第8章振动与波动.ppt

第第8章章  振动与波动振动与波动惠更斯：惠更斯： ( (ChristianHaygenChristianHaygen，，1629—1695)1629—1695)荷兰物理学家、数学家、天文学家他建立了光的波动学说，提出了惠荷兰物理学家、数学家、天文学家他建立了光的波动学说，提出了惠更斯原理主要著作有更斯原理主要著作有16901690年出版的年出版的《《论光论光》》，共有，共有2222卷一、简谐振动的振动方程一、简谐振动的振动方程 弹簧振子：弹簧弹簧振子：弹簧——物体系统物体系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧轻弹簧——质量忽略不计质量忽略不计物体物体——可看作质点可看作质点 简谐振动简谐振动微分方程微分方程§8.1简谐振动简谐振动单摆单摆结论结论：：单摆的小角度摆动振动是简谐振动单摆的小角度摆动振动是简谐振动角频率角频率, ,振动的周期分别为：振动的周期分别为：摆球对摆球对C C点的力矩点的力矩其通解为：其通解为：简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程或叫振动方程或叫振动方程速度方程速度方程加速度方程加速度方程简谐振动的特征量简谐振动的特征量振幅振幅 A: 简简谐谐振振动动物物体体离离开开平平衡衡位位置置的的最最大大位位移移（（或或角角位位移）的绝对值。

移）的绝对值频率频率 ：：角频率角频率 :周期周期T T ：：物体完成一次全振动所需时间物体完成一次全振动所需时间单位时间内振动的次数单位时间内振动的次数对弹簧振子对弹簧振子单摆单摆固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率  是是t t =0=0时刻的相位时刻的相位——初相位初相位相位和相位差相位和相位差相位相位 —决定谐振动物体的运动状态决定谐振动物体的运动状态 同相和反相同相和反相( (同频率振动同频率振动) )当当    =  2k  两振动步调相同两振动步调相同, ,称同相当当    =  (2k+1)  两振动步调相反两振动步调相反 , , 称反相xto同相同相Tx1A1x2A2xto反相反相Tx1A1x2 A2 超前和落后超前和落后若若     =   2- -  1> 0 ,  则则 称称 x2 比比 x1 超前超前   (或或 x1 比比 x2 落后落后    )由初始条件求振幅和初相位由初始条件求振幅和初相位 t xOA1-A1x1- A2A2x2例例已知已知A=0.12m，，T=2s，，一物体沿一物体沿x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为，周期为2s。

当当t = 0时，位移为时，位移为0.06m，且向，且向x轴正方向运动轴正方向运动求求 (1)初相；初相；(2) t = 0.5s时，物体的位置、速度和加速度；时，物体的位置、速度和加速度；(3)在在x = -0.06m处，且向处，且向x轴负向方向运动物体从这一状轴负向方向运动物体从这一状态回到平衡位置的最短时间态回到平衡位置的最短时间解解 ①①设其运动方程为则速度和加速度分别为设其运动方程为则速度和加速度分别为则速度和加速度分别为则速度和加速度分别为当当t=0时，时，当当t = 0.5s时时（（3）由于三角函数具有周期性，取第一个周期即可由于三角函数具有周期性，取第一个周期即可设设设设当物体当物体在在－－0.06m，且向，且向x轴负向方向运动对应的时刻为轴负向方向运动对应的时刻为t1，，平衡位置对平衡位置对应的时刻为应的时刻为t2，，则则如图如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm，，t=0时，时，x0=－－9.8cm,   v0=0⑴⑴ 确定平衡位置确定平衡位置  mg=k  l  取为原点取为原点令向下有位移令向下有位移 x, 则回复力则回复力XOxm例例求求⑴⑴  取开始振动时为计时零点，写出振动取开始振动时为计时零点，写出振动方程；方程；（（2）若取）若取x0=0，，v0>0为计时零点为计时零点,写出振动写出振动方程方程,并计算振动频率。

并计算振动频率解解作谐振动作谐振动  设其方程为设其方程为由初条件得由初条件得由由x0=－－0.098m振动方程为振动方程为：：(2)按题意按题意 t=0 时时  x0=0，，v0>0对同一谐振动计时起点不同对同一谐振动计时起点不同, 不同，但不同，但 、、A不变不变固有频率固有频率XOxm二、简谐振动的二、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法  t = 0x  t+ t = tox用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系   同相同相反相反相谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系a vTxtoT/4T/4由图可见：由图可见：x  t+ o ·  超前超前超前超前已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示速度与时间的关系曲线如图所示. .方法方法1: 设振动方程为设振动方程为例例求求 其振动方程其振动方程解解或或故振动方程为故振动方程为方法方法2：用旋转矢量法辅助求解用旋转矢量法辅助求解或或v的旋转矢量与的旋转矢量与v轴夹角表示轴夹角表示t 时刻相位时刻相位由图知由图知例例由图可知由图可知求求一物体沿一物体沿X轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为，周期为2s。

