强哥德巴赫猜想的证明.doc

强哥德巴赫猜想的证明（修订稿）西北工业大学信息智能与逻辑研究所 沈卫国哥德巴赫猜想的表述早已为人所知，此处不再重复但哥氏猜想并未就构成任一偶数 的素数对的个数作任何陈述换言之，任一偶数只要有一个素数对，哥氏猜想即成立此 文将证明，满足哥氏猜想的素数对存在下限，并且此下限随偶数 N 的增大而以固定规律（依赖于）增大这是一个比传统哥德巴赫猜想强的命题为区别于传统意义的哥氏N猜想，特称其为“强哥德巴赫猜想” 以下就此问题进行具体的分析 由偶数的定义可知，任一偶数都是一个自然数与 2 的乘积此时该自然数的认为是所 给偶数的“中点” 其中又分为如下几种情况： 1、 那个自然数（中点）是素数，如 7、11、13、19 等； 2、 那个自然数（中点）是非素奇数，也就是包含素数因子的奇数，如 9、15 等； 3、 那个自然数（中点）是包含素数因子的偶数，也就是同时包含偶数因子，如 18、22 等；4、 那个自然数（中点）是没有素数因子的偶数，也就是形如 2 的数，其中 n 是任意n自然数，如 16、32、64 等 情况 1，根本无需证明两个该素数之和（或乘以 2） 当然是偶数。

如 7+7=14 其它几种情况，如将该偶数表为两个奇数之和，则必然是其中一个小于该偶数除以 2 后的中间数，另一个则大于该中间数，且该二奇数以此中间数为中心对称分布比如 偶数 30，其中间数为 30/2=15，满足二奇数和为 30 的奇数对分别为 13、17；11、19；………等等它们每一组是以 15 位中心对称分布于二边的毫无 疑问，如果哥德巴赫猜想成立，在满足该猜想的素数对必也满足上述对称条件下面 先证明一个引理 引理 1：某素数的合数（指含该素数因子的数这里包括该素数自身） ，在删除了其它 素数的和术后的集合中所占的比率（当然包括其它素数因子的该素数的合数） ，与其 全集在自然数中的比率一样，不变 证明：设有某素数 N，其合数（所有含其为因子之数）在自然数中的比率为 1/N在自然数中删去素数 P（PN）的所有合数，即在自然数中删去了 1/P 个数，其 中也包括素数 N 的合数中的 1/P 个此时 N 的合数的个数为： -1N1 P1 N11自然数（自然数自然数N)1 P的全部合数的集合在自然数中删去素数P1N 即此时剩余的 N 的合数的个数仍占删去素数 P 的所有合数后的集合的 1/N，得证。

比如，3 的所有合数占全部自然数的 1/3，同样其奇合数也站奇数集合的 1/3因 为删去的偶数集合中也包括了 1/3 的 3 的合数比如 6，12，18，等等又比如 5 的 合数，在删去全部偶数集合及全部 3 的合数集合后，在此剩余集合中 5 的剩余合数集 合仍占其 1/5其余类推 对于前文第 2、3 种情况中，由于所给偶数的中点数包含素数因子，于是由该中 点数向二边（增大与减小）方向对该素数因子对称于是以此中点数为中心左右两边（大与小）相互对称的奇数所构成的奇数对，要么同时使该素数的合数，要么不是 于是，是该素数 S 的合数的奇数对为全部以所给偶数的中点数为中心的素数队总数的个；反之，不是该素数合数的奇数对占总数的个而对于情况 4 及情况 2、3S1 SS1中，如果以中间数为中心左右（大、小方向）对称的奇数对中所包含的素数因子并非 我们上面所讨论的情况，则相对该中点对所论素数是非对称的，即所论奇数对不能在 中点二边对称位置同时得到包含所论素数的合数，而是有先有后于是，满足所论素数 S 的合数的奇数对为所论奇数对总数的个；反之，不是该素数合数的奇数对占总S2数的个当然，上述结果没有述及所论奇数对的总数不能被该素数 S 整除这一SS2极其普通的情况。

