空间向量与立体几何全章复习与巩固.docx
18页
《空间向最与立体几何》全章复习与巩固编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示：1. 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题：2. 能用向量方法解决线线、线面、而面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.【知识网络】【要点梳理】要点一：空间向量的有关概念空间向景：空间中，既有大小又有方向的量: 空间向量的表示：一种是用有向线段而表示，A叫作起点，为叫作终点：一种是用小写字母〃（印刷体）表示，也可以用4（而手写体）表示.向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作I应I或讶1.向■:的夹角：过空间任意一点O作向量0的相等向量办和力，则ZAOB叫作向量0的夹角，记作〈b）,规定0<<«,b}<7r.如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为（）.规定：与任意向量平行.单位向量：长度为1的空间向量，即l；l=l.相等向量：方向相同且模相等的向量.相反向量：方向相反但模相等的向量.共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合.&平行于5记作ciHb,此时.（aJi）=0或〈混〉=兀.共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关.只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移：（2）当我们说向量2、片共线（或a//b）时，表示2、段的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.（3）对于任意一个非零向量2,我们把有叫作向量©的单位向量，记作屋.M与号同向.（4>当〈插5〉=0或兀时，向量刁平行于段记作allb,当时，向量垂直，记作aLb.，2要点二：空间向景的基本运算空间向重的基本运算：运算类型几何方法运算性质 向量的加法1.平行四边形法则：OC=OA+AB=刁+5°;四加法交换率：,+b=b+a.加法结合率：(a+b)^c=a+(b^c)a—b=a+(—b)AB^BC=ACAB^BA=62.三角形法则：OB=OA+AB=a+bA0奇5向量的减法三角形法则：BA=OA-OB=a-b5/X。
5AOB-OA=AB向量的乘法新是一个向量，满足：4>0时，4"与Q同向：人<0时，人"与Q异向：人二时，Aci=0.TaAdA-2av'2(/私)=(A//)n(A+=Aa+juaA,(a+b)-A.a+Aba//5=u=2b向量的数量积1. 是一个数：=\a\\b\cos(o力)：2. "=O,B=O或aJJ)=•如0.£|Jcos&-4b—Accb=b,a(Aa)^b=a^(Ab)=A(a^b)(a+=a・c+b・c-2-,uW1•方心aMb\要点三：空间向量基本定理共线定理：两个空间向量刁、b（5夭6）,a//b的充要条件是存在唯一的实数/I,使a=Ab.共面向量定理：如果两个向量瓦》不共线，则向量与向量⑦力共而的充要条件是存在唯一的一对实数X,y，使口=xa+yb.要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线.（2）可以用共面向量定理证明线而平行（进而证面面平行）或证明四点共面.空间向髭分解定理：如果三个向量a,h,c不共面，那么对空间任一向量万，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使p=xa+yb+zc要点诠释：（1）空间任意三个不共而的向量都可以作为空间向量的一个基底：（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0.（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.要点四：空间向量的直角坐标运算空间两点的距离公式若人（％,凹，4）,B（x2>y2,z2）,则① 人力=0力一函=（工2，力％）—（为，凹，夺）=（巧一心力一久，冬一4）；② I丽1=^IaS~=yl（x2-x｝）2+（y2-yl）2+（z2-zy:③ 施的中点坐标为（耕，峥,亨）.空间向量运算的的坐标运算设%=（为,％1）,方=（易,力，冬），则① a+b=（xl+x2,yl+y2,zl+z2）t② 方一5=（为一易,片一力，4一冬）：③ Aa=（2X|,Ay\.）（2g/?）：ab=xlx2+yiy2+ZiZ2i®寸==xj+yf+zf,阿=\[i^h=x；+y；+z；:⑥E+W"佃=o,附。
Jx《+寸+z：・Jx；+y；+z；空间向量平行和垂直的条件若方=(羽,凹湿)，b=(x2,y29z2)，则(^a//b<=>a=Ab<=>x.=2r),y}=>z{=Az1(^^^)^—=—=—(L)'》z)主0)；一.・X2>2Z2②oJ_/i<=>〃S=0<=>X］X2+)1)%+4/=0・要点诠释：1^p(1) 空间任一点尸的坐标的确定：过P作而xOy的垂线，垂足为？，在面xOy中，过？分别作x轴、-y轴的垂线，垂足分别为A、C,则a=IP'CI,y^Aly\,z^PP'\.如图：'(2) 夹角公式可以根据数量积的定义推出：1111——//•“・/?=1a\\b\cos
