全国初中数学竞赛辅导(初1)第16讲 质数与合数.doc

第十六讲 质数与合数我们知道，每一个自然数都有正因数(因数又称约数)．例如，1 有一个正因数；2，3，5 都有两个正因数，即 1 和其本身；4 有三个正因数：1，2，4；12 有六个正因数：1，2，3，4，6，12．由此可见，自然数的正因数，有的多，有的少．除了 1以外，每个自然数都至少有两个正因数．我们把只有 1 和其本身两个正因数的自然数称为质数(又称素数)，把正因数多于两个的自然数称为合数．这样，就把全体自然数分成三类：1，质数和合数．2 是最小的质数，也是唯一的一个既是偶数又是质数的数．也就是说，除了 2 以外，质数都是奇数，小于 100 的质数有如下 25 个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．质数具有许多重要的性质：性质 1 一个大于 1 的正整数 n，它的大于 1 的最小因数一定是质数．性质 2 如果 n 是合数，那么 n 的最小质因数 a 一定满足 a2≤n．性质 3 质数有无穷多个(这个性质将在例 6 中证明)．性质 4(算术基本定理)每一个大于 1 的自然数 n，必能写成以下形式：这里的 P1，P 2，…，P r是质数，a 1，a 2，…，a r是自然数．如果不考虑p1，P 2，…，P r的次序，那么这种形式是唯一的．关于质数和合数的问题很多，著名的哥德巴赫猜想就是其中之一．哥德巴赫猜想是：每一个大于 2 的偶数都能写成两个质数的和．这是至今还没有解决的难题，我国数学家陈景润在这个问题上做了到目前为止最好的结果，他证明了任何大于 2 的偶数都是两个质数的和或一个质数与一个合数的和，而这个合数是两个质数的积(这就是通常所说的 1+2)．下面我们举些例子．例 1 设 p，q，r 都是质数，并且p+q=r，p＜q．求 p．解 由于 r=p+q，所以 r 不是最小的质数，从而 r 是奇数，所以 p，q 为一奇一偶．因为 p＜q，故 p 既是质数又是偶数，于是 p=2．例 2 设 p(≥5)是质数，并且 2p+1 也是质数．求证：4p+1 是合数．证 由于 p 是大于 3 的质数，故 p 不会是 3k 的形式，从而 p 必定是 3k+1 或 3k+2的形式，k 是正整数．若 p=3k+1，则2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合数，与题设矛盾．所以 p=3k+2，这时4p+1=4(3k+2)+1=3(4k＋3)是合数．例 3 设 n 是大于 1 的正整数，求证：n 4+4 是合数．证 我们只需把 n4+4 写成两个大于 1 的整数的乘积即可．n4+4=n4+4n2+4-4n2＝(n 2+2)2-4n2＝(n 2-2n+2)(n2+2n+2)，因为n2+2n＋2＞n 2-2n+2=(n-1)2+1＞1，　　所以 n4+4 是合数．例 4 是否存在连续 88 个自然数都是合数？解 我们用 n！表示 1×2×3×…×n.令a=1×2×3×…×89=89！，那么，如下连续 88 个自然数都是合数：a+2，a+3，a+4，…，a+89．这是因为对某个 2≤k≤89，有a+k=k×(2×…×(k-1)×(k+1)×…×89+1)是两个大于 1 的自然数的乘积．说明 由本例可知，对于任意自然数 n，存在连续的 n 个合数，这也说明相邻的两个素数的差可以任意的大．用(a，b)表示自然数 a，b 的最大公约数，如果(a，b)=1，那么 a，b 称为互质(互素)．例 5 证明：当 n＞2 时，n 与 n！之间一定有一个质数．证 首先，相邻的两个自然数是互质的．这是因为(a，a-1)=(a，1)＝1，于是有(n！，n！-1)=1．由于不超过 n 的自然数都是 n！的约数，所以不超过 n 的自然数都与 n！-1 互质(否则，n！与 n！-1 不互质)，于是 n！-1 的质约数 p 一定大于 n，即 n＜p≤n！-1＜n！．所以，在 n 与 n！之间一定有一个素数．例 6 证明素数有无穷多个．证 下面是欧几里得的证法．假设只有有限多个质数，设为 p1，p2，…，pn.考虑 p1p2…pn+1，由假设，p1p2…pn+1 是合数，它一定有一个质约数 p．显然，p 不同于 p1，p2，…，pn，这与假设的 p1，p2，…，pn 为全部质数矛盾．例 7 证明：每一个大于 11 的自然数都是两个合数的和．证 设 n 是大于 11 的自然数．(1)若 n=3k(k≥4)，则n＝3k=6+3(k-2)；(2)若 n=3k+1(k≥4)，则n=3k+1=4+3(k-1)；(3)若 n=3k+2(k≥4)，则n=8+3(k-2)．因此，不论在哪种情况下，n 都可以表为两个合数的和．例 8 求不能用三个不同合数的和表示的最大奇数．解 三个最小的合数是 4，6，8，它们的和是 18，于是 17 是不能用三个不同的合数的和表示的奇数．下面证明大于等于 19 的奇数 n 都能用三个不同的合数的和来表示．由于当 k≥3 时，4，9，2k 是三个不同的合数，并且 4+9+2k≥19，所以只要适当选择 k，就可以使大于等于 19 的奇数 n 都能用 4，9，2k(k=n-13/2)的和来表示．综上所述，不能表示为三个不同的合数的和的最大奇数是 17．练习十六1．求出所有的质数 p，使 p+10，p+14 都是质数．2．若 p 是质数，并且 8p2+1 也是质数，求证：8p 2-p+2 也是质数．3．当 m＞1 时，证明：n 4+4m4是合数．4．不能写成两个合数之和的最大的自然数是几？5．设 p 和 q 都是大于 3 的质数，求证：24｜p 2-q2．6．设 x 和 y 是正整数，x≠y，p 是奇质数，并且求 x+y 的值．。