2021-2022学年八年级数学下册训练05数形结合之反比例函数与几何综合专练（解析版）（苏科版）.pdf
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专题0 5数形结合之反比例函数与几何综合专练（ 解析版）错误率：易错题号：一、单选题1. （ 2021•江苏丹阳•八年级期末）在平面直角坐标系中，已知点/ （ 3, - 1 ） , 点 8 （ 1, 2） , 连接Z 8 ,将线段4 8 绕点/ 顺时针旋转45 后并延长至点C ,使得4 C = 6 4 B ,若反比例函数y = ' 经 过 ZC 的中X点，则上的值为（ ）A. - B. — C. - D . —2 4 4 2【 标准答案】B【 思路指引】过点8 作 Z 8 的垂线交力C 的延长线于点”，由旋转45 和可以推断/8 C 是等腰直角三角形，过点8 作y 轴的平行线，过点C、/分别作x 轴的平行线交于点尸和点区 由K 型全等求出点C 的坐标，从而得到点的坐标，从而求出反比例函数的比例系数% .【 详解详析】解：如图，记 / C 的中点为点过点8 作 Z 8 的垂线交/ C 的延长线于点〃,nU}ABH=90°, aBAC=45°,是等腰直角三角形，且AH=42AB,AC=y[2AB,点 C 和点，重 合 , AB=BC,过点8 作y 轴的平行线，过点C、/ 分 别 作 x 轴的平行线交于点尸和点E,FBC+CABE=900, FBC+ FCB=90°,FCB=l ABE,又 AB=BC, F= E=90°, □ 匚 FC8口 EBA {AAS)9□ FC=BE, BF=AE,□ 4 (3, -1), B (1, 2),□ 4E=2, BE=3,□ CF=3, BF=2,□ C (4, 4),7 3/ c 的中点。
为 ( °,反比例函数尸&经过x c 的中点• X7 3 21k=-x — =—— .2 2 4故选：B.【 名师指路】本题考查了等腰直角三角形的判定和三角形全等模型型全等，以及反比例函数比例系数k 的几何意义，本题的关键是要学会由旋转45 和 / = 血 / 8 证明三角形/8 C 是等腰直角三角形，然后利H1K型全等得到点C 的坐标.2. (2021•江苏•仪征市第三中学八年级期末) 如图，在平面直角坐标系中，正 方 形 的 顶 点 N、分别在x 轴、y 轴上，反比例函数y=" ( 火>0,x>0)的图像经过正方形顶点C , 若点力 ( 2, 0)、£>(0, 4 ) , 则发X= ()A. 24 B. 18 C. 20 D. 12【 标准答案】A【 思路指引】根据全等三角形的判定方法可得A/O OMC求出C 的坐标，代入y = A( Z>o,x>()), 利用待定系数法X求出k. 【 详解详析】作 CA/Hy轴于A / , 如图,由正方形的性质可知4 ，DJZ)C=90o,ADO+JDAO=LADO+ CDM,nnDAO= CDM,在△ 4 0 中，QDDAO=nCDMf UAOD=UDMC=90°f AD=CD ,DQAODUCDMC (AAS),G0A=DMf OD=CM,□ 点 4 (2, 0)、D (0, 4),□ OZ=2, 00=4,DCM=OD=4f OA/=2+4=6,□ C (4, 6),反比例函数y J(* > 0 ,x > 0 )的图象经过正方形顶点C,X□ 1 x 6 = 2 4 .故选A.【 名师指路】本题主要考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质等知识，求出 。
点坐标是解题的关键.k3. (2021•江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中) 如图，点A在反比例函数y = ；(x<0温 <0) 的图象上，点 B, C 在反比例函数y = § (x > 0 & >0) 的图象上，A8//X轴，C D L x轴于点交A 8于点CE 4E . 若 ,A 5C 与△O 3C的面积之差为4 , —则占的值为( )DE 5 A . - 7 B . - 8【 标准答案】D【 思路指引】C . - 9D . - 1 0设 9=4/,则 E = 5 / , 利用反比例函数图象上点的坐标特征得到C ( 岁 ，9 Z ) , 8 ( 孥 ，5 f ) , A9t 5t 5t50,再根据三角形面积公式得 到 ; x (§ -3)x 4 L ) x 9 f ( 孥 - 岁 ) =4,然后化简后可得到的值.2 5 f 5 r 2 5 f 9t【 详解详析】解：设 C E = 4 f , 则 £> E = 5 f ,k点 、 B, C在反比例函数y = ； ( x > 0 & > ) 的图象上，AB x 轴，CD x 轴，C ( — , 9 / ) > B ( — , 5t ) ,9t 5tA (— , 5 r ) ,5 /ABC 0 8 c 的面积之差为4 ,= 4 ,□ 左 / = T 0 .