连续函数的基本性质.doc

第八节 连续函数的基本性质一． 初等函数的连续性（一）连续函数的运算性质定理１：如果函数、均在点处连续，则（1）在点处连续（为常数）；（2）在点处连续；（3）在点处连续（）；、在区间内连续，、在区间内连续，在处连续（二） 反函数和复合函数的连续性1．定理2：如果函数＝在区间上单值、单调增加（或单调减少）且连续，那末它的反函数也在对应的区间上单值、单调增加（或单调减少）且连续2．定理3：设函数当时的极限存在且等于，即，而函数在点连续，那末复合函数当时的极限存在且等于，即注：（1）将定理５中的条件：换为时相应的结论也成立 （2）如果函数、满足定理５的条件，则有下式成立：即在满足定理５的条件下，求复合函数的极限时，函数符号和极限符号可以交换次序例1：求下列极限（1） （2）（3）定理4：设函数在点连续，且，而函数在点连续，那末复合函数在点也是连续三）. 初等函数的连续性　定理5：基本初等函数在其定义域内都是连续的　推论１：一切初等函数在其定义区间内都是连续的所谓定义区间是指包含在定义域内的区间）例2：求极限二．闭区间上连续函数的性质1．最大值和最小值定理（1）. 最大值和最小值的概念 设函数在区间上有定义，若存在，使得对，都有（或）；则称为函数在区间上的最大值（或最小值）。

2）. 最大值和最小值定理 定理6：在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最小值2．有界性定理 定理7：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界3．介值定理（1） 零点定理（零值定理） 定理8：设函数在闭区间上连续，且；则至少存在一点，使得（即函数在开区间内至少有一个零点） （2）.介值定理 定理9：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值： 及；那末，对于与之间的任意一个数，至少存在一点，使得 推论1：在闭区间上连续的函数必定取得介于最大值与最小值之间的任何值例1：证明方程：在内实根例2：证明方程：有正实根 上一节 返回。