考研数学经典题目.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑考研数学经典题目 1. 学识点：函数和极限 题：lim1?cos??cos2??3cos3????2022cos2022???0?2 解：此题看起来对比麻烦，无从下手，但是假设对下面的一道证明题熟谙的话，就很轻易找到突破点例题： ??0lim?1?ncosn??2?n2（大家可以自己证明一下）故原式 =lim[??01?cos??2?cos??cos??cos2??2?cos??cos2??cos??cos2??3cos3??2 ???cos??cos2????2022cos2022??cos??cos2????2022cos2022??1?cos2?1?20222] =lim[??01?cos??222??2??cos2022??2] = 12????20222=1005507.5 变化：题中的2022可以是任意自然数n 2. 学识点：导数与中值定理 题A：设在[0,1]上， f??(x)?M, 且 f(x)在（0,1）内取得最大值，试证：f?(0)?f?(1)?M 解：此题测验的是中值定理，题目难度不大，关键是能够利用所给条件选择适合的定理来证明。

设 上可导，故f?(c)?0对于函数y=f?(x)，因f?(x)在f(x)在x?c?(0,1)取最大值，f(x)在（0,1） （0,1）上可导，在区间[0, c]与[c，1]上分别用拉格朗日中值定理：存在?1?(0,c),?2?(c,1)，使得 f?(c)?f?(0)?f??(?1)c，f?(1)?f?(c)?f??(?2)(1?c) ?f?(0)??f??(?1)c,f?(1)?f??(?2)(1?c) ?|f?(0)|?|f?(1)|?|f??(?1)|c?|f??(?2)|(1?c) ?Mc?M(1?c)?M类似：设函数 f(x)在[a,b]上可导，f(a)?0,f(b)?1,求证：存在?,??(a,b)，且???，使得 121f?(?)?1f?(?)?2(b?a) [提示，取f(c)?,c?(a,b)] 题B：设 f(x)?a0?a1cosx?a2cos2x??ancosnx,且an?|a0|?|a1|??|an?1|，求证： f(n)(x)在[0，2?]内至少有n个零点 解：由n个零点，很快联想到可以将区间举行划分，之后再来看f(x)，反复用罗尔定理。

ik?nf(k?nn?1)?ancosk???i?0aicosik?nn?1?(?1)an?k?i?0aicos,k?0,1,?,2n. n?1n?1由于：an??|ai|?i?0?|aicosi?0ik?n|，所以f(k?n)与(?1)an同号，而f(x)在[0，2?]上连续，根 k据零点定理：f记为xi（i=1,2,…,2n）,不妨设0?x1?x2???x2n?2? (x)在(0，2?)内至少有2n个零点， 又 f(x)在(0，2?)上可导，根据罗尔定理，存在?i?(xi,xi?1)，使得f?(?i)?0, i=1,2,…,2n-1 ，再应用罗尔定理，存在?i?(?i,?i?1)，使得f??(?i)?0，f?(x)在(0，2?)上可导（即f(x)二阶可导） 由 i=1,2,…,2n—2；如此持续，反复应用罗尔定理，结果可得题C：已知e?xf(n)(x)在[0，2?]内至少有n个零点 1?ax1?bx对于x是3阶无穷小，求常数a, b之值 解：常考题型，大多展现在填空题中，可采用麦克劳林开展式 e?x1?ax1?bx?[1?x?12x?121212216x?o(x)]?[(1?ax)(1?bx?bx?bx?o(x)] 223322333 =(1?a?b)x?(?ab?b)x?(?ab?b?0, 216?b?ab)x?o(x) 323233?1?a?b?0,?a?3. 16?b?ab?0 12,b??学识点：不定积分与定积分 ?题A：求 ?4?11?sinx?4dx a?aa解：在解答题目之前，先看一道证明题： a?a?f(x)dx??0[f(x)?f(?x)]dx 12简朴的证明： ?f(x)dx?1212?a0a?a[f(x)?f(?x)]dx?a?a?a[f(x)?f(?x)]dx = ??2?[f(x)?f(?x)]dx=?[f(x)?f(?x)]dx 0? 4?11?sinx??4dx=?4(011?sinx?11?sinx?)dx=2?401cosx2?dx?2tgx|04?2 题B：设 f(x)是周期为T的连续函数，证明：lim1xTx????x0f(t)dt?1T?T0f(t)dt 证明：首先证明对?n?N，有 ?nT0f(t)dt?n?f(t)dt 0 ?nT0n?1f(t)dt???i?0T0(i?1)TiTf(t)dt（令t?iT?u） n?1n?1 ???i?0f(iT?u)du???i?0T0f(u)du =n?T0f(t)dt 对任何x?T，总存在n?N,??[0,T)，使得x?nT??，且x???时n??。