故选：D .【 名师指路】本题考查了反比例函数反比例系数我的几何意义：在反比例函数y = & 图 象 中任取一点，过这一个点向xX轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值园. 也考查了反比例函数图象上点的坐标特征.4 . ( 2 0 2 1 •江苏宜兴•八年级期末) 如图，平行四边形0 / 8 C 的顶点Z在x 轴的正半轴上，点 。
4 , 3 ) 在对角线08上，反 比 例 函 数 尸 & ( % > 0 , x>0)的图象经过C 、两点. 已知平行四边形 / 8 C 的面积是XO Q寸 ，则点8的 坐 标 为 ( ) 【 标准答案】C(6, | )C. ( y . 4)c /28 21、D . 1y )【 思路指引】12 3 12根 据 点 明 3） 先 分 别 求 出 反 比 例 函 数 呻 不 直 线 8 的解析式为 尸 产 设 一〃，丁，且 心 0,由平行四边形的性质得B C H OA, S平 行 业 彩OABC=2SAO B C ,则 8 （ ： , 12、 八 八 16 、 Kd一 ） ,B C =- - a,代入面积a公式即可得出结果.【 详解详析】解： 反比例函数、 =4（ k>0, x > 0 ）的图象经过点 （ 4, 3） ,X匚 3 = %k = n ,12反比例函数y = 一xO B经过原点O,设O B的解析式， 为y=mx,O B经 过 点D (4, 3),贝 ! ] 3 = 4m,430 8的解析式为y= 7丫 ，12反比例函数y = 一 经过点C,x12□设 C （ a , — ） , 且 a> 0,a四边形ON8。
是平行四边形,28BC // O A » S 平行四边形0ABC= 2 S^ OBCu , 12 14点 8 的纵坐标为一 ，SAO B C = fa3践的解析式为尸 片 ,12 3□将歹= 一 代入 > = 一 % ，得:a ' 412 3一a = 74X,解得：x =一，aB ( - , - ),a a16BC =—a[0 1AS ^ 0 B C = ；义— x ( - - a )2 a a14T解得：a = 3 或 =-3 （ 舍去） ,B (― , 4),3故选：C.【 名师指路】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积计算等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.5. （ 2021 •江苏省盐城中学新洋分校八年级月考）如图，一次函数y = 2x + 2 与 x 轴、y 轴分别交于力、B两点，以AB为一边在第二象限作正方形ABC反比例函数y = ± （ k x O ）经过点则上的值是X【 标准答案】A【 思路指引】作 尸 ZJx轴于点尸，先求出力、8 两点的坐标，故可得出0 8 = 2 , 0 A = \ ,再 根 据 定 理 得 出 O A B 凡 。
4可 得 出 尸的长，进 而 得 出 点坐标，把 点坐标代入反比例函数的解析式求出左的值即可.【 详解详析】令y = 0 ,则 x = “，即 力( - 1 , 0 ) ,则 0 8= 2 , 0 4 = 1 ,UDBAD= 90° ,U n B A O + 3 D A F = 9 0 °f□ ME U 8O 中 ，Q B A O +JrOBA= 90°fU U D A F =J 0 B Af在 「0 4 8与 产 彳中，ZD A F =Z0 B A＜ ，B 0 A = N A F D ,A B =A Dn n O A B Q J F D A (AAS)fQ A F = O B = 2 , D F =O A = \f口 » = 3 ,□ D ( - 3 , 1 ) ,点 Q 在 反 比 例 函 数y = & ( 小 ) ) 的图象上，X□ 1 ,解得％= - 3 ；故 选 :A.【 名师指路】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到的知识点有全等三角形判定与性质以及一次函数图像与坐标轴的交点问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键. 6 . （ 2 0 2 1•江苏•常熟市实验中学八年级月考）如图，设点尸在函数＞ =' 的 图 象 上 ，PC，x轴于点C,交XL L P C 5函数的y = - （ x ＞o ）图象于点Z,加 -L y轴于点，交函数y = - （ x ＞。