当当t = 0时，位移为时，位移为0.06m，且向，且向x轴正方向运动轴正方向运动2）在）在x = -0.06m处，且向处，且向x轴负向方向运动时，物体从这轴负向方向运动时，物体从这一位置回到平衡位置所需的最短时间一位置回到平衡位置所需的最短时间        （（1）初相；）初相； 由图可知由图可知(1)图图解解(2)图图以弹簧振子为例以弹簧振子为例某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，，位移为位移为x三、简谐振动的能量三、简谐振动的能量机械能机械能（简谐振动系统机械能守恒）（简谐振动系统机械能守恒）由起始能量求振幅由起始能量求振幅EptoETxotEk四、简谐振动的合成四、简谐振动的合成同方向同频率简谐振动的合成同方向同频率简谐振动的合成分振动分振动 : 合振动合振动 :结论：结论：合振动合振动 x 仍是简谐振动仍是简谐振动合振动是简谐振动合振动是简谐振动, , 其频率仍为其频率仍为 合振动合振动 : :旋转矢量法旋转矢量法若若 A1=A2 , 则则 A=0讨论讨论若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相: :合振动加强合振动加强合振动减弱合振动减弱合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中随随t t 缓变缓变随随t t 快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成分振动分振动合振动合振动当当 2  1时时, ,拍拍: : 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频 : : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数   = =| | 2 2- - 1 1| | xt tx2t tx1t t消去参数消去参数t得合振动的轨迹方程得合振动的轨迹方程分振动分振动互相垂直的简谐振动的合成互相垂直的简谐振动的合成同频率简谐振动的合成同频率简谐振动的合成当当质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移当当质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。

质点沿椭圆的运动方向是顺时针的当当当当质点沿椭圆的运动方向是逆时针的质点沿椭圆的运动方向是逆时针的   = 0   =  /2   = 3 /4   =  /4   = 5 /4   = 3 /2   = 7 /4时，逆时针方向转动时，逆时针方向转动时，顺时针方向转动时，顺时针方向转动   =  李萨如图形李萨如图形不同频率的简谐振动的合成不同频率的简谐振动的合成——§§8.2  相平面相平面 相空间相空间 一、广义坐标一、广义坐标 广义速度广义速度 在经典力学中，一个自由质点的运动状态可以用在经典力学中，一个自由质点的运动状态可以用6 6个变量个变量（（x，，y，，z，，vx ，，vy ，，vz））描述描述，，一般来讲，一个力学系统的运动状态，可以用一般来讲，一个力学系统的运动状态，可以用n个个广义坐标广义坐标qi 和和n个相应的个相应的广义速度广义速度pi 共共2n 个变量描述个变量描述二、相平面二、相平面 相空间相空间以以(qi，，pi)为坐标，可以构建一个为坐标，可以构建一个2n（（n 为力学系统为力学系统的独立变量的数目）维的状态空间。

的独立变量的数目）维的状态空间这个状态空间这个状态空间称为称为相空间相空间.相空间相空间:当然如果力学系统只有两个变量，相空间就简化为当然如果力学系统只有两个变量，相空间就简化为相平面相平面相平面相平面:相平面、相空间中的相平面、相空间中的““相相””是指是指物体的运动状态物体的运动状态相空间的相空间的每一点称为相点，对应力学系统的一个状态；状态空间的每每一点称为相点，对应力学系统的一个状态；状态空间的每一曲线称为一曲线称为相轨迹相轨迹或或相图相图，对应，对应力学系统一种可能的状态变力学系统一种可能的状态变化过程以以位置位置和和速度速度作为坐标参量构建的平面或新的空间，是最简作为坐标参量构建的平面或新的空间，是最简单的相平面或相空间单的相平面或相空间如某质点作直线运动，其坐标为如某质点作直线运动，其坐标为x、速度、速度为坐标为坐标,建立一个平面坐标系建立一个平面坐标系Oxy,就是最简单的相平面就是最简单的相平面以以（（x，，y ））相平面中的一个点相平面中的一个点M（（x,y ），对应），对应一个运动状态，一个运动状态，M 称为称为相点相点在相平面中相点的运动轨迹就是在相平面中相点的运动轨迹就是相相图图，一般是一条光滑的曲线。

一般是一条光滑的曲线相点相点相轨迹相轨迹以以简谐振子简谐振子为例，来分析讨论相图的实际应用为例，来分析讨论相图的实际应用简谐振子的位移、速度和加速度分别为简谐振子的位移、速度和加速度分别为常数常数C C由初始条件决定由初始条件决定以以x和和y为轴，可建立相平面为轴，可建立相平面Oxy简谐振子的相图简谐振子的相图研究谐振子的位移、速度随时间的变化，就可以得到一系列研究谐振子的位移、速度随时间的变化，就可以得到一系列点，继而可描绘出一条曲线点，继而可描绘出一条曲线——相轨迹相轨迹对于一定的对于一定的C值，值，相轨迹是一个椭圆相轨迹是一个椭圆，如图所示如图所示从位移、速度公式中消去时间从位移、速度公式中消去时间t ，得，得按按C值的不同，可得到一族大小不值的不同，可得到一族大小不同的椭圆同的椭圆从相轨迹中，可以看出从相轨迹中，可以看出简谐振子的所有相轨迹都是闭合曲线相点沿闭合曲线运行简谐振子的所有相轨迹都是闭合曲线相点沿闭合曲线运行了一周，又回到原先的运动状态．了一周，又回到原先的运动状态．因此可以断定，因此可以断定，所有的椭圆相轨迹都对应着一个所有的椭圆相轨迹都对应着一个周期运动周期运动，，其周期是一个有限值。

