《平面几何中的向量方法》导学案.docx

平面几何中的向量方法【学习目标】1•学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程2 体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力. ET问题导学 向量是数学中证明几何命题的有效工具之一 •在证明几何命题时，可先把已知条件和结论表示 成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可以解决 共线、平行、长度等问题，利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题向量的坐标表示把点与数联系了起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用 向量来研究某些代数问题.向量的数量积体现了向量的长度与三角函数间的关系，把向量的数量积应用到三角形中，就 能解决三角形的边角之间的有关问题.知识点一几何性质及几何与向量的关系设 a=（X], y1），b=（x2，y2），a，b 的夹角为 0.思考1证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？答案可用向量共线的相关知识：a#bOa=AbOx1y2—x2y1=0（b^0）.思考2证明垂直问题，可用向量的哪些知识？答案 可用向量垂直的相关知识：a 丄 b^a・ b=0Ox1x2+y1y2=0.梳理平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来.知识点二向量方法解决平面几何问题的步骤1. 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题.2. 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题3•把运算结果“翻译”成几何关系.题型探究 类型一用平面向量求解直线方程例1 已知 A4BC的三个顶点A（0，—4），B（4，0），C（—6，2），点D，E，F分别为边BC,CA，AB的中点.(1)求直线 DE，EF，FD 的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.解(1)由已知得点D(- 1, 1), E( - 3, - 1), F(2, - 2),设M(x, y)是直线DE上任意一点,则 DM||DE.DM=(x+1, y - 1), DE=(-2, - 2).•••(-2)X(x+1)-(-2)X(y- 1) = 0,即x-y + 2 = 0为直线DE的方程.同理可求, 直线 EF, FD 的方程分别为x+ 5y+ 8= 0, x+ y= 0.⑵设点N(x, y)是CH所在直线上任意一点,则 CN±AB.•CN AB = 0.又CN=(x + 6, y - 2), AB = (4, 4).• 4(x+ 6)+ 4(y- 2)= 0,即x + y + 4 = 0为所求直线CH的方程.反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题, 首先将线段看成向量, 再把坐标利用向量法则 进行运算.跟踪训练1在△ABC中，A(4, 1), B(7, 5), C(—4, 7),求ZA的平分线所在的直线方程. 解 ABB= (3, 4), ABC= (- 8, 6),乙A的平分线的一个方向向量为G，4)4 3)5，5丿BB AC a^^B + ^^ =|ABB| |ABC|设P(x, y)是角平分线上的任意一点,的平分线过点A,•••所求直线方程为-7(x - 4) - 5(y - 1) = 0.整理得 7x + y - 29 = 0.类型二用平面向量求解平面几何问题例2 已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD. AD的中点，BE、CF交于点P.求证：⑴BE 丄 CF； (2)AP=AB.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设AB = 2,则A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), E(1,2), F(0, 1).8ly = 5即 AP = AB.••点p的坐标为(5，5).1).(1)\-bE=( - 1, 2), CF=( - 2,•••BE・Cf=( - 1)X( - 2) + 2X( - 1) = 0,•BE丄CF,即 BE丄CF.(2)设点 P 坐标为(x, y),贝i」FP = (x, y - 1),Fc =(2, 1), •••FP||FC,•x = 2(y - 1),艮卩 x = 2y - 2,同理，由BP||BE,得y=- 2x + 4,x = 2y - 2 , 由<、y =- 2x + 4 ,反思与感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路：(1)向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化.(2)向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系;④把几何问题向量化.跟踪训练2如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE丄AB, PF丄BC,垂足分别为E, F,连接DP, EF,求证：DP丄EF.证明 方法一 设正方形ABCD的边长为1, AE二a(Ovavl),贝I」EP = AE = a, PF = EB=1 - a, AP = p2a,:Dp. ef=(DA + AP)・(EP + PF)—> —> —> —> —> —> —> —>二 DA EP + DA PF + AP・ EP + AP・ PF=1 XaXcos 180° +1X(1-a)Xcos 90° +、f2aXaXcos 45° + \''2aX(1 -a) X cos 45°a + a2 + a(1 - a) — 0.:.DP丄EF,即 DP1EF.