） 的图象于点8 .—= - ＞ 如果四边x x A C 2形P A O B的面积为3,则机的值为（）【 标准答案】A【 思路指引】p c 5设点P的坐标为P ( 5 a , 5 b ) ( a > 0力> 0 ) ,从而可得P D = O C = 5a ,OD = P C = 5 b ,再根据失=g求出点A的坐标为A( 5 a , 2 b ) ,从而可得k = 1 Oa b >然h ； 求H '点8的坐标, 最后根据S & . , ℃ + S & BOD + S叫^KPAOB ~ ^, OCPD可求出必的值，由此即可得出答案.【 详解详析】解：山题意得：四边形O CPO是矩形，:.P D = OC,OD = PC ,设点 P 的坐标为 P (5a ,5b ) (a > 0力 > 0 ) ,则 P D = O C = 5a ,OD= P C = 5b ,P C 5二 ，A C 2:.AC = ^ P C = 2 b ,A(5a , 2 b ) , A C = 2 b ,将点 A( 5 a , 2 6 )代入 y = 4 得：k = \ 0a h ,X对于函数y = A,X当 y = 5〃 时，x = — = 2a,即 8( 2 a , 5 b ) , 8 0 = 2 a ,5bSRI AOC + SRI BOD + S四 边 形P AOB = S OCP D ,目. 四边形P A O B的面积为3 ,. 二 ；x 5。
♦ 2匕 + ； x 5匕 • 2 + 3 = 5 〃 • 5 〃， 解得必= ，将点 P （ 5a ,5b ）代入 y = 竺得：m = 2 5a b = 25x1 = 5,x 5故选：A.【 名师指路】本题考查了反比例函数与儿何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.7 . （ 2021•江苏•常熟市实验中学八年级月考）如图，平行于x 轴的直线分别与反比例函数必 = & （ 》 ＞0） ,为 = 幺 （ 》 ＜0） 的图象相交于M，N 两点，点尸为x 轴上的一个动点，若 PMN的面积为x x2 . 则左一& 的值为（）【 标准答案】C【 思路指引】设点M的坐标为M（ a,& ） （ a ＞0） , 从而可得点N的坐标和MN的长，再利用三角形的面积公式即可得.a【 详解详析】解：由题意得: 勺＞ 0,& ＜0,设点M的坐标为＞ 0） ，则点N的纵坐标为勺,a a对于函数为= 2 ,X当月 =“ ■ 时 ，-2- = — ＞解得》 = 牛，a x a «|...N侬 ,与 ，MN = a & = ^ ^ ,k、a k、 k、MN//x轴，点P 为无轴上的一个动点，:./\ P M N的MN边上的高为4 ,又： PMN的面积为2, .,. -1 - -a-（-k-「- -k-2-）- -k-, = z2 k、 a解得…=4,故选：C .【 名师指路】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.8 . （ 2 0 2 1・ 江苏•连云港市新海实验中学八年级期末）如图，以矩形O A B C 的顶点。
为坐标原点建立平面直角坐标系，使点/、C分别在x 轴、y轴的正半轴上，双曲线y = ? x > 0 ） 的图象经过B C的中点D且与A B 交于点E.过OC边上一点E 把 A B C / 沿 直 线 即 翻 折 ，使点C落在点C ' 处 （ 点C ' 在矩形O A B C 内部，且C E / / 5 C , 若点C ' 的坐标为（ 2 , 3 ） ,则上的值为（）C.39~2D.3 9T【 标准答案】D【 思路指引】首先证明点£是 线 段 的 中 点 ，设 BC= BC= m,则 E C =〃?- 2 . 在 & B E C 中 ,根据 8 2 =8 炉+ £ ： 2 , 构建方程求出m即可解决问题.【 详解详析】解：连接 OD、O E . 设 BC= BC'= m,则 EC'=M-2.CD= BD,SACDO=* = 矩形ABCD,S^ A OE= y =SACDO= i S ^ A B C D , AE=EB,□ C (2, 3),□ AE=EB=3,在 REBEC中,JBC,2=BE2+EC,2,□ w2=32+ (m-2) 2,13m=一 ,413E k - 3),4点 £ 在丁 = " 上 ，xf39k=— ,4故选：D.【 名师指路】本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、翻折变换、勾股定理等知识，综合性较强，学会利用参数构建方程解决问题.9. (2022•江苏启东•九年级期末)如图， 。
