第一篇静力学第三章平面任意力系x.ppt

第三章 平面任意力系,第一节 力的平移定理,第一节 力的平移定理,设在刚体上的A点作用一力F，现将其等效地平移到刚体上的任一点O 设附加力偶的臂为d，则有：,,力的平移定理：作用在刚体上的力，可以等效地平移到刚体上任一指定点，但必须在该力与指定点所确定的平面内附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的矩考虑上述力的平移定理的逆过程，可见：共面的一个力和一个力偶也可以合成为一个力，此力的大小和方向与原力相同，但它们的作用线却要相距一定的距离第一节 力的平移定理,,工程上有时也将力平行移动，以便了解其效应 例如，作用于立柱上A点的偏心力F，可平移至立柱轴线上成为F′，并附加一力偶矩为M=Mo(F)的力偶，这样并不改变力F的总效应，但却容易看出，轴向力F′将使立柱压缩，而力偶矩M将使短柱弯曲图3-2 立柱,第一节 力的平移定理,,注意：一般说来，在研究变形问题时，力是不能 移动的 思考：图3-3所示的梁A端受一力Ｆ，如将Ｆ平行移动至O点成为F′并附加一力偶矩M，其变形效果将如何？,图3-3 悬臂梁,第一节 力的平移定理,第二节 平面任意力系的简化,第二节 平面任意力系的简化,各力作用线位于同一平面内但不全汇交于一点、也不全相互平行，则该力系称为平面任意力系，简称平面力系。

例如，厂房建筑中常采用刚架结构，取其中一个刚架来考察,如图a所示，作用于其上的力可简化为图b所示的平面力系如水利工程上常见的重力坝，如图a所示在对其进行力学分析时，往往取单位长度（如１ｍ）的坝段来考察，而将坝段所受的力简化成为作用于坝段中央平面内的平面力系，如图b所示第二节 平面任意力系的简化,有些空间力系的问题，可近似地简化为平面力系问题来分析计算一、平面任意力系的简化,设有平面任意力系F1、F2、…、Fn，各力分别作用于A1、A2、……、An各点在力系所在平面内任取一点O作为简化中心第二节 平面任意力系的简化,亦即,（3-3）,（3-4）,第二节 平面任意力系的简化,即:,矢量 称为原力系的主矢量，力偶 称为原力系对于简化中心Ｏ的主矩如果选取不同的简化中心，主矢量并不改变，即与简化中心的位置无关但主矩一般将随简化中心位置不同而改变可见，平面任意力系向所在平面内一点（简化中心）简化的一般结果是一个力和一个力偶，这个力作用于简化中心，等于原力系中所有各力的矢量和，亦即等于原力系的主矢量；这个力偶在原力系所在平面内，其矩等于原力系中所有各力对于简化中心的矩的代数和，亦即等于原力系对于简化中心的主矩。

第二节 平面任意力系的简化,二、平面任意力系简化结果的讨论,1、若FR=0，MO≠0，则原力系简化为一力偶，力偶矩就等于原力系对于简化中心的主矩 2、若FR ≠ 0，MO = 0，则作用于简化中心的力就是原力系的合力FR ，而合力的作用线恰好通过简化中心O 3、若FR ≠ 0， MO≠0 ，可进一步简化为一个作用于另一点A的合力FR ，如图3-8所示第二节 平面任意力系的简化,,,,图3-8,合力作用线与简化中心的距离为：,第二节 平面任意力系的简化,由图3-8可见，合力 对于点O 的矩为：,由式(3-4)有：,,第二节 平面任意力系的简化,平面力系的合力矩定理：若平面任意力系简化成为一个合力，则合力对于该力系平面内任一点的矩等于各分力对于同一点的矩的代数和三、 平面任意力系简化结果的解析计算,过简化中心O作直角坐标系Oxy由于,所以，可得：,（3-7）,第二节 平面任意力系的简化,,（3-8）,主矩，可直接用式（3-4）计算3-4）,第二节 平面任意力系的简化,只要主矢量不等于零，力系总可简化成为一个合力，至于合力作用线的位置，可以直接利用合力矩定理求得第二节 平面任意力系的简化,即：,由合力矩定理，得,（3-9）,图3-10 计算合力作用线的位置,,例 图是某重力坝段中央平面的受力情况，其中F1是上游水压力，F2是泥沙压力，W是坝段所受重力。

