机器人第2章 数学基础-矢量变换.ppt

2 矢量变换-数学基础,2.1 矢量 2.2 矩阵基础 2.3 矢量变换 2.4刚体运动学分析基础,物体运动=移动(Translation)+转动(Rotation) 刚体动力学：使用连体系(Body-Fixed Coordinate System)在参考系中位置和方向(简称位姿)来描述刚体的位姿 运动学和动力学参量：完全使用刚体位姿描述2.1 矢量,刚体：任两点之间的距离不变 连体系：在刚体上任一点设置与刚体固连的坐标系当刚体运动时，该连体系随刚体一起运动 刚体在参考系中的位置：连体系原点在参考系中的位置矢量 位置矢量：,,矢量,矢量的模,方向余弦,,,,单位向量,,矢量运算,,,,,矢量相等,,线性运算 ：数乘、加、减,矢量的点积(Dot or Scalar Product),,,矢量运算,,,,,,,矢量的叉积(Cross Product),,,反对称矩阵记法,,矢量运算,,,,,,,矢量的叉积(Cross Product),,,反对称矩阵记法,,,矢量运算,,,,矢量三重积,,,,,,矢量微分和积分,,,,2.2 矩阵基础,,,,,,,,,,,,,1 矩阵定义 2 运算 3 特征值和特征向量 （4 矩阵分解 ）,,,2.2.1 定义,,,,,,,,,,,,,方阵,,零矩阵,列矩阵,行矩阵,对角阵(Diagonal Matrix),,定义,,,,,,,,,,单位矩阵(Identity Matrix),奇异矩阵(Singular Matrix),,机构的奇异构形判别,矩阵的转置(Transpose),,对称矩阵(Symmetric Matrix),,反对称矩阵(Antisymmetric Matrix),,正交矩阵(Orthogonal Matrix),,,,,,,,,,2.2.3 矩阵运算,数乘、求和、积、转置、求逆,数乘,求和,,乘积,,乘积相容(Compatible),不符合交换律,矩阵乘积的转置,,,,,,,,,,矩阵运算,,,,逆,非奇异方阵,用伴随矩阵方法求得,,,元,,代数余子式,,伴随矩阵(Adjoint Matrix),除去,所处的行和列所得到的行列式的值,例 求逆矩阵,,,,非奇异，存在逆矩阵,,,,逆矩阵特点,(1),,,(2) 对称阵的逆矩阵也是对称的,(3) 正交阵的逆矩阵也是正交的,,2.2.4 矩阵特征值和特征向量,物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题,特征多项式,,特征方程,,特征值,特征方程的根,特征向量,,齐次方程组的非零解,,物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题,例 求矩阵的特征值及特征向量,,特征方程,特征值,,对应的特征向量,,,2.3矢量变换,,,刚体系统的运动学可使用连体坐标系(以后简称连体系)完全描述,刚体位姿,方向：旋转矩阵、罗德里格斯参数、欧拉角、方向余弦和四元数变换,,,,2.3.1旋转矩阵(Rotation Matrix),确定连体系{B}相对于参考系{O}的方向,坐标系{B}绕轴OC逆时针旋转；任意点P移到Q,位置矢量,变为,,,,,,,,旋转矩阵(Rotation Matrix),,,,,,,矢量,,,平面OCP,方向,,矢量,方向,,,,,旋转矩阵(Rotation Matrix),,,,,,,,,,,,Rodrigue旋转公式,,旋转矩阵,,,旋转矩阵(Rotation Matrix),,,,,,,,定义欧拉参数 (Euler Parameters),,旋转矩阵性质,,,,,旋转变换：正交变换(Orthogonal Transformation),旋转矩阵为正交矩阵,,,,将矢量表示成反对称矩阵,,旋转矩阵 例,,,,,,,,例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，{B}相对于坐标系{A}的z轴转30°。

求位置矢量aPb和旋转矩阵A，其中P在坐标系{B}中为Pb=[3,7,0]T例2.2 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，{B}相对于坐标系{A}中过原点的矢量U=[1,2,2]T 转30°求位置矢量aPb和旋转矩阵A，其中P在坐标系{B}中为Pb=[3,7,0]T例2.3 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，{B}相对于坐标系{A}中过点[5,0,0]T 的矢量U=[1,2,2]T 转30°求位置矢量aPb和旋转矩阵A，其中P在坐标系{B}中为Pb=[3,7,0]T2.3.2欧拉角(Euler Angles),矢量的欧拉角旋转变换由依次绕3个轴的旋转组成 任何矢量的旋转变换均存在对应的欧拉角 根据旋转轴的选择顺序不同，有不同的欧拉角 常用：z-x-z或者313,,,,2.3.3方向余弦(Direction Cosines),,,2.3.4四元数(Quaternion),,共轭四元数,,范数,,单位四元数,,逆,,矢量绕任意轴旋转,,2.3.5齐次变换 (Homogeneous Transformation),刚体的连体系{B}相对参考系{O}既有转动又有移动,定义,齐次变换矩阵的逆,,特定情况下，齐次变换矩阵,,,,,,,,,,,,,2.4 刚体运动学分析基础,速度、加速度、 角速度、角加速度 虚位移分析,,,,2.4.1速度和加速度,仅考虑刚体定点转动,,,,速度,在连体系{B}中表示,,,,,,,加速度,,定点转动,,,,,,,,,,,变分,2.4.2 虚位移 (Virtual Displacements or Rotations),,,,反对称矩阵,,,,,,,虚转动,,,虚转动或微小转动是矢量。

大数量角位移不具有矢量的形式，但虚位移和角速度是矢量,小结,矢量代数、矩阵运算 矢量旋转变换方法 刚体转动速度、角速度与变换矩阵,。