4百 ， 4 4 刍 ，……是分别以A , A,, A3, …为直角项点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C2(x2,j2),C3(x,,y3) , ……，均在反比例函数y = % x > 0 )的图象上，则弘+ 必+ +% 22的 值 为 ( )A. 27 2021 B. 2J2022 C. 4,2021 D. 4^2022【 标准答案】B【 思路指引】根据点 的坐标，确定)〃 ，可求反比例函数关系式，由点C/是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到0 4 的长，然后再设未知数，表 示 点 的 坐 标 ，确定”，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定”. . . . .然后再求和.【 详解详析】解：如图，过 C/、C2、G ……分别作x 轴的垂线，垂是分别为£ > / 、6、D3…… 则 NOR G = N O D2 c 2 = N O D3 G = 9 0片是等腰直角三角形,幺 用=45 °• *- N OC] D1 — 45/ . O DX = C | £ > ( ,4其斜边的中点G ( 与, 弘)在反比例函数y = ：( x > 0 )中，G ( 2 , 2 ),即y = 2 ,/ . OD\ = D A = 2 ,。
4 =2 0D] = 4,设 4 4 = 〃 ， 则 C2D2 = a4此时将G ( 4 + 〃 M代入y = 一得xa ( 4 + a ) = 4 ,解得 a = 2 \ / 2 — 2 ,即 y2 = 2 > / 2 — 2 ,同理 ％ = 2 g - 2 a ,%=24-2点• • , +%+ + %022= 2 + 20-2 + 2石 -2点 + . . . . 2 ) 2 0 2 2 - 2逝0 2 1=2 , 2 0 2 2故选：B .【 名师指路】 考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案.10. （ 2021•江苏新吴•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点 E 是x 轴上一点，连接AE、B E ,若 AD平分/O A £ ,反比例函数》 = £（ % <0,x<0）的图像经过AE上的点A 、5，且= 的面积为1 8 ,则上的值为（）A. -6 B. -12 C. -18 D. -24【 标准答案】B【 思路指引】连接8。
O F ,过点力作于N , 过点尸作尸A/J_OE于证明推出S A JO £=18,推出S4EO F=SZUOE=9,可得S△尸M E = 3 ,由此即可解决问题.【 详解详析】解：如图，连接8，O F ,过 点 / 作 NN_LOE 于 N , 过 点 尸 作 尸 丁 加 .•JAN //FM , AF= FE,： .M N = M E,； . F M =』AN ,• ： A, F 在反比例函数的图象上，:. S 2 A O N = S A F O M ,： .ON -AN = -OM -FM ,： . O N = ^ O M ,/. O N = M N = E M ,： . M E ^ - O E ,3:.S F M E = = S4FOE,3平分/OZE, ： ・NOAD=NEAD,• ・, 四边形力8 8 是矩形，：.OA = ODf：. ZOAD= ZODA = ZDAE,：.AE//BDf：.S/\ABE=S^\AOE,.\SA ^0E =18,•: AF=EF,：.SAEOF=S4AOF= 9,:・SXFME=3,：.S/\FOM=SAFOE - S/\FME=9 - 3 = 6,-OM .M F = 6 ,2□点尸在第二象限，.\k= -12.故选：B.【 名师指路】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，解题的关键是证明8。