已知F1=8000ｋＮ， F2=150ｋＮ， W=14000ｋＮ，试将三力向点简化，并求出简化的最后结果图中长度单位为m解 先求主矢量取坐标如图，则,再求对Ｏ点的主矩：,负号表示的转向是顺时针向，如图所示点的坐标可利用合力矩定理求得,例：某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅直力F1＝1940kN、F2＝800kN，水平力F3＝193kN，桥墩重量W＝5280kN，风力的合力F＝140kN求将该力系向基底中心O简化的结果；若能简化为一合力，试确定合力作用线位置解：,FRx =Fix =－333kN,FRy =Fiy=－8020kN,MO = MiO= 6121kNm, = 87.62º,x=0.763m (x轴的负方向),,第三节 沿直线平行分布力的简化,第三节 沿直线平行分布力的简化,物体所受的力，往往是分布作用于物体体积内（如重力、万有引力等）或物体表面上（如梁上的荷载、坝或闸门上的静水压力等），前者称为体力，后者称为面力体力和面力都是分布力沿直线狭长面积分布的平行力通常可以简化成为沿直线分布的平行力，简称为线分布力或线分布荷载例如：作用于坝上的水荷载和作用于梁上的荷载，均为线分布荷载。

水压力的简化,梁上面力荷载的简化,第三节 沿直线平行分布力的简化,,,,表示力的分布情况的图形称为荷载图某一单位长度上所受的力，称为分布力在该处的荷载集度如果分布力的集度处处相同，则该分布力称为匀布力或匀布荷载；否则，就称为非匀布力或非匀布荷载用q 代表线分布力的集度集度q 定义为某一微小长度△L 上所受的力△Q 与△L 之比当△L→0 时的极限，即,第三节 沿直线平行分布力的简化,线分布力集度的单位是N/m、kN/m 等则，线段AB上所受的分布力的合力Q 的大小为：,= 线段AB上荷载图的面积,,第三节 沿直线平行分布力的简化,设图中的AabB 为直线段AB上的荷载图取直角坐标系Oxy，使y轴平行于分布力命与原点相距x 处的荷载集度为q，则在该处微小长度△x 上的力的大小为△Q=q△x,亦即等于△x上荷载图的面积 △A其次求合力Q 的作用线的位置利用平面力系的合力矩定理，可得,(3-11),第三节 沿直线平行分布力的简化,综上所述，可知同向的线分布力的合力的大小等于荷载图的面积（注意这一面积具有力的单位），合力通过荷载图面积的形心如果荷载图的图形较为复杂：可分成几个简单的图形，分别求每一简单图形所代表的分布力的合力；如果分布力的集度是连续变化的，则可用积分法求其合力。

可见，xC 就是荷载图面积的形心的坐标重力坝断面如图示，坝的上游有泥沙淤积已知水深H=46m，泥沙厚度h=6m，单位体积水重 =9.8kN/m3，泥沙在水中的容重 =8kN/m3又1m长坝段所受重力为W1=4500kN，W2=14000kN试将该坝段所受的力系向O 点简化，并求出简化的最后结果例3-1,第三节 沿直线平行分布力的简化,解：作用于坝上游面的水压力和泥沙压力为平行分布力，上游坝面所受分布荷载的荷载图为两个三角形设水压力合力为P1，则,P1通过该三角形的形心，即与坝底相距 H/3=46/3m例3-1,第三节 沿直线平行分布力的简化,泥沙压力的合力设为 P2，则,P2与坝底相距h/3=2m将P1、P2、W1、W2四个力向O 点简化 求主矢量：,例3-1,第三节 沿直线平行分布力的简化,负号表示主矩MO 的转向与图示转向相反，即应为顺时针向合力作用线与x轴交点A的x坐标值为：,例3-1,第三节 沿直线平行分布力的简化,对O点的主矩：,故原力系有合力,第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程,第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程,如果平面任意力系的主矢量及对任一简化中心的主矩同时等于零，则该力系为平衡力系；反之，若平面任意力系平衡，则其主矢量及对任一简化中心的主矩必须分别等于零。