其周期是一个有限值在在相平面上的相平面上的O点点处，物体运动的速度和加速度均为零，处，物体运动的速度和加速度均为零，相相平面上这样的点对应着一个平衡状态若没有任何扰动使平面上这样的点对应着一个平衡状态若没有任何扰动使系统偏离系统偏离O点，它将一直停留在该点点，它将一直停留在该点三、奇点三、奇点相图上速度和加速度同时为零的那些点称为相图上速度和加速度同时为零的那些点称为奇点奇点，，奇点对奇点对应着动力学系统的平衡状态，因此应着动力学系统的平衡状态，因此奇点也称为平衡点奇点也称为平衡点奇点的分类奇点的分类中中心心焦焦点点结结点点鞍鞍点点§§8.3  非线性振动非线性振动 一、非线性振动系统一、非线性振动系统由非线性微分方程所描述的振动由非线性微分方程所描述的振动，称其为，称其为非线性振动非线性振动下面以单摆做自由振动为例进行分析下面以单摆做自由振动为例进行分析单摆的线性振动单摆的线性振动将将sinθ按按泰勒级数泰勒级数展开可得展开可得单摆单摆θθ很小时，很小时，θθ3 3以上可忽略不计，以上可忽略不计，同时令同时令ω2=g/L可得可得由上式可知，由上式可知，小角度小角度下单摆的运动是简谐振动下单摆的运动是简谐振动，，其其周期周期为为单摆的非线性振动单摆的非线性振动随着随着θθ的增大，摆球的运动方程为一个非线性微分方程。

的增大，摆球的运动方程为一个非线性微分方程可以证明单摆的周期变为可以证明单摆的周期变为式中式中θm是最大角位移，即单摆振动的角摆幅是最大角位移，即单摆振动的角摆幅当当 时时，，T→∞，，T/T’随摆幅随摆幅θm变化变化关系如图所示关系如图所示可见可见单摆的周期是一个单摆的周期是一个向无向无穷大发展的非线性变化穷大发展的非线性变化两边积分得两边积分得单摆线性振动的相图单摆线性振动的相图即即T/T’随摆幅随摆幅θm变化关系变化关系可见，线性振动的相轨迹为可见，线性振动的相轨迹为椭圆椭圆, ,中心点是稳定的中心点是稳定的奇点奇点. .初始条件确定后，单摆运动过程就初始条件确定后，单摆运动过程就对应于其中一个椭圆，对应于其中一个椭圆，单摆的运动单摆的运动是一系列的同周期运动，且运动状是一系列的同周期运动，且运动状态完全确定态完全确定单摆非线性振动的相图单摆非线性振动的相图如果对摆角不加限制，微分方程变成非线性微分方程，对方如果对摆角不加限制，微分方程变成非线性微分方程，对方程两边积分可得程两边积分可得单摆无阻尼线性振动的相图单摆无阻尼线性振动的相图当当t=0时，时，θθ=θθ0可见，其相图不再是一椭圆，可见，其相图不再是一椭圆，相轨迹两端凸出略呈尖角状，相轨迹两端凸出略呈尖角状，但仍是封闭曲线，但仍是封闭曲线，表示运动表示运动仍是周期性往复摆动仍是周期性往复摆动。

