天一专升本高数知识点.doc

第一讲函数、极限、连续1、 基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息2、 函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：f( X) f(X)，图像关于原点对称偶函数：f( X) f (x)，图像关于y轴对称3、 无穷小量、无穷大量、阶的比较设a, B是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则a -(1)若 lim — 0,则a是比B高阶的无穷小量a(2)若 lim c(不为0),则a与B是同阶无穷小量特别地，若lim1，则a与B是等价无穷小量a(3)右 lim，则a与B是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于4、两个重要极限0的速度快，谁就趋向于 0的本领高1)sinx lim — x 0 xlim」x1°sin x(2)使用方法:拼凑0，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致lim 1Xlim(1x 01x)x使用方法后面定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑XXEQmmH X,nn%-booPn x的最高次幕是n,Qm x的最高次幕是 m.,只比较最高次幕，谁的次幕高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快n m,以相同的比例趋向于无穷大； n m，分母以更快的速度趋向于无穷大； n m，分子以更快的速度趋向于无穷大。

7、左右极限左极限：lim f (x) AX x0右极限：lim f(x) Ax X0注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解8连续、间断连续的定义:lim yx 0lim f (x0x 0x) f(X)或 xif f(X0)间断：使得连续定义lim f (x) f (x0)无法成立的三种情况x x0记忆方法：1右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等9、间断点类型(1 )、第二类间断点：lim f (x)、lim f(x)至少有一个不存在X § X x0(2)、第一类间断点：lim f (x)、lim f(x)都存在XX) x X0注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点” ，左右只要有一个不存在，就是"第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质(1) 最值定理：如果 f(x)在a,b上连续，则f (x)在a,b上必有最大值最小值2)零点定理：如果f (x)在 a,b 上连续，且 f (a) f (b) 0，则 f (x)在 a,b内至少存在一点，使得f ()第三讲 中值定理及导数的应用1、罗尔定理如果函数y f(x则在(a,b)内至少存在记忆方法：脑海里记着2、拉格朗日定理满足:使得f ( ) 0占八、、(1).在闭区间 a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)f (a)f(b)，如果y f(x) 满足(1)在闭区间(2)在开区间则在(a,b)内至少存在一点脑海里记着一幅图:a, b上连续，使得(*)推论1 :如果函f (x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f (x)0，那么在(a, b)内 f (x)=c 恒为常数。

记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0a,b),(*)推论2 :如果 f (x),g(x) 在a, b上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 f (x) g(x),x那么 f(x) g(x) c记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等3、驻点满足f(X) 0的点，称为函数f(X)的驻点几何意义：切线斜率为 0的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设f(X)在点X0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点 f ( x)的极大值，Xo称为极大值点X,有 f(X) f (Xo)， 则称 f (Xo) 为函数X,有f (X) f (Xo)，则称f (Xo)为函数f ( X)的极小值，Xo称为极小值点设f (x)在点Xo的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值5、 拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点注y X3在原点即 1是拐点 /6、 单调性的判定定理设f (x)在(a,b)内可导，如果f (x) o，则f(X)在(a,b)内单调增加;如果f (x) o,则f (x)在(a,b)内单调减少记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加， f (x) o ；在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少， f (x) o ；7、取得极值的必要条件可导函数f(x)在点Xo处取得极值的必要条件是 f(X。

) o8取得极值的充分条件第一充分条件：设f (x)在点xo的某空心邻域内可导，且 f (x)在xo处连续，则(1)如果XXo时，f (X)o； xXo时，f (X)o,那么f (x)在Xo处取得极大值f (Xo)；(2)如果XXo时，f (X)o ； xX时,f (X)o，那么f (x)在Xo处取得极小值f(Xo)；(3)如果在点Xo的两侧，f(x)同号,那么f ( X)在Xo处没有取得极值；记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值第二充分条件： 1设函数f (x)在点Xo的某邻域内具有一阶、二阶导数，且 f (xo) o， f (xo) o则 (1)如果f (xo) o，那么f (x)在xo处取得极大值f (xo)；(2)如果f (Xo) o,那么f (x)在Xo处取得极小值f (Xo)9、凹凸性的判定设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，(1)如果f (x) 0,x (a,b)，那么曲线f(x)在(a,b)内凹的;(2)如果 f (x) 0, x (a,b)，那么 f (x)在(a,b)内凸的10、图像表现：渐近线的概念*曲线f(x)在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。

