概率论与数理统计-课后习题与答案解析(上).pdf

学院 班级 姓名 学号 122 概率论与数理统计 作业 概率论与数理统计 作业 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 1.1 随机事件随机事件 一、写出下列随机试验的样本空间： 1．记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） ． 2．某篮球运动员投篮时，连续 5 次都命中，观察其投篮次数． 3．在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 4．一尺之棰折成三段，观察各段的长度． 解：1．该小班有 n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为 0，1，2，…，100， n 个人 分数 之和的 可能 取值为 0 ，1 ，2 ，… ， 100n， 平均分 数的 可能 取值 为 { ,0,1,2,,100 } k Skn n ==?. 2．样本空间, 7 , 6 , 5{=S?}；S 中含有可数无限多个样本点. 3．取一直角坐标系，则有 22 {( , )|1}Sx yxy=+=++=xxxxxxxxxS 二、某射手向目标射击 3 次，用 i A表示第i次击中目标，3 , 2 , 1=i，试用 i A及其运算 符表示下列事件： 1．三次都击中目标； 2．至少有一次击中目标； 3．恰好有两次击中目标． 解 上述事件的表示式分别为 1． 三次都击中目标： 321 AAA； 2． 至少有一次击中目标： 321 AAAUU； 3． 恰好有两次击中目标： 321321321 AAAAAAAAAUU. 三、在某城市中发行三种报纸：甲、乙、丙．用A、B、C分别表示“订阅甲报” 、 “订 阅乙报” 、 “订阅丙报” ，试求下列各事件． 1． “只订甲报” ；2．只订甲、乙两报；3．只订一种报纸；4．正好订两种报纸；5．至 少订一种报纸；6．不订任何报纸． 仅内部使用 学院 班级 姓名 学号 123 解：1.“只订甲报”=ABC；2.“只订甲、乙两报”=ABC； 3. “ 只 订 一 种 报 纸 ” =ABCABCABC∪∪； 4. “ 正 好 订 两 种 报 纸 ” =ABCABCABC∪∪； 5． “至少订一种报纸”=ABC∪∪；6． “不订任何报纸”=ABC． 四、 设样本空间},20|{≤≤=xxS事件}6 . 18 . 0|{},15 . 0|{≤BP，则（ ）. （A）)()(APBAPU （B）)()(BPBAPU （C）)()(APBAP=U （D）)()(BPBAP=U 解：由, 1)|(=BAP0)(BP， 可得)|(BAP () 1 ( ) P AB P B ==, 即 ()( )P ABP B=，， 所以， ()( )( )()( )P ABP AP BP ABP A=+−=∪， 选 C. 3．设A、B互为对立事件，且0)(, 0)(BPAP，则下列各式中错误的是（ ）. （A）0)|(=ABP （B）0)|(=BAP （C）0)(=ABP （D）1)(=BAPU 解：因为,AB、 互为对立事件,()( )0ABP ABPφφ===故 ， 仅内部使用 学院 班级 姓名 学号 127 ()( )()( ) (|)1 ( )( )( ) P BAP AP ABP A P B A P AP AP A − ==== 选 A. 二、填空题： 1．已知0 40 30 5( ). , ( ). , (). ,P AP BP AB===，则(|)P B AB =∪ ． 解： P B AB P B AB P AB = ( ()) (|) () ∪ ∪ ∪ P BABBP AB P AP BP ABP AP BP AB == +−+− ()() ( )( )()( )( )() ∪ 0 60 50 1 0 125 0 60 70 50 8 P AP AB P AP BP AB −− ==== +− +− ( )(). . ( )( )() 2．某人有一笔资金，他投入基金的概率为 0.58，购买股票的概率为 0.28，两项投资都 做的概率为 0.19，已知他已购买股票，再投入基金的概率为 ． 解：设 A 表示“投入基金” ，B 表示“购买股票” ， 则 AB 表示“两项投资都做” ， A|B 表示 “已购买股票，再投入基金” ，利用条件概率的定义，得 )|(BAP ()0.19 0.6786 ( )0.28 P AB P B ==≈ 三、设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%，10%，从中随意抽取一件，发现不 是三等品，求此件产品是一等品的概率． 解：设 i A表示“取出的产品是i等品” ，, 3 , 2 , 1=i则 321 ,,AAA两两互不相容，所求概 率为 1121 112 1212 (())() (|) ()()() P A AAP A P AAA P AAP AP A == + ∪ ∪ ∪ 3 2 3 . 06 . 0 6 . 0 = + =． 四、某人忘记了号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而 接通所需的概率。