当摆幅增大当摆幅增大ππ到时，相迹线上出现了两个分支点，我们称到时，相迹线上出现了两个分支点，我们称之为之为鞍点鞍点, ,如上图如上图. .单摆无阻尼非线性振动的相图单摆无阻尼非线性振动的相图鞍点鞍点和中心点一样也是一个和中心点一样也是一个奇点奇点，，但是在鞍点上但是在鞍点上 说明说明鞍点鞍点是不稳定的平衡点，因是不稳定的平衡点，因为与之相连的四条相轨迹中两条为与之相连的四条相轨迹中两条指向它，两条背离它，而附近相指向它，两条背离它，而附近相轨迹呈双曲线状．轨迹呈双曲线状．从势能曲线和相图上可知从势能曲线和相图上可知处势能最大，处势能最大，势能曲线、相图、鞍点势能曲线、相图、鞍点双曲点的存在，预示着混沌运动的可能．双曲点的存在，预示着混沌运动的可能．假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动．这样一来，假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动．这样一来，双曲点就成了双曲点就成了敏感区．敏感区．能量稍大，单摆就会越过势垒的能量稍大，单摆就会越过势垒的顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑回原来的一侧单摆向回摆动回原来的一侧单摆向回摆动二、二、非线性振动系统的混沌行为非线性振动系统的混沌行为仍以单摆为例仍以单摆为例, 前面已经讨论过它的自由振动前面已经讨论过它的自由振动,下面分析下面分析其阻尼振动和受迫振动其阻尼振动和受迫振动有阻尼、无策动力的振动有阻尼、无策动力的振动小摆幅时运动方程为小摆幅时运动方程为小摆幅时小摆幅时,按阻尼的大小其运动状态可分为按阻尼的大小其运动状态可分为过阻尼过阻尼、、临界临界阻尼阻尼、和、和阻尼振动阻尼振动.从相图可知从相图可知,无论单摆从什么初始状无论单摆从什么初始状态出发态出发,最后都要静下来最后都要静下来.其状态最终要落到中央其状态最终要落到中央焦点焦点处处,这一点好象能把相空间的点逐渐地吸引起来这一点好象能把相空间的点逐渐地吸引起来,称为称为“吸引吸引子子”单摆阻尼振动的相图单摆阻尼振动的相图(小摆幅小摆幅)有阻尼、并有策动力的振动有阻尼、并有策动力的振动大摆幅时运动方程是非线性的大摆幅时运动方程是非线性的单摆阻尼振动的相图单摆阻尼振动的相图(大摆幅大摆幅)此时此时,从其相图上可以看出从其相图上可以看出,相平面被分成不同的区域相平面被分成不同的区域,相轨迹都收敛与该区域中心相轨迹都收敛与该区域中心的的吸引子吸引子.振动方程为振动方程为这是非线性微分方程这是非线性微分方程,此时单摆的运动情况变得非常复杂此时单摆的运动情况变得非常复杂,可以对三个参量在不同组合情况下进行数值计算可以对三个参量在不同组合情况下进行数值计算,画出相画出相图来分析图来分析.有策动力、有阻尼时单摆的相图有策动力、有阻尼时单摆的相图保持其他两个参量不变保持其他两个参量不变, f 逐渐增加时逐渐增加时,单摆的相图会产生如单摆的相图会产生如下变化下变化:f=1.07,出现出现2倍的周期倍的周期, f 变化两个周期后单摆才恢复原状变化两个周期后单摆才恢复原状;f=1.15,相轨迹分布看似没有规律相轨迹分布看似没有规律,反映了某种内在的结构特征反映了某种内在的结构特征;f =1.45,单摆运动出现单摆运动出现2倍的周期倍的周期,作单向旋转作单向旋转;f=1.35,相轨迹又呈现比较简单分布相轨迹又呈现比较简单分布, 恢复单倍周期状态恢复单倍周期状态,但此但此时单摆并非作来回振动时单摆并非作来回振动,而是作单向的旋转而是作单向的旋转;f=1.47,单摆出现单摆出现4倍的周期倍的周期,作单向旋转作单向旋转;f=1.50, 又出现貌似无规则的运动又出现貌似无规则的运动,但比但比 f=1.15,时更为混乱时更为混乱.由此可见由此可见,在受迫阻尼振动中在受迫阻尼振动中,单摆的运动反映出如下特征单摆的运动反映出如下特征:描述运动特征的动力学方程是非线性的描述运动特征的动力学方程是非线性的;         这些非线性方程是确定性的这些非线性方程是确定性的,不包含任何随时间变化的不包含任何随时间变化的 随随机项机项;在某些情况下在某些情况下,单摆出现了貌似无规则的运动单摆出现了貌似无规则的运动.此时系统对此时系统对初始条件特别敏感初始条件特别敏感,初始条件的微小差异可能导致面目全初始条件的微小差异可能导致面目全非的结果非的结果.这就是单摆的这就是单摆的混沌行为混沌行为.系统出现的一种貌似随机的运动系统出现的一种貌似随机的运动。

混沌混沌:一般无法用解析的方法求解，只能在给定参量和初值条一般无法用解析的方法求解，只能在给定参量和初值条件下用计算机进行数值计算件下用计算机进行数值计算混沌现象具有如下特征混沌现象具有如下特征:对对初值敏感依赖初值敏感依赖——最初的微小差别会随时间逐渐放大最初的微小差别会随时间逐渐放大而导致明显的巨大差别而导致明显的巨大差别运动不可重现运动不可重现,不可预报不可预报;相轨迹显示混沌运动收敛于相轨迹显示混沌运动收敛于“奇怪吸引子奇怪吸引子”;混沌现象混沌现象研究表明，研究表明，混沌仅出现在非线性系统中，是非线性引起混沌仅出现在非线性系统中，是非线性引起的随机性的随机性而自然界中绝大多数实际过程都是非线性而自然界中绝大多数实际过程都是非线性的，的，因此，因此，混沌是一种普遍存在而又极其复杂的现象混沌是一种普遍存在而又极其复杂的现象自自7070年代以来，许多科学家都在各自的领域内发现了混年代以来，许多科学家都在各自的领域内发现了混沌现象，沌现象，如如湍流、非线性振荡电路、激光运行系统、超湍流、非线性振荡电路、激光运行系统、超导中的约瑟夫逊结系统等都存在混沌现象导中的约瑟夫逊结系统等都存在混沌现象。