方法二 如图，以A为原点，AB, AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.设正方形ABCD的边长为1,O=L工21- -1 一 -:DP丄EF,即 DP丄EF.当堂训练1. 已知在△ABC中，若AB=a, AC=b,且a・bvO，则△ABC的形状为( )A. 钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.不能确定答案A2. 过点A(2, 3),且垂直于向量a=(2, 1)的直线方程为( )A.2x+y—7 = 0 B.2x+y+7 = 0C.x—2y+4 = 0 D.x—2y—4 = 0答案A解析 设 P(x, y)为直线上一点，则 APs,即(x-2)X2 + (y-3)X1=0,即 2x + y -7 = 0.3.在四边形ABCD中，若AD+CB=0, AC・BD=0,则四边形ABCD为( )A.平行四边形B矩形C.等腰梯形答案DD.菱形解析■:AD + CB = 0,:AD = BC,:.四边形ABCD为平行四边形.又•.•AC.BD = 0, :aClbd,即平行四边形ABCD的对角线垂直，:•平行四边形ABCD为菱形.4. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8, AD=5, CP=3PD, BP=2，贝VAB・AD的值是 .答案22解析 由Cp = 3pd, 得DjP = 1DC = 1A^B, AP=AD + DP=AD + 4AB，BP=AP -ab=ad+4ab -ab=ad -4ab.因为AP・BP = 2,所以（AD + 4AB）.（AD -汨）=2,即AD2 -MAD.AB - 16AB2=2.又因为AD2 = 25, ab2 = 64,所以AD = 22.5. 如图所示，在AABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB, AC于不同的两点 M, N, 若AB=mAM, AC=nAN,贝V m+n 的值为 答案2解析：0是BC的中点,又\'AB = mAM, AC = nAJN,又■:M, O, N三点共线,m n -:込+2"'-规律与方法 、利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何 问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路 是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.课时作业一、选择题1.在△ABC中，已知A(4, 1), B(7, 5), C(—4, 7),则BC边的中线AD的长是(B.A.2<5C.3i/5D•呼答案B解析■:BC 的中点为 D(|，6), AD = (-|,5),^iadi = 525>2.点o是三角形abc所在平面内的一点，满足OA・Ob=Ob-6c=6c-OA,则点o 是△abc 的( )A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条高的交点答案 D解析 -：6 OB = OB・ Oc,：.(6 - OC)OB = o,.•.OB. CA = o,J.OBvAC.同理 OAxBC, OC±AB,. O 为三条高的交点./ —> —> —> —63.已知非零向量AB与AC满足• Bc=0且4", 6 • ¥=2,则AABC的形状是（ ）VIABI IACU IAB, 6| |ACIA. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰(非等边)三角形D. 等边三角形答案 D解析 由|也+丛・BC = O,得角A的平分线垂直于BC, :AB = AC.而塑•虫C二cos〈AB, VIABI IACU IABI IACIAc>=|,又〈AB, Ac>e[0°, 180°], :.zBAC = 60°.故△ABC为等边三角形，故选D.4.在四边形ABCD中，若AC=(1, 2), BD=(-4, 2),则该四边形的面积为( )Aa'5 B.2 応 C.5 D.10答案 C解析 ■:AC^BD = 0, :ACvBD.•••四边形ABCD的面积S 二 2|AC||BD| = 1^''5 X 2込 二 5.5. 已知点 A(—2,—3), B(19, 4), C(—1,—6)，则△ABC 是( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案 C解析 AB = (19, 4) - ( - 2, - 3) = (21, 7),AC = ( - 1, - 6) - ( - 2, - 3) = (1, - 3),—> —> —> —>AB・AC = 21 - 21 =0, :ABvAC,又IABI*IACI, •△ABC为直角三角形.6. 已知点P 是△ABC所在平面内一点，若CB=APA+PB，其中AGR，则点P 一定在( )A4ABC的内部 B.AC边所在的直线上C.AB边所在的直线上 D.BC边所在的直线上答案 B解析 ■:cB=xpa + pB, ：cB - Pb=aPA,：CP=apa, ：p, a, c 三点共线，:点 P 一定在 AC 边所在的直线上.7. 在ABCD中，AD=1,ZBAD=60°, E为CD的中点，若AC・BE=1,则AB的长为(A.1B.| C.g D.答案 B解析设AB的长为a(a > 0),因为AC=AB+AD, bE=bC + ce=Ad - 所以AC・BE = (AB + AD). (AD -尹)=2岚 AD - 2AB2 + AD2 =- |a2 + !a + 1.由已知，得-1a2 + 4a + 1 = 1,又因为a>0,所以a = 1,即AB的长为。