椭圆的常（见题型及解法(二)）.pdf

高中数学 椭圆的常见题型及解法（二） 一 对称问题 平面解析几何常遇到含参数的对称问题，常困扰学生思维.其实平面解析几何所有的对 称只有以下四类,分别为 “ 点关于点对称” ； “点关于直线对称” ； “曲线关于点对称” ； “曲线关 于直线对称” . 点A 关于B 的对称点为C，点B 为A、 C 的中点，由中点坐标公式有： 1 1 1 1 2 2 2 2 yby xax yy b xx a ； 设点 A(x1,y1)关于直线 ： ax+by+c=0 的对称点为C(x,y), 由 AC 直线与垂直，且 AB 的中点在上，有： ; 22 22 0 22 1 22 11 22 22 11 22 11 1 1 ba bcabxyba y ba acabyxab x c yy b xx a b a xx yy (当直线中 a=0 或 b=0 时，上面结论也正确) 曲线 F(x,y)=0 关于点 B(a,b)对称的曲线， 在曲线 F(x,y)=0 上任取一点A(x1,y1)，它关 于点B(a,b) 的对称点为C(x,y). 其实点A 为主动点,点 C 为从动点,由中点坐标公式有: yby xax yy b xx a 2 2 2 2 1 1 1 1 , 代 入 到 主动 点的 方程 中, 得 对 称曲 线方 程:0)2,2(ybxaF. 曲线 F(x,y)=0 关于点 ax+by+c=0 对称的曲线 , 在曲线 F(x,y)=0 上任取一点A(x1,y1)， 它关于直线ax+by+c=0 的对称点为C(x,y), 则有 : 22 22 1 22 22 1 11 1 1 22 22 0 22 1 ba bcabxyba y ba acabyxab x c yy b xx a b a xx yy ,代入到主动点的方 程中 ,得对称曲线方程: 0) 22 , 22 ( 22 22 22 22 ba bcabxyba ba acabyxab F. 圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求某参变量的取值范围 .这一类问题求解时 ,必须 同时确保 : 垂直 ;平分存在 ,下面就实例说明三个确保的实施. 例 1.已知椭圆 C: 1 916 22 yx ,试确定 m 的取值范围 ,使得对于直线:mxy4在椭 高中数学 圆 C 上存在不同的两点关于直线对称 . 解:椭圆上存在两点A,B 关于直线mxy4对称 , 设直线 AB 为:nxy 4 1 (确保垂直 ). 设直线 AB 与椭圆有两个不同的交点 2211 ,,,yxByxA. 072845 1 916 4 1 22 22 nnxx yx nxy 0728544 2 2 nn(确保存在 ) 即：10,1010 2 nn1 5 4 5 4 21 nn xx AB 两点的中点的横坐标为, 5 2 2 21 nxx 纵坐标为nn n 10 9 5 2 4 1 则点 n n 10 9 , 5 2 在直线mxy4上,m n n 5 2 4 10 9 . (确保平分 ) . 10 7 nm 把上式代入 (1)中 ,得：. 10 107 10 107 m 变式训练 （2010 年安徽理19） ：已知椭圆E 经过点 A（2，3） ，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率. 2 1 e （I）求椭圆 E 的方程； （II）求 21AF F的角平分线所在直线l的方程； （III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l对称的相异两点？若 存在，请找出；若不存在，说明理由. 本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直 线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关 于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综 合运算能力、探究意识与创新意识. 解： （ I）设椭圆E 的方程为 22 22 1 xy ab 高中数学 2222 22 22 11 ,,2 ,3, 22 1. 43 c eacbace a xy ce 由即得 椭圆方程具有形式 将 A（2，3）代入上式，得 22 13 1,2,c cc 解得椭圆 E 的方程为 22 1. 1612 xy （II）解法 1：由（ I）知 12 ( 2,0),(2,0)FF，所以 直线 AF1的方程为： 3 (2),3460, 4 yxxy即 直线 AF2的方程为： 2.x 由点 A 在椭圆 E 上的位置知，直线l 的斜率为正数. 设( ,)P x yl为上任一点，则 |346 | |2|. 5 xy x 若346510,280 xyxxy得（因其斜率为负，舍去）. 所以直线 l 的方程为：210.xy 解法 2： 1212 12 12 1 (2,3),( 2,0),(2,0),( 4, 3),(0, 3). 114 ( 4, 3)(0, 3)(1,2). 535 |||| 2,:32(1),210. AFFAFAF AFAF AFAF klyxxy即 （III ）解法 1： 假设存在这样的两个不同的点 1122 (,)(,),B xyC xy和 21 21 1212 0000 1 ,. 2 (,),,, 22 BC yy BClk xx xxyy BCM xyxy设的中点为则 由于 M 在 l 上，故 00 210.xy 又 B，C 在椭圆上，所以有 2222 1122 11. 16121612 xyxy 与 两式相减，得 2222 2121 0, 1612 xxyy 即 12211221 ()()()() 0. 1612 xxxxyyyy 高中数学 将该式写为 122112 21 11 0 8262 xxyyyy xx ， 并将直线BC 的斜率 BC k和线段 BC 的中点，表示代入该表达式中， 得 0000 11 0,320. 812 xyxy即 2得 20 2,3xy，即 BC 的中点为点A，而这是不可能的. 不存在满足题设条件的点B 和 C. 解法 2： 假设存在 1122 (,),(,)B xyC xyl两点关于直线对称， 则 1 ,. 2 BC lBCk 22 1 ,1, 21612 xy BCyxm设直线的方程为将其代入椭圆方程 得一元二次方程 22221 34()48,120, 2 xxmxmxm即 则 12 xx与是该方程的两个根， 由韦达定理得 12 ,xxm 于是 1212 13 ()2, 22 m yyxxm B，C 的中点坐标为 3 (,). 24 mm 又线段 BC 的中点在直线 3 21,1,4. 4 m yxmm上得 即 B，C 的中点坐标为（2，3） ，与点 A 重合，矛盾 . 不存在满足题设条件的相异两点. 二 中点弦问题 例 1、过椭圆1 416 22 yx 内一点)1 ,2(M引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线 的方程。

