第七章矩阵特征值与特征向量 (1).doc

第七章 矩阵特征值与特征向量的计算  物理、力学中的振动问题，弹性结构中的稳定性问题和许多工程实际问题，最终归结为求矩阵的特征值与特征向量，即求数及非零向量，满足其中数叫做矩阵特征值，叫做对应特征值的特征向量 由线性代数的理论知：为特征值的充要条件是为特征方程的根特征方程是关于特征值的次代数方程，在复数域内共有个根并且有(1) (2) 当较大时，如果按行列式展开的方法求的零点，其工作量是巨大的，在实用中往往难以实现因此，有必要研究有效的计算矩阵特征值的数值方法，本章将介绍迭代方法和相似变换方法第一节 幂法与反幂法一、幂法 矩阵的按模最大的特征值称为主特征值，许多实际问题，往往只要求出矩阵的主特征值幂法就是求矩阵的主特征值与对应特征向量的一种迭代方法 设矩阵有一完全的特征向量组，即特征向量线性无关且所对应的特征值满足主特征值占优 (7.1) 任取一个非零向量，构造向量序列 (7.2)以下利用此序列求主特征值及所对应的特征向量由于迭代序列实质上是由矩阵各次幂作用于初始向量而形成的，故称此迭代方法为幂法。

 因为构成的一个基底，所以对，存在一组不全为零的数，使得假定，按迭代公式(7.2)得记，则上式简化为 (7.3)由式(7.1)得，则当时，，于是当充分大时 (7.4)且因此，就是的属于主特征值的特征向量的近似值用表示向量的第个分量，由式(7.3)得故 (7.5)这说明两相邻迭代分量的比值收敛于主特征值 观察式(7.4)，当时，的不等于零的分量，将随而无限增大，造成“溢出”；而当时，的各分量又将随而趋于零所以，必须对上述幂法进行修正 二、实用幂法 从非零向量出发，对迭代序列(7.2)作如下修正 (7.6)式中表示向量的绝对值最大的分量则 (7.7) (7.8) 事实上由于，所以于是同理 例7.1 试用幂法计算实对称矩阵的主特征值及其所对应的特征向量，要求。

 解 取初始向量，应用式(7.6)进行迭代，部分迭代结果见表7.1 表7.1 0(1,1,1)5(-0.179803366,-0.,1)-6.264091860.43×10-110(-0.081673107,-0.30697771,1)-6.378582540.13×10-115(-0.055174692,-0.35765357,1)-6.410215900.34×10-220(-0.048413347,-0.37058404,1)-6.418337790.87×10-325(-0.046713405,-0.37383503,1)-6.420383040.22×10-330(-0.046287596,-0.37464935,1)-6.420895550.55×10-435(-0.046181038,-0.37485314,1)-6.421055910.14×10-440(-0.046154378,-0.37490412,1)-6.421055910.34×10-545(-0.046147708,-0.37491688,1)-6.421063940.86×10-650(-0.046146040,-0.37492007,1)-6.421065940.21×10-655(-0.046145622,-0.37492086,1)-6.421066450.54×10-760(-0.046145518,-0.37492106,1)-6.421066570.13×10-761(-0.046145509,-0.37492108,1)-6.421066580.10×10-762(-0.046145503,-0.37492109,1)-6.421066590.77×10-8从以上幂法的论证过程可以看出：其收敛速度依赖于，这个比值愈小，收敛速度愈快；这个比值愈接近1，收敛速度愈慢。

