五年级立体几何拓展----三视图专属奥数讲义.doc

学科教师讲义班级： 年 级： 五年级科目：小学思维学科教师： 上课时间授课主题立体几何拓展----三视图知识图谱错题回顾三视图知识精讲一．三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积．二．正方体的展开图上后前右左下展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等．我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11种展开图．三．长方体的展开图高长宽长右面左面后面下面前面上面观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即上面=下面=长×宽，左面=右面=宽×高，前面=后面=长×高．四．判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法．判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断．三点剖析重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积．题模精选题模一：展开图与对立面例1.1.1一个正方体的六个面上分别写着A，B，C，D，E，F六个字母．请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是______________，______________，______________BFAEBCFED【答案】B与D相对，E与A相对，C与F相对【解析】由于正方体的6个面上写了6个不同的字母，那么每个字母在正方体的面上只能出现1次，如果2个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对．第一步，先看前2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母B出现了2次，那么由第一种摆放可知，B不与A相对，也不与F相对；由第二种摆放可知，B不与C相对，也不与E相对．那么在所有的字母中，B只能与D相对．第二步，再看后2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母E出现了2次，那么由第二种摆放可知，E不与B相对，也不与C相对；由第三种摆放可知，E不与D相对，也不与F相对．那么在所有的字母中，E只能与A相对．正方体有三个对面，因B与D相对，E与A相对，那么第三组对面上一定是C与F相对．例1.1.2图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A、B、C的对面分别标的是哪个字母？ABCDCCEAEFD【答案】A的对面标有D，B的对面标有F，C的对面标有E【解析】由已知条件，标有C，D的两个面不能相对，那么或A的对面标有D，或B的对面标有D．如果标有D，A的两个面相对，那么“标有C，D的两个面不能相对”，“标有E，A的两个面也不能相对”这两个条件都可以满足．注意到当D在朝右的面，E在朝上的面时，F在朝前的面上，那么只能是标有E，C的两个面相对，而标有F，B的两个面相对．经检验，这种情况满足题目要求．如果标有D，B的两个面相对，那么由于标有E，A的两个面也不能相对，于是标有A的对面就是标有F的面，而标有C的对面就是标有E的面．此时D在朝后的面上，E在朝左的面上，F在朝下的面上．我们把六面体旋转，把D转到朝右的面，并把E转到朝上的面，此时朝前的面上标的是A，而朝后的面上标的是F，与题意不符．综上所述，满足题意的答案只有一个：A的对面标有D，B的对面标有F，C的对面标有E．例1.1.3如图，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDEF六个字母．其中A与D相对，B与E相对，C与F相对．现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母？【答案】字母A【解析】发现木块向左滚4格后，各个面上标的字母与初始时的情况完全一致．那么木块朝其它方向滚时也有类似的情况，即木块向任意方向连滚4格，它的各个面上标的字母不变．所以木块向左滚4格到第5格时，各个面上标的字母与在第1格时的情况完全一致．再向下滚4格到第9格，再向右滚4格到第13格，再向下滚4格到第17格，最后向左滚4格到第21格，每次都是朝同一方向滚4格，因此在第5格，第9格，第13格，第17格，第21格木块向上的面上总是写的字母A．例1.1.4如图，在一个正方体的表面上写着1~6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示．如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）？1ABC2D312【答案】A【解析】对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面．图11ABC2D图21ABC2D1与C相对，C面上写的是4如图1，观察虚线圈住的部分，可以发现写有1，A，B的三个面两两相邻；再观察图2的虚线圈住的部分，发现写有A，B，C的三个面也两两相邻．此时，写有1的面与A面，B面都相邻，C面也与A面，B面都相邻，因此写有1的面与C面相对，即C面上写的是4．