数列通项公式与前n项和公式关系教案.doc

数列通项公式与前 n 项和公式关系教案教学目标1 •了解数列的通项公式 an与前n项和公式S的关系.2•能通过前n项和公式S求出数列的通项公式 an•3.培养学生辩证统一的观点.教学重点与难点重点：认清两者之间的关系．难点：通过Sn求出an的基本方法.教学过程设计（一） 课题引入师：回忆一下什么是数列的通项公式？什么是数列的前 n 项和？生：如果数列｛an｝的第n项an与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式•即 和 Si=ai + a2+, + an •an=f（n） ，数列的前 n 项师：那么S是否也可以表示成关于项数n 的函数式？（由前两个概念， 学生不难得出正确答案， 式称为数列的前 n 项和公式 ）教师进一步指出这个函数生：Sn可以表示成关于项数 n的函数式.师：现在研究一下an与Sn两者之间的关系，（板书）•需要考虑哪几 种关系？（培养学生的辩证统一的观点， 对今后的数学学习是有益的， 掌握此 观点，学生就可以主动地探讨其他数学问题 ）生：应考虑已知an是否可以求出 S ；反之，已知Sn是否可以求出an.师：回答正确•两者之间的关系，应该是辩证统一的•这节课我们 主要研究后一种，即已知 Sn是否可以求出an.（二）提示Sn与an的关系师：（ 板书）例1已知数列的前n项和S=n2 + n.求：（1）a 1, a2, a3, a4；⑵ 通 项公式 an ．（由形象思维到抽象思维， 由特殊到一般， 是研究数学问题的一般规 律，在教学中可以起到突出重点，突破难点的作用.给学生一个台阶， 使学生在自己发现结论的过程中体现知识形成过程的教学 ）师： （ 板书 ）因为 Sn=a1＋a2＋, ＋ an，则 a1=S1=2，a2= S — ai = 4,a3= S — ai — a2= 6a4= S — ai — a2— a3= 8,所以通项公式 an=2n.师：请问 an=2n 是依据什么得出的？生：由前 4 项猜想得出的.师：这样猜想得出的结果是否可靠？因为这是一种不完全归纳法， 因此需要论证才能严谨，现阶段我们有没有什么数学方法可以验证结论 的正确性？生：没有.师：那么我们不妨换一个角度来考虑问题.如果结果不是通过“归 纳、猜想”得到的，而是通过演绎推理获得，那么无需证明.即是否能 通过 Sn 推导出 an？（ “归纳—猜想—证明”与演绎推理是研究数学问题的两大类方法， 也是学生应熟练掌握的.而学生在运用“归纳—猜想—证明”时，往往 容易忽视“证明”这个环节，而此环节恰恰是“归纳—猜想—证明”中 最重要的部分，若缺少“证明”，此法即为不完全归纳法. ）师：引导学生观察板书，可发现：a2=S2— ai 中 ai 写成 S，即卩 a2=S2 — S ；a3=Se— ai — a2 中，ai + a2可与成 S2，即 a3=S3— S2；a4=S— ai — a2— a3中，ai + a2+ a3可与成 S3,即卩 a4=S— S3,那么 an 是否与 Sn 也有以上关系？生：因 $=ai + a2 + a3 +, + an,贝U an=Sn — （a i + a2 +, + an-i）.又 S-i =ai + a2 + , + an-i，贝U an=S — Sn-i .师：现在大家一起来考虑这个关系式对于任意数列，任意自然数 n 都能立？（设疑可以调动学生的思维，也为下一步教学作铺垫 ）师：带着这个问题，我们来讨论一道题．（板书）例2已知数列的前n项和S=n2+ n +2,求数列的通项公式 an．生： （ 板书 ）an=Sn— Sn-i=n ＋n＋2— [（n — i） ＋（n — i） ＋2]=2n ．（做完之后,部分学生就会提出疑问,这时教师应及时因势利导,指 导学生讨论,顺理成章地引出本节课的难点；若没有学生提出质疑,教 师也可设问引出 ）生：这个结果有问题.此题与例 i得出的通项公式an是一致的，说 明两个数列应是同一个数列，而它们的前 n项和S又不相等，这不是矛 盾吗？师：问题提的很好，大家想一想，开动脑筋，讨论一下，这其中的 道理究竟是什么？（ 分组讨论，此时学生思维是非常活跃的，方法也很多，教师在巡视 过程中，应注意发现积极有意义的成份 ）生：我用前面归纳 ai， a2， a3， , 的方法计算了一下， 得出： ai=Si=4， a2=S2 — Si =4, a3=S3— S=6, a4=S— ai— a2— a3=8,那么所谓通项公式 an=2n, 是从第二项开始的，而不包括 ai.师：那么问题出在哪儿？生：如果应用上述关系式 an=S — S-i，求ai，应为ai=S — So,但是 So又表示什么含义呢？师：这个问题提的在理， S表示什么意义?(教师在教学过程中，一定要抓住学生在回答问题时积极有意义的因 素，这样可以激发学生学习的兴趣，有利于培养学生良好的思维品质 )师：我们在一开始已经指出前 n项和公式Sn是关于n的函数解析式， 自变量n的范围是大于0的自然数，因此 So是没有意义的，即ai=S— S 此关系式是无任何意义的.生：可见，an=S— S-i这个关系式的缺憾就是不能表示首项 ai，它成立的条件应该是n\ 2.师：那么ai如何确定？ 生：ai可以由ai=Si确定.师：这样我们把an=S— S-i这个关系式就找完备了 •即(板书)那么例2的正确解法为:(板书)解：n=i 时，ai=S=4.2 2n》2 时，an=S— Sn-i =n + n + 2 — [(n — 1) + (n — 1) + 2]=2n .