的法向量）.a//n（a是直线/的方向向量，〃是平而a的法向量）面而垂直（or±/7）M±V>即tt*V=O（N,y分别是平面a,的法向量）要点诠释:（1）直线的方向向量：若A、8是直线/上的任意两点，则血为直线/的一个方向向量：与而平行的任意非零向量也是直线/的方向向量・（2）平面的法向量：己知平而a,直线Ila,取/的方向向量“，有ala,则称为“为平而a的法向量.一个平面的法向量不是唯一的. 要点六：用向量方法求角图示向量证明方法异而直线所成的角Ac\ACBD\cos0=-——；^=-\AC\-\BD\（A,C是直线上不同的两点，B,是直线人上不同的两点）直线和平面的夹角aZdP\__7M/.八，.1“・〃1sin0=1cos（p\=\a\-\u\（其中直线/的方向向量为a,平面Q的法向量为“，直线与平而所成的角为a与"的角为伊）二而角蜓*1/|cosG|=|cos（%础=害）针iq11多1（平面与的法向量分别为，、和明，平面与R的夹角为Q）要点诠释:①当法向量叫与〃2的方向分别指向二而角的内侧与外侧时，二而角＜9的大小等于〃],的夹角〈弓，〃2〉的大小②当法向量叫，〃、的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二而角。
的大小等于〃/的夹角的补角4一〈〃"处〉的大小要点七：用向量方法求距离图示向量证明方法 （2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点而距还有一种重要的求法为等积转化法.（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平而的距离.而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法.1. 要点八：立体几何中的向信方法用空间向量解决立体几何问题的“三步曲"建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题：（化为向量问题）通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题：（进行向量运算）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤建立适当的空间直角坐标系；写出相关点的坐标及向量的坐标：2. 进行相关的计算； 写出几何意义下的结论.【典型例题】类型一：空间向量的概念及运算例1.在四面体OABC中，OA=a,O『=b,OC；=c,D为BC的中点，E^JAD的中点，则成=【思路点拨】将〃，力，C看作己知条件，不断的应用向量加法的三角形法则和平行四边形法则、减法的三角形法则、向量的数乘法则，层层推进，最终得到况的向量表示.【答案】-a+—b+-c244【解析】在LABC中，力为如的中点，所以AD=kZ3+-4tj=|(O5-云+OC-O4)=|(5+c-2a),AE^AD^b^c—2aY在氏宓中，赤=用+AE=“+=0杠一2口)=%+肝%.【总结升华】1.类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途.用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线而空间关系代数化.2.由于4B,CE四点共线，故最后的结果可以用共面向量定理检查，即若OE=xa+y^b+zc,贝ljx+y+z=l.举一反三:【变式1】如图，在三棱柱A8C-A8G中，M是踮的中点，化筒下列各式:(1) 3+抓：■・・■..・•■.・・I.I，•(2) AC+CB+-A4,:(3) AA^AC-CB.【答案】(1)cW+84=6；:(2)AC+CB+^X\=AM （3）祐-花-而=虱.则下列向量中BM相等的向量是（）【变式2】如图，在平行六而体ABCDfBCn中，亿为A©与坎n的交点.若AB=a.A》=/；,商；芸，【答案】A【解析】法一:陇=荫+帝=;（而一而）+福=一!万+!段+5.法二:221-1r—a+—b221-1…1/222[1-is1—u——b+c=-22_故选A.Q+顼+c：=_!屈+：而+祇或前+画+布=：BD+AA^=B^M+BB}=BM:+』?而+：而+福=：(丽+乱)+萌=!花+萌=砂+萌=戒:AB+ADJ+AA,=^AC+AA.=C{M+CC}=CM:-(AB-AD)+X\=-DB+X\=D^M+DD^=DM.22类型二：空间向髭的直角坐标运算例2.设a=（1,5,-1）,5=（-2,3,5）.⑴当（勿+万）〃（，一％）时，求人的值：（2）当（。
3方）_1（人〃+方）时,求■的值.【思路点拨】根据空间向量平行与垂直条件及直角坐标的相关公式进行运算.【解析】(I)：“=(1，5,-1),»=(-2,3,5),二a-3b=(l95,-1)一3(-2,3,5)=(1,5,-1)-(一6,9,15)=(7,-4,-16).Au+b=(1»5,-1)+(-2,3,5)=(2,5A9—2,3,5)=(人一2,5人+3,—人+5).(Aa+b)〃(“一*),七=尝=仝，解W2=-l.7-4—163(2)由(〃一3》)_L(山+方)<=>(7,-4,-16)-(2-2,54+3,-Z+5)=0 =7(2一2)—4(52+3)-16(-/1+5)=0,解得人哗。