混沌不仅是数理学科的理论混沌不仅是数理学科的理论,而是遍布各个领域而是遍布各个领域.如化学反如化学反应中的混沌行为、股票市场的混沌现象、生态学中的应中的混沌行为、股票市场的混沌现象、生态学中的“虫虫口模型口模型” 等等．等等．比如天气预报中存在混沌现象，虽然不能准确预报几年后的比如天气预报中存在混沌现象，虽然不能准确预报几年后的天气情况，但可以很好地预报明后几天的天气情况；天气情况，但可以很好地预报明后几天的天气情况；这说明，这说明，混沌现象的内在随机性与随机系统中的随机性有着混沌现象的内在随机性与随机系统中的随机性有着本质区别本质区别总之，总之，混沌的随机性是一种混沌的随机性是一种内在的随机性内在的随机性，，它将使我们永远它将使我们永远不能对系统的长期行为进行准确的预报和预测不能对系统的长期行为进行准确的预报和预测混沌并不是完全无序，而是混沌并不是完全无序，而是无序中隐含着有序无序中隐含着有序；； 条件条件§8.4 波动方程波动方程一、一、 机械机械波的产生波的产生 二二、、横波和纵波横波和纵波介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如柔绳上传播的波。

如柔绳上传播的波介质质点的介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；振动方向和波传播方向相互平行的波；如空气中传播的声波如空气中传播的声波波源：作机械振动的物体波源：作机械振动的物体｛横波：横波：纵波：纵波：机械波机械波: :机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波传播出去，就形成机械波弹性介质：承担传播振动的物质弹性介质：承担传播振动的物质波的传播方向波的传播方向特点：具有波峰和波谷特点：具有波峰和波谷横波横波质点的振动方向质点的振动方向纵波纵波波的传播方向波的传播方向质点振动方向质点振动方向特点：具有疏密相间的区域特点：具有疏密相间的区域下面以横波为例观察波的形成过程下面以横波为例观察波的形成过程静止静止 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13振动状态振动状态传至传至4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13振动状态振动状态传至传至7 7振动状态振动状态传至传至10 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13振动状态振动状态 传至传至1313 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13结论结论(1) (1) 波动中各质点并不随波前进；波动中各质点并不随波前进；(2) (2) 各个质点的相位依次落后各个质点的相位依次落后, ,波动是相位的传播；波动是相位的传播；(3) (3) 波动曲线与振动曲线不同。

波动曲线与振动曲线不同波面和波线波面和波线在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面点联结成的面波面波面: :沿波的传播方向作的沿波的传播方向作的有方向的线有方向的线柱面波柱面波在各向同性均匀介质中，波线在各向同性均匀介质中，波线⊥⊥波面波线波线: :波前波前: : 在某一时刻，波传播在某一时刻，波传播到的最前面的波面到的最前面的波面注意注意xyz波面波面波线波线球面波球面波波面波面波线波线波面波面波线波线平面波平面波同一波线上相邻两个相位差为同一波线上相邻两个相位差为 2 2  的质点的质点之间之间的距离的距离；即；即波源作一次完全振动，波前进的距离波源作一次完全振动，波前进的距离波长反映了波的波长反映了波的空间周期性空间周期性三、三、波长波长 周期周期 频率和波速频率和波速波前进一个波长距离所需的时间周期表征了波前进一个波长距离所需的时间周期表征了波的时间周期性波的时间周期性单位时间内，波前进距离中完整波的数目频率单位时间内，波前进距离中完整波的数目频率与周期的关系为与周期的关系为振动状态在介质中的传播速度。

波速与波长、周振动状态在介质中的传播速度波速与波长、周期和频率的关系为期和频率的关系为(1) 波的周期和频率与介质的性质无关；一般情况下，与波的周期和频率与介质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同波源振动的周期和频率相同 纵波的波速为：纵波的波速为：(2) 波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度； 其大其大小主要决定于介质的性质，与波源及波的频率无关小主要决定于介质的性质，与波源及波的频率无关说明说明— — 固体棒的杨氏模量固体棒的杨氏模量— — 固体棒的密度固体棒的密度固体既可以传播纵波也可以传播横波固体既可以传播纵波也可以传播横波液体和气体只能传播液体和气体只能传播纵波纵波，其，其波速波速由下式给出由下式给出固体媒质中传播的固体媒质中传播的横波速率横波速率由下式给出：由下式给出：—— 固体的切变弹性模量固体的切变弹性模量—— 固体密度固体密度—— 流体的容变弹性模量流体的容变弹性模量—— 流体的密度流体的密度稀薄大气中的稀薄大气中的纵波波速纵波波速为为—— 气体摩尔热容比气体摩尔热容比—— 气体摩尔质量气体摩尔质量—— 气体摩尔常数气体摩尔常数三、简谐波的波动方程三、简谐波的波动方程波面为平面的简谐波波面为平面的简谐波介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。