1nT??T0故：lim1xx????x0f(t)dt?limn???nT??0f(t)dt?lim1nT??1nT???0n??(n?T0f(t)dt?1T?nT??nTf(t)dt) =lim 题C：求由y?x和 nnT??n???f(t)dt?limn???f(t)dt??T0f(t)dt y?4x?x围成的区域绕y?x2旋转所得旋转体的体积解：此题虽然简朴，但却是一个很好的坐标轴转换模型，梦想通过此题的练习，能够在一些繁杂的题目中纯熟使用该方法，从而达成化繁为简的效果 以y?x为数轴u建立坐标系，坐标原点u=0在点（0，0），方向朝上，曲线y距离为 ?4x?x上任一点P到直线y?x的 2??12x?3x，且u?22x?? 故du?2dx曲线y?4x?x与y?x的交点A 2的坐标为A(3,3),于是所求旋转体的体积为 V?? =5. ?320?du??2?3012(x?3x)222du 81202? 学识点：空间解析几何 题目：直线 x?1011解：在空间任取点P(x,y,z),过点P做一平面垂直于z轴，那么该平面与z轴的交点M的坐标为（0，0，z）。

那么该平面 与已知直线的交点Q的坐标为（x0,（1） 由于点Q在已知直线上，所以 222?y?z绕z轴旋转一周，求旋转曲面的方程 y0,z）那么动点P在旋转曲面上的充要条件为|PM|=|QM|, 即x?y?x0?y0 2222x0?10?y01?z1，由此可得x0?1，y0?z，代入（1）式即得旋转曲面的方 程：x?y?z?1 6．学识点：多元函数与偏微分 题A：在曲线x?t，y??t，z?t上求与平面x?2y?z?4平行的切线 23解：题目本身对比简朴，这里写出来主要是为了回忆一下1992年的一道题：问该空间曲线的全体切线中与巳知平面平行的切线有几条无论怎样提出问题，都可以从曲线的切线向量与己知平面的法向量垂直等价于两向量的点积为零启程，求出几个t值，就可推出几条切线 这里，s???1?22?{1,?2t,3t}，n?{1,2,1}由s?n?0，即1?4t?3t?0，从而推出t1?1,t2? 3x?11?y?1?2?z?13； 故s1?{1,?2,3},x1?1,y1??1,z1?1?切线方程为?或s2??{1,?21111,},x2?,y2??,z2??切线方程为333927222x?313?y??219?z?1127。

题B：求由方程2x?2y?z?8xz?z?8?0确定的隐函数z?z(x,y)的极值 解：此题测验了多元函数的两个学识点：隐函数的偏导数求法和多元函数极值的判别方法（概括的大家可以查阅下书本） 根据极值的判别法那么, 先求隐函数的驻点将方程两边分别对x, y求导，那么有 ?8xz??z??0 4x?2zz??8z?8xz??z??0， 4y?2zz?yyyxxx?解得，z?x令 ?4x?8z2z?8x?1?， z?y?4y2z?8x?1 ?0 ?y?0,x??2z，代入所给方程，得z1??z??0，z?yx87，z2?1 从而得驻点：(167,0)和(?2,0) 再求z对x, y的二阶偏导数： ?2zz???8z??8z??8xz???z???0 4?2z?xxxxxxxxxz??2zz???8z??8xz???z???0 2z?yxxyyxyxy 24?2z??2zz???8xz???z???0 yyyyyyy?2z?z??8z?yxy2z?8x?1?4?2z?y22?z???xx对驻点(2?4?2z??16z?xx2z?8x?1,0)，A=z????xx2，z??xy?，z??yy?2z?8x?1 167415?0, C=z????, B=z??xyyy415 ?B?AC?0,A?0, 故函数z在点(?对驻点(?2,0)，A=z??xx2167,0)处取得极大值z(415 167,0)??87 415?0, C=z???, B=z??xyyy?B?AC?0,A?0，故函数z在点(?2,0)处取得微小值z(?2,0)?1 [补充] 关于极值的求法，考试中常测验的是拉格朗日条件极值。

这里，给出一道题目，大家可以自己做一下：原题：已知三角形周长为2p, 求出这样的三角形，当它围着自己的一边旋转时所构成的体积最大答案：三角形三边分别为 12p， 34p， 34p，且绕边长为 12p的一边旋转时，旋转体体积取最大值） 7． 学识点：重积分 题A：计算二重积分一连续函数 解：由于 ??x[1?yf(xD23?y)]dxdy，其中D是由y?x，y?1，x??1所围的区域，f是 2f连续，所以必可积，不妨令?f(x)dx?F(x). 02x那么原式= ??xdxdy???xyf(xDD31?1?y)dxdy?2?1?1dx?3xdy?x1?1?1dx?3xyf(x?y)dy x122 ??1?1x(1?x)dx??12xF(x?y)|x3dx??2?xdx??1221141?21?1x[F(x?1)?F(x?y)]dx226=?25 (这里用了奇函数在对称区间上的定积分等于零的结论) 题B：设f(x)，g(x)皆是单调递增的连续函数. 1求证： b?a?baf(x)g(x)dx?1b?a?baf(x)dx?1b?a?bag(x)d。