图31AB42D2与B相对，B面上写的是5图41A542D观察图3中的虚线圈住的部分，容易看出写有2的面与B面相对，因此B面上写的是5．则立方体展开图就如图4所示．还剩下A面与D面上的数字没有确定，这两个面上分别写有3和6．由于写有1的面，写有5的面与A面两两相邻，把这三个面还原到立方体中．在图2所示的立方体中，5与2相对，在立方体朝左的侧面上；1在朝前的侧面上．在展开图中以写有1的面为朝前的侧面，A面为下底面，则写有5的面恰好在朝左的侧面上．此时写有1的面，写有5的面都对齐了，而原立方体中下底面写有数字6，因此A面上就是6．例1.1.5下图是正方体，四边形APQC是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来．BPEADCBGHQFAEDCBHGF【答案】见解析【解析】截线在展开图中如图所示：例1.1.6右图是一个立体图形的平面展开图，图中的每个小方格都是边长为1的正方形．现在将其沿实线折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于_________．A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】根据实线还原，体积为4．题模二：三视图求表面积例1.2.1下图是由5个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是（ ）．A．A图B．B图C．C图D．D图【答案】C【解析】5个在原图均已看到，易知C符合要求．例1.2.2右图是由18个棱长为1的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是（ ）平方厘米．A．44B．46C．48D．50【答案】C【解析】从正面、左面、上面分别可看见8、7、9块，故表面积为．例1.2.3右图中的一些积木是由16块棱长为2的正方体堆成的，它的表面积是________．【答案】200【解析】从前到后的3面依次有2块、5块、7块，因此还剩块，为可看见的1块与其下方的1块．由此易知正视图、俯视图、左视图分别能看到7块、9块、8块，此外离我们最近的2块有两个面从6个方向均无法看到，综上共可看到个面，表面积为．例1.2.4图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？【答案】37；三视图如下图所示；102正视图 俯视图 左视图【解析】将此图分为从左到右的5层，分别有16、9、5、6、1块，故共有块．三视图见答案，分别可看见17、15、16块，其中左视图有3块“被遮挡”，因此表面积为．例1.2.5图中的立体图形由11个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为_______．【答案】34【解析】按一定的顺序，从不同的角度来看这个立体图形的表面的面积．题模三：已知三视图反推个数例1.3.1这个图形最少是由（ ）个正方体整齐堆放而成的．A．12B．13C．14D．15【答案】B【解析】从上面看下去，最少需要：．1412212例1.3.2此图是某几何体从正面和左面看到的图形．若该几何体是由若干个棱长为1的正方体垒成的，则这个几何体的体积最小是________．从正面看从左面看【答案】6【解析】根据正视图，理论上最少需要6块．而6块可以构造出来，例如，其俯视图如下图所示．因此，体积最小为．例1.3.3一个立体图形，从前面，上面，右边三个方向看到的图形都如图所示，是一个样的，那么该立体图形最多由__________块小立方体组成．【答案】23【解析】按由上到下逐层分析，各层的小立方体数目分别不超过1个、4个、8个、10个，所以该立体图形最多由23个小立方体组成．例1.3.4有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，从上往下看是图3-1，从前往后看是图3-2，从左往右看是图3-3，那么这堆木块最多有多少块？最少有多少块？【答案】16，13【解析】块，块．这堆木块最多有16块，最少有13块．例1.3.5地上有一堆小立方体，从上面看时如图1所示，从前面看时如图2所示，从左边看时如图3所示．这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？图1图2图3【答案】10个；42平方厘米【解析】采用在俯视图上标数的方法来求解，只要知道俯视图上的每格有几块小立方体，就可以很轻松的得到这堆立方体所形成的立体图形的样子．首先从俯视图很容易看出，有3个格子里是没有小立方体的，而其他6个格子里至少有一个小立方体．如下图，将所得信息填入俯视图中．000结合俯视图和主视图，不难看出，有两格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．从前面看10001同样的，结合俯视图和左视图，又可以知道有一格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．从左边看10001我们来继续考虑，左视图中最左边一排有2块小立方体，所以俯视图左上角处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．210001同理，主视图最右边一排有2块小立方体，所以俯视图最右边中间处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．21002011不难看出，俯视图中最后剩下的那块有3个小立方体，所以俯视图中每格的小立方体数如下：2103。