实际上，在此情况下，我们舍弃相除的余数，只保留整数，如果结 论不变，将会有误差但如果所论偶数足够大时，误差是极小的，而且随偶数的增大 越来越小现举例予以直观说明：如果所选偶数为 30，则中点数为 30/2=15，这符合 “情况 2” ，其为素数 3 的合数分别对称地位列 15 两边（满足其和等于 30 的）奇数 对为 13、17；11、19；9、21；7、23；5、25；3、27注意，奇数对 1、29 不被计入， 因为 1 通常不被认为是有意义的素数我们看到，满足要求的奇数对共有 6 个，可以 被所论素数 3 整除，其中有素数 3 因子的有两对，为 9、21；3、272/6=1/3，即为总 奇数对 6 的三分之一如果所论偶数为 36，则中点数为 36/2=18，符合“情况 3” ，其 两边对称的奇数对为 17、19；15、21；13、23；11、25；9、27；7、29；5、31；3、33共 8 对，8 除以所论素数 3 得：8÷3=2，不能被所论素数 3 整除，如果如前面所论的做法舍弃余数32（即分数 2/3） ，则得整数 2，但有所论素数 3 因子的奇数对有 15、21；9、27；3、33。

共三对，有误差但这种误差随着所选偶数的增大将越来越 小，而且对下面的讨论没有任何影响如果所选偶数为 32，则中点数为 16，其不是 所论素数 3 的合数（同时符合“情况 4” ） ，于是应该是“满足所论素数 S 的合数的奇数对为所论奇数对总数的个，具体这里也就是 2/3（因为这里的“所论素数 S”为S23） ，而不再是 1/3 了在 16 两边对称的奇数对为 15、17；13、19；11、21；9、23；7、25；5、27；3、29共 7 对7 乘以 2/3，舍弃 余数（分数部分）后整数部分为 4，我们看到，上述 7 对奇数对中含有素数 3 因子的 为 5 对，分别是 15、17；11、21；9、23；5、27；3、29相对于 4 而言，有所误差 但如果所选偶数非常大，我们将会看到，这种误差对下面将要进行的讨论无任何影响对于所论素数大于 3 的情况，读者可自行验证 引理 2：有某素数 A 及整数 N，当 A2>N 时，从 N 以下的任何数不会是大于 A 的 两个素数相乘的合数 证明很容易设 B>A，则 AB>A2>N,得证 引理 3：任何间隔为 2×某素数的两个奇数间，当然有该素数个不同的奇数，但 其中必有、且只有一个含有该素数的奇合数存在。

证明：如其不然，则起码应有一个间隔为 2×某素数的两个奇数间，没有（或有 多于 1 个）含该素数的奇合数存在也就是说，必然存在两个相邻的奇数，它们分别 与该素数的乘积之差，大于（或小于）间隔 2×该素数但我们知道，任何两个相邻的奇数间隔为 2，而如此的两个相邻的奇数分别与所论该素数的乘积（也就是包含该 素数的奇合数）之差，即为也只为 2×该素数所以总会有一个且只有一个满足条件 的奇合数存在引理 3 得证 引理 4：任何间隔为 4×某素数的两个奇数间，其中必有、且只有两个含有该素 数的奇合数存在 证明：由于它的间隔比引理 3 所述情况的大一倍，所容纳的合数自然也多一倍， 也就是两个 我们知道，由“中间数”向大小两边对称、同步地列出奇数对时，其间隔正是以 4 的倍数增加的由引理 4 可知，每当我们列出“某素数个”这样的奇数对时，必在 中间数的大小两边分别各有且只有一个含有该素数的奇合数同时，当该“中间数” 本身就是该素数的合数时（注意，当然不一定是奇合数，也可以是偶合数） ，在上述 做法下，含该素数的奇合数是成对（可视为“同时” ）出现的，其它情况则不同时， 也就是“分别”先后出现，即不成对出现。