上述条件用代数方程表示为：,（3-13）,力系中各力在两个直角坐标轴中的每一轴上的投影的代数和都等于零，所有各力对于任一点的矩的代数和等于零第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程,方程（3-13）称为平面任意力系的平衡方程，其中前两个称为投影方程，后一个称为力矩方程方程（3-13）是平面任意力系平衡方程的基本形式，除了这种形式外，同样还可将平衡方程表示为二力矩形式或三力矩形式3-14),(3-15),,,,,二力矩形式的平衡方程，限制条件：点A、B的连线不垂直于x 轴三力矩形式的平衡方程，限制条件：A、B、C 三点不在同一直线上第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程,对于二力矩形式的平衡方程，可推证如下：,设一平面任意力系满足方程∑MiA＝０，则由力偶对于任一点的矩是常量(等于力偶矩)这一性质可知，该力系不可能简化成为一个力偶，而只可能简化成为一个通过A点的力或者平衡如果该力系又满足方程∑MiB＝０，则该力系或者有一沿着AB 作用的合力，或者成平衡如果再满足∑Fix＝０ ，则力系必成平衡因为，该力系如有合力，则前两个方程要求合力沿着AB作用， ∑Fix＝０却要求合力垂直于x轴，但AB不垂直于x轴，所以两个要求不能同时满足，可见原力系不可能有合力，而必然成平衡。

三力矩形式的平衡方程，同学可自己给予证明第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程,,虽然平衡方程可以写成不同的形式，但平面任意力系的独立平衡方程只有三个，而不可能有四个或更多于是可知：对于平面任意力系来说，利用平衡方程，只能求解三个未知数第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程,至于平面平行力系，如取y 轴平行于各力，则在方程（3-13）中，∑Fix≡0，因而平衡方程成为,也可表示为二力矩形式，写成,请考虑：对矩心A、B 的选取有否限制？,第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程,梁的一端为固定端，另一端悬空，如图(3-14ａ)，这样的梁称为悬臂梁设梁上受最大集 度为 的分布荷载，并在 端受一集中力 试求 端的约束力图3-14a 例3-2附图,例3-2,第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程,解：作梁AB的受力图为了下面计算方便，首先将梁上的分布荷载合成为一个合力,由梁的平衡条件得到三个平衡方程：,例3-2,第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程,例3-2,第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程,例题 已知：P，q，a，M=qa求：支座A、B处的约束力.,解：取AB梁，画受力图.,解得:,解得:,已知：P=100kN, M=20kNm, F=4kN, q=20kN/m, l=1m.,求：固定端A处约束力.,解：取T型刚架，画受力图.,其中:,解得:,解得:,解得:,固定端,梁AB支承及荷载如图所示。

已知,求各约束力图中长度单位是m解：考虑梁的平衡，作示力图例3-3,第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程,,首先取Fc和FA的交点D’为矩心，由,可直接求得 FB ，然后由,分别求出FC 与FA ，这样就避免了解联立方程例3-3,第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程,从受力图可以看出，如果首先用投影方程，则不论怎样选取投影轴，每个平衡方程中将至少包含两个未知量将FP与Ｍ之值代入，解得,解得,将FP与FB、FC 之值代入，解得,例3-3,第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程,第五节 静定与超静定问题 物体系统的平衡,第五节 静定与超静定问题 物体系统的平衡,一、静定与超静定问题,对每一类型的力系来说，独立平衡方程的数目是一定的，能求解的未知数的数目也是一定的 如果所考察的问题的未知数目恰好等于独立平衡方程的数目，这类问题称为静定问题； 如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的数目，这类问题称为超静定问题或静不定问题。