点作同频率的谐振动本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同性、均匀无限大介质中传播的平面简谐波各向同性、均匀无限大介质中传播的平面简谐波平面简谐波平面简谐波平面简谐波平面简谐波说明说明简谐波是一种最简单、最基本简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础是研究更复杂波的基础简谐波简谐波:yxxP PO O简谐振动简谐振动从时间看从时间看, , P 点点 t 时刻的位移是时刻的位移是O 点点简谐振动简谐振动平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数时刻的位移时刻的位移; ;从相位看，从相位看，P 点处质点振动相位较点处质点振动相位较O 点处质点相位落后点处质点相位落后 若若P P 为任意点为任意点其它形式其它形式由波函数可知波的传播过程中任意两质点由波函数可知波的传播过程中任意两质点 x1 和和 x2 振动的相振动的相位差为位差为 x2>x1, Δ<0，说明，说明 x2  处质点振动的相位总落后于处质点振动的相位总落后于x1 处质点的处质点的振动；振动；讨论讨论u 实际上是振动相位的传播速度。

实际上是振动相位的传播速度t1 时刻时刻x1 处的振动状态经处的振动状态经Δt 时间传播到时间传播到x1+Δx 处，则处，则可得到可得到若波沿轴负向传播时，同样可得到波动方程若波沿轴负向传播时，同样可得到波动方程: :其其 它它 形形 式式如图，如图，在下列情况下试求波动方程：在下列情况下试求波动方程：(3) 若若 u 沿沿 x  轴负向，以上两种情况又如何？轴负向，以上两种情况又如何？例例 (1) 以以 A 为原点；为原点；(2)  以以 B 为原点；为原点；BA已知已知A 点的振动方程为：点的振动方程为：  •(1)在在 x 轴上任取一点轴上任取一点P ，，A点点            振动方程为：振动方程为：波函数为：波函数为：解解P BA   (2) B 点振动方程为：点振动方程为：(3) 以以 A 为原点：为原点：以以 B 为原点：为原点：波动方程波动方程:表示在表示在t1 时刻的波形时刻的波形ytot 与与 x 都发生变化都发生变化yxo表示表示x1处质点的振动方程处质点的振动方程波动方程的物理意义波动方程的物理意义x=x1（常数）（常数）t=t1（常数）（常数）表示介质中任何质点在任意时刻的位移表示介质中任何质点在任意时刻的位移已知已知t1时刻的波形图（紫色），要确定时刻的波形图（紫色），要确定t=t1+Δt时刻的波形图，时刻的波形图，只须将其沿波的传播方向平移只须将其沿波的传播方向平移uΔt的距离即可（红色）的距离即可（红色）oytt=t1时时t=t1+Δt时时y可以证明三维的波动方程为：可以证明三维的波动方程为：其中其中ξ为质点的位移为质点的位移从上两式可得波动方程：从上两式可得波动方程：波动方程的一般形式波动方程的一般形式y(m)ox(m)波速波速 u =400m/s, t = 0 s时刻的波形如图所示。

写出波动方程时刻的波形如图所示写出波动方程4p2设波动方程为设波动方程为t = 0 s时刻时刻yo=2m，，vo＞＞0，所以，所以O点处的质点的位移及速度点处的质点的位移及速度例例解解同理，对于同理，对于P点有点有t = 0 s时刻时刻yP=0，，vP＜＜0，所以，所以波动方程为波动方程为y(m)ox(m)4p2沿沿x轴负向传播的平面简谐波在轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图，设波速时的波形曲线如图，设波速u=0.5m/s求原点求原点0的振动表达式的振动表达式x0y0.5-112t=2st=0由图知由图知t=0原点原点0:例例解解一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为轴正方向传播，已知其波函数为(1) a. 比较法比较法(与标准形式比较）与标准形式比较）标准形式标准形式波函数为波函数为比较可得比较可得例例解解求求 (1) 波的振幅、波长、周期及波速；波的振幅、波长、周期及波速； (2) 质点振动的最大速度质点振动的最大速度振幅振幅波长波长周期周期波速波速(2)b.b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）分析法（由各量物理意义，分析相位关系）§§8.5  波的干涉和衍射波的干涉和衍射一一、、惠更斯原理惠更斯原理R1R2S1S2O惠更斯提出：惠更斯提出： 波前上任意一点都波前上任意一点都 可看作是新的可看作是新的子波源子波源；所有子波源各自向外发出；所有子波源各自向外发出许多子波；各个子波所形成的包络许多子波；各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传面，就是原波面在一定时间内所传播到的播到的新波面新波面。