解：设直线与椭圆的交点为),( 11 yxA、),( 22 yxB )1 ,2(M为AB的中点4 21 xx2 21 yy 又A、B两点在椭圆上，则164 2 1 2 1 yx，164 2 2 2 2 yx 高中数学 两式相减得0)(4)( 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 于是0))((4))(( 21212121yyyyxxxx 2 1 24 4 )(4 21 21 21 21 yy xx xx yy 即 2 1 AB k，故所求直线的方程为)2( 2 1 1xy，即042yx 例 2、已知椭圆1 2575 22 xy 的一条弦的斜率为3，它与直线 2 1 x的交点恰为这条弦的中点 M，求点M的坐标 解：设弦端点),( 11 yxP、),( 22 yxQ，弦PQ的中点),( 00 yxM，则 2 1 0 x 12 021 xxx， 021 2yyy 又1 2575 2 1 2 1 xy ，1 2575 2 2 2 2 xy 两式相减得0))((75))((25 21212121 xxxxyyyy 即0)(3)(2 21210 xxyyy 021 21 2 3 yxx yy 3 21 21 xx yy k3 2 3 0 y ，即 2 1 0 y 点M的坐标为) 2 1 , 2 1 (。

变式训练1、已知椭圆1 2575 22 xy ,求它的斜率为3 的弦中点的轨迹方程 解：设弦端点),( 11 yxP、),( 22 yxQ，弦PQ的中点),(yxM，则 xxx2 21 ，yyy2 21 又1 2575 2 1 2 1 xy ，1 2575 2 2 2 2 xy 两式相减得0))((75))((25 21212121 xxxxyyyy 即0)(3)( 2121 xxxyyy，即 y x xx yy3 21 21 高中数学 3 21 21 xx yy k3 3 y x ，即0yx 由 1 2575 0 22 xy yx ，得) 2 35 , 2 35 (P) 2 35 , 2 35 (Q 点M在椭圆内 它的斜率为3 的弦中点的轨迹方程为) 2 35 2 35 (0 xyx 变式训练2、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F的椭圆被直线23:xyl截得的弦的 中点的横坐标为 2 1 ，求椭圆的方程 解：设椭圆的方程为1 2 2 2 2 b x a y ，则50 22 ba 设弦端点),( 11 yxP、),( 22 yxQ，弦PQ的中点),( 00 yxM，则 2 1 0 x， 2 1 23 00 xy12 021 xxx，12 021 yyy 又1 2 2 1 2 2 1 b x a y ，1 2 2 2 2 2 2 b x a y 两式相减得0))(())(( 2121 2 2121 2 xxxxayyyyb 即0)()( 21 2 21 2 xxayyb 2 2 21 21 b a xx yy 3 2 2 b a 联立解得75 2 a，25 2 b 所求椭圆的方程是1 2575 22 xy 变式训练 3. （13 年新课标1（理） ）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的右焦点为 (3,0)F, 过点F的直线交椭圆于,A B两点 . 若AB的中点坐标为(1, 1), 则E的方程 为（）（） 高中数学 A 22 1 4536 xy B 22 1 3627 xy C 22 1 2718 xy D 22 1 189 xy 解析：设,A B两点的坐标分别为 1122 (,),(,)xyxy，则有 222222222222 1122 ,b xa ya bb xa ya b两式相减得 22 12121212()()()()0.bxxxxayyyy 又AB的中点坐标为(1, 1)，所以 1212 2,2xxyy，代入上式得 2 2212 12122 12 2()2()0 yyb bxxayy xxa ， 而直线AB的斜率为 2 12 2 12 0( 1)11 ,. 3 122 yyb k xxa 由右焦点F（3,0 ）知： 22 3,9cab 由得 22 18,9,ab曲线 E的方程为 22 1. 189 xy 故选 D 三 弦长问题 例 1.（10 辽宁理）设椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，过点 F 的直线与 椭圆 C 相交于 A， B 两点，直线l 的倾斜角为60o, 2AFFB. (I)求椭圆 C 的离心率； (II)如果 |AB|= 15 4 ，求椭圆C 的方程 . 解：设 1122 (,),(,)A xyB xy，由题意知 1 y0， 2 y0. （）直线l 的方程为3()yxc，其中 22 cab. 联立 22 22 3(), 1 yxc xy ab 得 22224 (3)2 330abyb cyb 解得 22 122222 3(2 )3(2 ) , 33 bcabca yy abab 因为2AFFB，所以 12 2yy. 高中数学 即 22 2222 3(2 )3(2 ) 2 33 bcabca abab ? 得离心率 2 3 c e a .。