd(k)进行IDFT，得到h(n)，,,,,h(n)作为所设计的滤波器的单位取样响应，其系统函数H(z)为,为求h(n),要先指定Hd(k) Hd(k)指定原则： （1）在通带内可令| Hd(k) |=1，阻带内| Hd(k) |=0。

且在通带内赋给 Hd(k)一线性相位 （2）指定的Hd(k) 应保证求出的h(n)是实的 （3）由h(n)求出的H（ejw）应具有线性相位FIR滤波器具有第一类线性相位的条件是h(n)是实序列，且满足h(n)=h(N-n-1)，其传输函数应满足的条件是：,(1),(2),(3),奇数,偶数,11.4.1用频率采样法设计线性相位滤波器的条件,,在ω=0~2π之间等间隔采样N点，,将ω=ωk代入(1)~(3)式中，并写成k的函数：,N为奇数,N为偶数,,设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为ωc，采样点数N，H(k)和θ(k)用下面公式计算：N=奇数时，,,N=偶数时，,,,是小于等于,的最大整数,如果待设计的滤波器为Hd(ejω)，对应的单位冲激响应为hd(n)，,则由频率域采样定理知道，在频域0~2π之间等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n)应是hd(n)以N为周期进行周期性延拓乘以RN(n)，即,11.4.2 逼近误差及其改进措施,由采样定理表明，频域等间隔采样H(k)，经过IDFT得到h(n)，其Z变换H(z)和H(k)的关系为,,,在每个采样点频率响应和理想频率响应的采样值相等， 逼近误差为零。

而在两个采样点之间，频率响应是由各 采样点间的内插函数加权确定，有一定的逼近误差。