已知某一时刻波已知某一时刻波前，可用几何方前，可用几何方法决定下一时刻法决定下一时刻波前；波前；      惠惠更更斯斯原原理理解解释释衍衍射射现现象象二二、、叠加原理叠加原理波传播的独立性波传播的独立性叠加原理叠加原理当几列波当几列波在在传播过程中在某一区域相遇后再行分开，各波传播过程中在某一区域相遇后再行分开，各波的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、波长、的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、波长、振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进  在波相遇区域内，任一质点在波相遇区域内，任一质点的振动，为各波单独存在时的振动，为各波单独存在时所引起的振动的合振动所引起的振动的合振动v1v2注意注意波的叠加原理仅适用于线性波的问题波的叠加原理仅适用于线性波的问题 根据叠加原理可知，根据叠加原理可知，P 点处振动方程为点处振动方程为S1S2合振动的振幅合振动的振幅PPP 点处波的强度点处波的强度三三、、波的干涉波的干涉相干条件相干条件: :频率相同、振动方向相同、相位差恒定频率相同、振动方向相同、相位差恒定相位差相位差当当干涉相长干涉相长当当干涉相消干涉相消 空间点振动的情况分析空间点振动的情况分析讨论讨论干涉相长干涉相长若若若若干涉相消干涉相消干涉相长干涉相长干涉相消干涉相消从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区，合从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区，合成波在空间各处的强度成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和并不等于两个分波强度之和，而是发，而是发生重新分布。

这种新的强度分布是时间上稳定的、空间上强生重新分布这种新的强度分布是时间上稳定的、空间上强弱相间具有周期性的一种分布弱相间具有周期性的一种分布A、、B 为两相干波源，距离为为两相干波源，距离为 30 m ，，振幅振幅相同，相同，   相同，相同，初相差为初相差为    , ,u = 400 m/s, ,　　f =100 Hz 例例A、、B 连线上因干涉而静止的各点位置连线上因干涉而静止的各点位置求求解解BAP30m（（P 在在A 左侧）左侧）（（P 在在B 右侧）右侧）( (即在两侧干涉相长，不会出现静止点即在两侧干涉相长，不会出现静止点) )r1r2P 在在A、、B 中间中间干涉相消干涉相消( (在在 A，，B 之间距离之间距离A 点为点为 r1 =1,3,5,…,29 m 处出现静止点处出现静止点) )§§8.5  声波声波 超声波超声波一、声波一、声波声波是机械波的一种声波是机械波的一种在弹性介质中传播的纵波，其频率约在弹性介质中传播的纵波，其频率约在在20到到20000Hz范围内，能引起人的听觉，这种波叫作范围内，能引起人的听觉，这种波叫作声波声波。

频率低于频率低于20Hz的叫的叫次声波次声波，高于，高于20000Hz的叫的叫超声波超声波超超声波具有波动的一般特性，也能产生反射、折射、干涉和衍声波具有波动的一般特性，也能产生反射、折射、干涉和衍射等现象射等现象气体中的声速气体中的声速为气体定压摩尔热容与定容摩尔热容之比为气体定压摩尔热容与定容摩尔热容之比，，P P为气体的压强为气体的压强, ,为气体的密度为气体的密度如在标准状态下，空气中的声速为如在标准状态下，空气中的声速为例例 试求摩尔质量为试求摩尔质量为m、温度为、温度为T 的理想气体中的声速的理想气体中的声速解解可见在同一温度下，声波在液体和固体中的传播速度要比可见在同一温度下，声波在液体和固体中的传播速度要比在气体中大得多在气体中大得多声压声压介质中有声波传播时的压强与无声波时的静压强之间有一介质中有声波传播时的压强与无声波时的静压强之间有一差值，差值，这一压强差称为这一压强差称为声压声压声压的成因很明显，由于声压的成因很明显，由于声波是疏密波，在声波是疏密波，在稀疏区域稀疏区域，实，实际压强小于原来静压强，在际压强小于原来静压强，在稠密区域稠密区域，实际压强大于原来，实际压强大于原来静压强。

静压强显然，由于介质中各点声振动作周期性变化，显然，由于介质中各点声振动作周期性变化，声压也在作声压也在作周期性变化周期性变化前者声压为负值，后者声压为正值前者声压为负值，后者声压为正值对平面简谐波来说，可以证明声压振幅为对平面简谐波来说，可以证明声压振幅为声强声强 声强级声强级单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声波能量，单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声波能量，叫叫声波的能流密度声波的能流密度或或声强声强可以证明，声强公式为可以证明，声强公式为超声波超声波的频率高，因而它的声强就很大的频率高，因而它的声强就很大爆炸声爆炸声、、炮声炮声等声波由于振幅大、声强也可以很大等声波由于振幅大、声强也可以很大即声强与频率的平方、振幅的平方成正比，其即声强与频率的平方、振幅的平方成正比，其单位是单位是 能够引起人听觉的声强范围大约为能够引起人听觉的声强范围大约为10-12W·m-2～～1W·m-2此范围很大此范围很大通常规定声强通常规定声强I I0 0＝＝10-12W·m-2( (即相当于频率为即相当于频率为1000Hz1000Hz的声的声波能够引起听觉的最弱的声强波能够引起听觉的最弱的声强) )为测定声强的标准。