所以通项公式％生：我有一个想法，可以避免关系式中出现 So.师：说出来大家一起研究.(教师一定要保护学生思考的积极性， 这样可以培养学生的发散性思维)生：(板书)a n+i=S+i — Sn=(n + 1) + (n + 1) + 2— n — n — 2=2n+ 2.由于通项公式是关于项数 n的函数解析式，所以an+1=f(n + 1)=2n + 2.应用换元法求函数解析式：f(n)=2n .这样得到通项公式：an =2n .这种做法避免了 So,但为什么还是错误的.师：这种想法有一定道理，但只要我们进一步探讨，就会发现其中 的问题.an+i=S+i— $=2n + 2,此式也只揭示了数列从第 2项起，项与项数的 函数关系，因此f(n + 1)与f(n)的定义域不同，这种做法，虽然表面上 避免了 So的出现，但它与前一种方法本质上是同出一辙的.师：由上述两例中不难看出，由前 n项和S求通项公式an时，n=1 的情况有时可以统一，如例 1,有时只能分类得到，如例 2,那么如何区 别呢？这里只要验证 n=1时，an (n >2)的表达式是否可以表示 ai即可.(三) 举例巩固师：我们已经得到了前 n项和S与通项公式an的关系，现在运用这 一关系解决如下几个问题.例3已知数列｛an｝的前n项和S,满足：log2(Sn + 1)=n + 1 •求此 数列的通项公式an •(例3的目的是巩固已学习过的知识， 并且规范做题格式.学习数学其中一个很重要的目的是培养学生严谨的逻辑性，而这恰恰体现在学生 做题的格式是否规范化上)师：由例1,例2可知，要求出通项公式an,须求出S,即应由log 20 + 1)=n + 1,求出S，再利用数列前n项和Sn与通项公式an之间的关系， 得到数列的通项公式 an.生：(板书)n + 1解：由 log 2(Sn+ 1)=n + 1,得 Sn=2 — 12当 n=1 时，a1=S=2 — 1=3;当 n》2 时，an=S — S-1=2n+1— 1 — (2 n— 1)=2n.又n=l时，2n = 2/aP所以通项公式为^=1 n 、2 , 1122例4在数列｛a n｝中，a1=0, an+计S=n2+ 2n(n €N+).求数列｛a n｝的通 项公式.师：现在我们的任务是如何求出数列前 n项和$.生：由已知 an+i+ Si=n + 2n,得 Sn=n + 2n — an+1.师：这样求出的S,是否能利用数列的前 n项和与通项公式的关系， 求出通项公式呢？显然是不行的，因为数列的前 n项和公式S是关于项数n的函数关系式，而S=n2+ 2n— an+i并不是关于项数n的函数关系式.生：不妨也利用数列前 n项和S与通项公式an的关系，将an+i表示 为an+i=S+i — S,那么an+i + Sn=n2 + 2n就转化为关于 S+i, S的关系式，再 求Sn .师：（板书）由于 an+i = S+i — Sn,贝V an+i + Sn=Sn+i— S+ Sn = Si+i，即 Sn+i=n + 2n.师：再如何通过 Sn+i求S?生：可以利用函数知识，因为前 n项和Sn是关于项数n项的函数解 析式，即已知S+i=f（n + i）=n2+ 2n,可以求出 S=f（n）=S n.师：（板书）S n+i=n + 2n=（n + 1） — 1,贝V Sn=n — 1.（以下省略，得出结果）数列的通项公式尙=（四）课堂练习已知数列前n项和S,求数列的通项公式 an.21. Sn=n — 2n+ 2;22. Sn=n + 2 — 1;3- S七答案:L2.3.通项公式为；3通项公式：兀=|空’[2n-厂n = l,n^2.11 = 1 f—1 f.通项公式为* an = |(n€ N)（五）课堂小结通过本节课，我们学习了已知数列前 n项和S,如何求出数列通项 公式an的方法.在运用上述关系时，一定要注意 an=S— Sn-i成立的条件：n\2, ai应由Si确定.（六）布置作业已知数列｛an｝的前n项和S，求它的通项公式：⑴S n=an2+ bn（a , b 为已知常数）;（2）S n=an2 + bn+ c（a , b, c 为已 知常数）；3（3）S n=n + n— 1.作业答案:(1)a n=2an — a + b (n €N+).课堂教学设计说明1.本节课的内容教材中基本未涉及， 但这类问题在各级各类考试中均有所涉及，因此在日常教学中，应适时补充，究其授课深度应视学生 程度而定，因材施教.2•数列中，有三个基本问题•即关于数列的通项问题；关于数列的 前n项和问题；关于数列的极限问题•一般说来，数列中的其他问题都 是围绕这三个问题展开的•可见，研究这三个问题是十分有意义，也是 十分必要的.数列{an}的前n项和公式，实际上就是数列{Sn}的通项公式，因此, Sn与an之间有着密切的联系.{Sn} : S , S2, S3, S4, , , Sn-1 , Sn,,{a n} : ai, a2, a3, a4, , , an,,不难看出：S + ak+i =S+i (k €N +),并且-3. 从辩证统一的观点看问题， S与an之间的关系，应包含两层关系•一类为知S求an；另一类为知an求Sn,本节课所授内容只是其中一类.至于 另一类问题将是以后教学中的一个难点内容，即“数列求和”，辩证统 一的观点在中学数学中处处可见， 教师应注意对学生进行这方面的教育, 有助于提高学生的数学素质，培养学生研究数学问题的能力.4•对于概念课的教学，切忌直接给出概念或公式，这样无助于学生 思维品质的培养，无助。