例7.1的收敛速度就较慢，经验证另一方面，初始向量的选取对迭代次数也有影响若选取不当，使得中，尽管由于迭代运算中的舍入误差导致中的，并随的增大而逐渐取得优势，使迭代收敛，但迭代次数会大增实际计算中，可设迭代次数控制量，当仍不成立时，停机检查，根据的变化趋势重置，或运用加速技术 三、幂法的Aitken(埃特金)加速法 由式(7.6)～(7.8)及推导过程可得从而可知线性收敛于，即于是解得 (7.9) 同样可得所对应特征向量的如下加速迭代公式  (7.10)可见，应用Aitken加速公式(7.9)、(7.10)之前，需应用式(7.6)计算三次对例7.1进行计算，取，计算结果列于表7.2与表7.1比较，要达到，幂法需迭代次，而Aitken加速幂法只需迭代次 表7.2 0(1,1,1)5(-0.040218749,-0.35237239,1)-6.432032850.34×10-110(-0.046217941,-0.3752841,1)-6.420937760.49×10-315(-0.046144330,-0.37491683,1)-6.421068760.63×10-520(-0.046145497,-0.37492120,1)-6.421066590.95×10-725(-0.046145476,-0.37492111,1)-6.421066630.37×10-730(-0.046145486,-0.37492114,1)-6.421066610.17×10-735(-0.046145482,-0.37492113,1)-6.421066620.67×10-8若以幂法迭代至时的作为初始值，再应用Aitken加速法，计算结果列于表7.3，其收敛速度增加很快。

实际上，要达到的结果，取开始迭代，直接应用幂法需迭代，应用Aitken加速幂法需迭代次 表7.320(-0.048413347,-0.37058404,1)25(-0.046144484,-0.37492304,1)-6.42106820-6.4210682030(-0.046145483,-0.37492113,1)-6.421066610.00000159135(-0.046145483,-0.37492113,1)-6.421066610.000000001四、反幂法 设矩阵非奇异，则由可推得若，则的特征值满足 对应用幂法求它的主特征值及所对应的特征向量，这一方法被称为反幂法换言之，反幂法可用于求的按模最小的特征值与所对应的特征向量的近似值在式(7.6)中以代替迭代，需要求，为了避免求逆阵，可通过解线性方程组进行迭代： (7.11)由于需要反复求解方程组，所以不宜使用Gauss消去法若对作分解，则每次迭代只需求解上、下两个简单的三角形方程组： (7.12)当时，有以下极限于是，当充分大时，。

例7.2 试用反幂法求矩阵按模最小的特征值及所对应的特征向量，要求 解 因为的各阶主子式不为零，应用式(3.10)对的分解，得取初始向量，应用式(7.12)进行迭代，计算结果列于表7.4只需迭代10次，就可得满足精度要求的及所对应特征向量 表7.4 0(1,1,1)1(0.43478261,1,-0.47826087)1.219047620.222(0.19018405,1,-0.88343558)1.012422360.793(0.18427518,1,-0.91241509)1.212795790.204(0.18314756,1,-0.91293297)1.229333990.17×10-15(0.18319627,1,-0.91304707)1.229434870.10×10-36(0.18318705,1,-0.91304168)1.229513690.79×10-47(0.18318795,1,-0.91304265)1.229508650.50×10-58(0.18318784,1,-0.91304255)1.229509410.76×10-69(0.18318785,1,-0.91304256)1.229509330.79×10-710(0.18318785,1,-0.91304256)1.229509340.95×10-8五、用反幂法对近似特征值精确化 若已知的某特征值的近似值，则 (7.13)于是就是矩阵的按模最小的特征值，应用反幂法对进行分解，代入式(7.12)。

则有且当充分大时即  例7.3 对于例7.1中的实对称矩阵，已知为的一个近似特征值，试用反幂法对精确化，并求对应的特征向量 解 对作分解得取代入式(7.12)，迭代结果见表7.5 表7.50(1,1,1)1(-0.04616784,-0.37593814,1)-474.838012(-0.04614569,-0.37492057,1)-937.859873(-0.04614548,-0.37492113,1)-937.54585只需迭代3次，即可得精度较高的近似特征值及特征向量这一结果应用幂法需迭代87次由式(7.13)知，按模远远小于其它特征值，从而迭代过程收敛极快另一方面，如果初步求得的全部特征值，则可应用反幂法对每个近似特征值精确化，并求得全部特征向量第二节Jacobi法 一、 旋转变换 Jacobi(雅可比)法是用于求实对称矩阵特征值的一种旋转变换方法由线性代数理论知。