为测定声强的标准如果如果某某一声波的声强为一声波的声强为I，则比值，则比值I/I0的对数，叫作的对数，叫作相应于声强相应于声强I 的的声强级声强级L 声强级声强级 L L的单位为贝耳的单位为贝耳(B)(B)B B这一单位太大，实际应用时通常采用这一单位太大，实际应用时通常采用贝耳的贝耳的1/101/10，即，即分贝分贝(dB)(dB)为单位，为单位，在声学中常用声强级来描述声波在介质中各点的强弱在声学中常用声强级来描述声波在介质中各点的强弱声声  源源声强（声强（W.m-2））声强级声强级/dB响度响度引起痛觉的声音引起痛觉的声音1120 　震耳震耳钻岩机或铆钉机钻岩机或铆钉机10-2 　100 　震耳震耳交通繁忙的街道交通繁忙的街道10-570响响通常的谈话通常的谈话10-660正常正常耳语耳语10-1020轻轻树叶沙沙声树叶沙沙声10-1110极轻极轻引起听觉的最弱引起听觉的最弱声音声音10-120 　一些常遇到的声音的声强一些常遇到的声音的声强 声强级和响度声强级和响度二、二、超声波超声波一般在气体中使用的超声波频率可达一般在气体中使用的超声波频率可达106Hz，在固体和液体，在固体和液体中使用的超声波频率可达中使用的超声波频率可达109Hz，，利用共振现象可以增大其利用共振现象可以增大其振幅，得到很强的功率。

振幅，得到很强的功率超声波的超声波的波长很短，一般为波长很短，一般为10-6～～10-4m. .波长越短，衍射现波长越短，衍射现象越不显著，所以超声波易于定向；它在反射、折射及聚焦象越不显著，所以超声波易于定向；它在反射、折射及聚焦等方面与光波相似，从而可以得到等方面与光波相似，从而可以得到高能量、方向性良好的超高能量、方向性良好的超声波束在空气中超声波阻尼很大，但在液体、固体中阻尼很小在空气中超声波阻尼很大，但在液体、固体中阻尼很小特特别在导体性溶液别在导体性溶液(如海水如海水)中，这些特性，在实践中得到广泛中，这些特性，在实践中得到广泛应用超声检测技术超声检测技术利用超声波的利用超声波的定向发射定向发射性质性质, ,可以探测水中的物体可以探测水中的物体, ,如探测如探测鱼群、潜艇等鱼群、潜艇等, ,也可以测量海水的深度也可以测量海水的深度, ,研究海底的地形起研究海底的地形起伏伏, ,发现海礁和浅滩发现海礁和浅滩. .在工业上在工业上, ,超声波可以探测工件内部的缺陷超声波可以探测工件内部的缺陷( (如气泡、裂缝、如气泡、裂缝、砂眼等砂眼等) )超声波与捕鱼超声波与捕鱼如试验研究发现，鱼在觅食时可发出一定的特征声谱。

如试验研究发现，鱼在觅食时可发出一定的特征声谱当当人工模仿或直接播放鱼在觅食时发出的特征声谱时，即使人工模仿或直接播放鱼在觅食时发出的特征声谱时，即使不投放诱饵也可引诱大量的鱼群，大大有利于捕捞不投放诱饵也可引诱大量的鱼群，大大有利于捕捞超声波在食品加工及医学上的应用超声波在食品加工及医学上的应用由于超声波的破坏作用，能由于超声波的破坏作用，能使微生物和病毒死亡使微生物和病毒死亡因此，在因此，在制备水果罐头制备水果罐头牛奶、饮水、血清、培养苗、疫苗牛奶、饮水、血清、培养苗、疫苗等时，均可等时，均可使用超声波消毒使用超声波消毒利用超声波的乳化、凝结和扩散作用可以将某些不溶于水的利用超声波的乳化、凝结和扩散作用可以将某些不溶于水的药物制成水溶液或针剂药物制成水溶液或针剂超声波扫描仪用于动物疾病的诊断，超声波扫描仪用于动物疾病的诊断，以及利用超声波的热效以及利用超声波的热效应治疗动物的一些疾病等应治疗动物的一些疾病等超声波超声波对肌肉的对肌肉的温热作用温热作用可解除张力，发生普遍的充血现可解除张力，发生普遍的充血现象，软化疤痕及改善循环等效果象，软化疤痕及改善循环等效果超声波对植物的作用超声波对植物的作用用一定的强度和频率的超声波处理大麦，结果发现其发芽用一定的强度和频率的超声波处理大麦，结果发现其发芽的平均时间缩短，萌发的机能也增长了。

的平均时间缩短，萌发的机能也增长了用超声波处理种在某种程度上加快了种子的萌发，并且可用超声波处理种在某种程度上加快了种子的萌发，并且可以打破有些种子的休眠期，以打破有些种子的休眠期，在中草药种植方面效果尤为显著在中草药种植方面效果尤为显著这是因为种子由于超声这是因为种子由于超声波能量的影响，从而加强了种子细胞中的氧化过程波能量的影响，从而加强了种子细胞中的氧化过程。