以下将在上述讨论的基础上，证明强哥德巴赫猜想对任一偶数 N，小于它的奇数有个；分别位于中点二边的奇数对有对2N 4N只取整数部分个（即如有分数部分，就将分数部分舍弃） 当然，这里是将 1 这个特殊的奇数包括在内的由由引理 3、引理 4 及引理 1 可知，这些奇数对（）中有素取模个共4N数 3 因子的奇合数最多，最多占奇数对总数的（此时不考虑相对中点对素数 3 对称的情32况，也就是有素数 3 因子的奇合数占奇数对总数的情况） 换言之，没有素数 3 因子的奇31数占奇数对总数的 1－=，即个（不考虑除不尽时的分数部分） 而在这些已不32 31 31 4N含素数 3 因子的奇数对中，同理，含有素数 5 因子的，又占其（同样考虑相对中点非对52称的“最不利”情况，否则为） 而不含素数 5 因子的奇数，占奇数对总数的511－=，即个（舍弃分数部分） ，余类推，比如素数 7、11、13、………等等52 53 53 31 4N直到某素数 S，S 为小于的最大一个素数，这是引理 2 所决定的于是，在 N 之下，N再无素数因子大于等于 S 的合数存在于是我们有所给偶数 N 之内的不含合数奇数对（即 素数对）为：NN SSN SSN22..........119 75 53 31 42............119 75 53 31 441 42242.........119 97 75 53 31 4NNNNNNN SSN…………………………………….[1]倒数第二步，为倒数第三步分子、分母上下相消所得。

此式在 N>16 时总被满足特别当 N→∞时，，即满足哥德巴赫猜想偶数 N 的素数对数不少于（由公N4N式[1]）且随 N 趋于无穷而趋于无穷这是一个比传统哥德巴赫猜想强的结论，因此，可称 之为“强哥德巴赫猜想” 这里应该特别说明的是；上式中我们是把式中的素数本身也算作合数的，并未加以区分也就是所有小于素数，也被删去了但即使如此，哥德巴赫N猜想也能被满足如果算上由这些本不该删的素数可能构成的素数对，满足歌德巴赫猜想的素数对将更多此外，也应该说明，偶数 N 内的奇数对为（取整）个，但4N1+（N－1）类型的奇数对不能算因为 1 不是一般的素数通常将其排除在外，哥德巴赫猜想也不包含这种类型的素数对所有公式[1]中的，实际应为－1比如偶数 32，4N 4N中间数（中点）为 16，算 1+15 的奇数对共 8 个，不算的则为 7 个（有效的） ，但 N 足够大 时，此误差几乎不用考虑前已述及，尽管公式[1]岁证明哥德巴赫猜想已经足够，但由于将 3、5、7、11 等素 数也记入了含素因子的合数中，因此度与确定素数对而言，并不精确尽管这与传统哥德 巴赫猜想已无关系，但给出一个更精确的素数对公式还是有意义的。

这里我们提出更精确 的公式：} ] ) 141 31)(14(1 53)[ 141 31)(14(1 75]{ ) 141 31)(14(1 53)[ 141 53 31)(14(  NNNN NNNN……………]..................12[ SS……………………………………………………[2]其中 N、S 的含义与前文相同N 为所论偶数；S 是满足小于..的最大的一个素数我N们之所以在每一因子项中加一项，是为了取回已被删去的相应素数不难看出，式[2]的每一因子都大于式[1]的相应因子（不考虑因此，式[2]之值大于）的误差）与（14N 4N式[1]之值，不影响强哥德巴赫猜想的结论当然，此式有一不能整除时的取模问题可以 证明，一个分数取模后再加 1，与其加 1 后再取模是一样的（证明从略） 即：‖‖+1=‖‖ …………………………………………………[3]SK1SK其中符号‖…………‖表示“取模” ，即取整数部分由于此细节对证明已无大碍， 故可不予考虑至此，强哥德巴赫猜想得到证明为帮助读者理解，现举一个简单的例子予以说明设所论偶数为 92，其“中间数” 为 92÷2=46，奇数对为 46÷2=23 个。

它们分别是： 45、47；43、49；41、51；39、53；37、55；35、57；33、59；3。