1) 水平渐近线：若lim f (x) A,则y f (x)有水平渐近线y A(2) 垂直渐近线：若存在点 x0, lim f(x) ，则y f (x)有垂直渐近线x x0xf (x)(2) 求斜渐近线：若lim a,lim f (x) ax b，则y ax b为其斜渐近线x x x11、 洛必达法则遇到“ 0” 、“一”，就分子分母分别求导，直至求出极限0\17moh\17X/.Vffxo如果遇到幕指函数,需用f(x)八把函数变成“0”、“第二讲导数与微分1、导数的定义("、f(X)limx 0y lim f (x0 x)x 0f (x0) 0注：使用时务必保证 Xo后面和分母保持一致，不一致就拼凑2、 导数几何意义：f(Xo)在x Xo处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与 f (x0)乘积为一13、 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆4、 求导方法总结(1 )、导数的四则运算法则(2 )、复合函数求导：y f x是由y f (u)与u (x)复合而成，贝y(3 )、隐函数求导对于F(x, y) 0，遇到y,把y当成中间变量u,然后利用复合函数求导方法4)、参数方程求导设 ()确定一可导函数 ydyf (x)，则或dt(t)y (t)dxdx(t)dt(5)、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导(6 )、幕指函数求导v(x) InaIn u(x)v(x)y e幕指函数y u(x)，利用公式a ev(x) In u (x)e 然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。

第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 注：优选选择第二种方法5、高阶导数对函数f(X)多次求导，直至求出6、微分记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加 dx，不需要单独记忆7、可微、可导、连续之间的关系 可微 可导可导 连续，但连续不一定可导8 可导与连续的区别脑海里记忆两幅图(2)y x在x=o只连续但不可导第四讲 不定积分(1)2y x在x=o既连续又可导所以可导比连续的要求更高一、原函数与不定积分1、原函数：若F (x) f (x)，则F(x)为f (x)的一个原函数;2、不定积分：f (x)的所有原函数F(x)+c叫做f(x)的不定积分，记作 f (x)dx F(x) C二、 不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、 不定积分的重要性质1、 f (x)dx f (x)或d f (x)dx f (x)dx2、 f (x)dx f (x) c注：求导与求不定积分互为逆运算四、 积分方法1、 基本积分公式2、 第一换元积分法(凑微分法)把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆3、 第二换元积分法2 a2x令xa si ntf 2三角代换 .x2 a令xa sect1 2x2 a令xata nt三角代换主要使用两个三角公式：sin2t cos2t 1, 1 tan2t sec t4、分部积分法udvuvvdu第五讲定积分1、定积分定义bf(x)dxanlimx 0 i 1f( i)Xi如果f(x)在a,b上连续，则f (x)在a, b上一定可积。

理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为 面积是常数，所以定积分如果可积也是常数2、定积分的几何意义(I) 如果f (x)在a,b上连续，且f(x)f (x)dx表示由f (x), x a,x b,x轴所围成的b曲边梯形的面积s= f (x)dx2) 如果f (x)在a, b上连续，且f(x)S=f (x)dx3、定积分的性质：b b(i)akf (x)dx k a f (x)dxbag(x)dxb ba f (x) g(x)dx= a f(x)dx(3)ba f(x)dxc ba f (x)dx c g(x)dx(4)b1dx ba(5)如果f (x)aa a f (x)dx 0bg(x)，则 f (x)dxaab f(x)dxbag(x)dxba f (x)dx大长方形面积如果f (x)在a,b上连续，则至少存在一点ba,b，使得 a f(x)dx f ( )(b a)(6)设m,M分别是 f(x) 在 a,b 的 min, ma。