解法 1：设 Ai表示事件“第 i 次拨号拨通” ，i=1,2,3. 设 A 表示事件“拨号不超过 3 次拨通” ，则有 112123 AAA AA A A=∪∪, 因 112123 ,,AA AA A A两两互不相容，且 1 1 () 10 P A =， 12211 191 ()(|) () 91010 P A AP AA P A==×=， 仅内部使用 学院 班级 姓名 学号 128 123312211 1891 ()(|) (|) () 891010 P A A AP AA A P AA P A==××=， 即有 112123 1113 ( )()()(). 10101010 P AP AP A AP A A A=++=++= 解法 2 沿用解法 1 的记号，知 123 ( )1(3)1()P APP A A A= −= −拨号 次都接不通 312211 7893 1(|) (|) ()1 891010 P AA A P AA P A= −= −××=. 五、某类产品毎百件成批，出厂验收时，规定从毎批中任意挑选 5 件为样品，若样品中 发现有废品，则整批不予出厂．今有一批产品 100 件，其中有 6 件废品，问这批产品被拒绝 出厂的概率有多大？ 解法 1：设 Ai表示事件“取出的第 i 件为合格品”i=1,2,3,4,5， 则这批产品予以出厂的 事件为 A1A2A3A4A5，所求事件为 54321 AAAAA ∴ )( 54321 AAAAAP=1–P(A1A2A3A4A5) =1–[P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)P(A5|A1A2A3A4)] = 96 90 97 91 98 92 99 93 100 94 1⋅⋅⋅⋅−=0.271 解法 2：设 A 表示“产品被拒绝出厂”=“任取五件产品中至少一件为废品” ， 利用对立事件的概率公式及古典概率公式， 94 5 6 100 ( )1( )11 0.9290.271 C P AP A C = −= −= −= 六、10 名学生入围知识竞赛决赛，共有 20 道竞赛题，其中数学、英语、历史学科分别 为 4，6，10 道题，每人随机抽取 2 道题，求： 1．3 号学生抽到英语题的概率． 2．3 号学生抽到 2 道英语题，5 号学生抽到一道英语题与一道历史题的概率． 解：设 A 表示事件“3 号学生抽到英语题” ，B 表示事件“3 号学生抽到 2 道英语题” ， C 表示事件“5 号学生抽到一道英语题与一道历史题” ， 1. 211 6614 2 20 ( )0.5211 CC C P A C + =≈ 另解： 2 14 2 20 ( )1( )10.5211 C P AP A C = −= −≈； 2. 211 6410 22 2018 ()( ) (|)0.021 CC C P BCP B P C B CC ==⋅=； 仅内部使用 学院 班级 姓名 学号 129 另解： 112 6105 22 2018 ()( ) (|)0.021 C CC P BCP C P B C CC ==⋅= 仅内部使用 学院 班级 姓名 学号 130 1.4 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 一、某射击小组有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，四 级射手 1 人， 各级射手能通过选拔进入比赛的概率依次为 0.9,0.7,0.5,0.2． 求任选一名射手能 通过选拔进入比赛的概率． 解：设A为所求的事件， i B表示“所选射手为i级射手” ，1 2 3 4(, , , )i =，则 i B1 2 3 4(, , , )i =为一完备事件组. 而 1234 4871 20202020 (), (), (), ()P BP BP BP B==== 因此， 4 1 4871 0 90 70 50 20 645 20202020 ( )() (|). ii i P AP B P A B = ==×+×+×+×= ∑ 二、袋中装有 12 个乒乓球，9 个是新的，3 个是旧的，第一次比赛时任取 3 个使用，比 赛后仍放回袋中，第二次比赛时再从袋中任取 3 个球： 1．求第二次比赛取出的都是新球概率 2．已知第二次取出的球都是新的，求第一次取到的都是新球的概率． 解：是两次实验类型，设事件 B=“第二次比赛取出的都是新球” ， Ai=“第一次任取 3 球含 i 个新球”i=0，1，2，3。

A0，A1，A2，A3构成一个完备事件组， 易求得 321123 339399 0123 3333 12121212 3333 9876 0123 3333 12121212 1272721 (),(),(),(), 2202205555 211471 (|), (|), (|),(|) 55554411 CC CC CC P AP AP AP A CCCC CCCC P B AP B AP B AP B A CCCC ======== ======== 1.由全概率公式 P(B)= 3321312333 3 3939839796 33333333 0 1212121212121212 () (|) ii i CCC CCC CCCC P A P B A CCCCCCCC = =×+×+×+× ∑ 2 121271427721 121441 ()0.1458 220 55220 5555 4455 11553025 =⋅+⋅+⋅+⋅==≈ 2. 利用贝叶斯公式求得 33 3 2 21 1 () (|)5 55 11 (|) 21 ( )21 () 55 P A P B A P AB P B ⋅ === 三、两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为 0.03，第二台的废品率为 0.02，加工 出来的零件放在一起，且已知第一台加工的零件比第二台加工的多一倍． 1．求任意取出的零件是合格品的概率． 仅内部使用 学院 班级 姓名 学号 131 2．又若任意取出的零件经检查是废品，求它是第二台机床加工的概率． 解：1. 设A表示“任取零件为合格品” ， 1 B表示“任取零件来自第一台机床加工的零 件” ， 2 B表示“任取零件来自第二台机床加工的零件” ，由全概率公式，有 1122 ( )() (|)() (|)P AP B P A BP B P A B=+ 21 0 030 020 027 33 .,=×+×= 故 1 0 0270 973( )P A = −=. 2. 22 2 1 0.02 () (|)1 3 (|). 1 ( )4 0.08 3 P B P A B 。