〃/ 区利用等积法求出三角形面积.二、填空题11. （ 2021•江苏靖江•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形O4BC的顶点与原点重合，顶点 Z, C 分别在x 轴，y 轴上，反 比 例 函 数 （ ％ >0,x>0） 的图像与正方形的两边AB, 8 c 分别交于X点 、 M , N,连接 OM, ON , MN , 若 W O N = 45 , MN = 4 ,则％ 的值为 . B【 标准答案】4 0 + 4【 思路指引】由反比例函数y = "(Z>0,x>0)的图象与正方形的两边A 3 、BC分别交于点M 、N ,易证得CV = A M ,即x可得A a W w A M ,可得ON = OM ,然后作AE_LOM于 E 点，易得AONE为等腰直角三角形，设NE = x ,则0 N = J 5X，由勾股定理可求得x 的值，继而可设正方形ABCO的边长为则OC = a,CN = a-2叵 ,则可得到点N 的坐标，继而求得答案.【 详解详析】解：点M 、N 都在反比例函数y/ (&>0/>0)的图象上，XS w = 权 ，即 ; OC . NC = ； 4 . AM ,. •四边形ABC。
为正方形，:.OC = OA, ZOCN ZOAM =90°,:.NC=AM ,在AOCN和AQ4M中,OC = OA< /OCN = NOAM ,CN = AM:.AOCN = /^OAM(SAS);：.ON = OM ,作人石_LOM于 E 点，如图, .•.△ ONE为等腰宜角三角形，:.NE=OE,设NE = x , 则ON = & x ，OM=y/2x>EM = >/2x - x = (V2 - l)x ,在 .RfANEM 中 ,MN = 4,MN2 = NE2 + EM2, 即4 W + K 夜 -IM ,.-.x2 =4(2 + 7 2),， 0解 =(缶 )2=8(2 + 扬 ，CN = AM , CB = AB,BN = BM ,二 .ABMN为等腰直角三角形，:.BN= — MN = 2y/2 ,2设正方形ABC的边长为〃，则OC = a , CN = a-242,在放△OCN 中，OC? +CN2 = ON°,a2+ (a-2V2)2 = 8(2 + 伪 ，解得q = 2 公 + 2 , / = - 2 ( 舍去) ，:.OC = 2近 + 2 ,,-.BC = OC = 2X/2+2 ,:.CN = BC-BN = 2,点坐标为（ 2, 2夜 + 2） , 将点N代入反比例函数y = £ 得：k = 4血 + 4 ，X故答案为：4夜 + 4 .【 名师指路】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算.1 2 . （ 2 0 2 1•江苏•南京市金陵汇文学校八年级月考）如图，在四边形A B C £ >中，A C _ L B £ >于点E , BD//x1 ?轴，点A,点。
在函数y = —* > 0 ）的图象上. 若△A B E与△（ ? £ > £的面积之比为1 ： 2 ,则A B C的面x积为.0 C X【 标准答案】3【 思路指引】根据题意设A（ 吟4） 8 E = c ,然 后 将A B E H解/ 8 C的面积即可.【 详解详析】1 2解：由力 匚5 0 , 5口工轴，点4点 在函数y = 一X设 ｛ 吟） , 0［ 吟） 诋 刑 有 ：_ l f l 2 1 2 > 1 、1 2$ 母= 5〔 了 一 了 卜 ’SCDE=那 一 了□ 与n C Q E的面积之比为1 ： 2 ,（ 1 2 1 2、 l z , 、1 2 c 1匕 一 句 "蜜 …） 力解 得 : 『5 'C D E的面积表示出来，然后利用整体思想进行求（ x > 0 ）的图象上， c 1 12 1 IC C / 1 cS ABC = — x — ・c = - x 12x — = ox — = 3.2 a 2 a 2故填3.【 名师指路】本题主要考查反比例函数与几何的综合，设出点坐标、表示出三角形的面积、求出£ =(是解答本题的关键.13. (2021•江苏•南通田家炳中学一模) 如图，双曲线y = A (x<0)经过RffiNBC的两个顶点N、C, UABCX=90。
，48//X轴，连接0 4 将 R Q /8 C 沿 ZC 翻 折 后 得 到 夕C , 点夕刚好落段1上，连接 C,OC恰好平分4 与x 轴负半轴的夹角，若 RfL148C的面积为3 , 则 左 的 值 为 .【 标准答案】 -12【 思路指引】过点C 作 CD x 轴于点根据折叠的性质可得C O = C 9 = C B ,设 2 (x, 2y) ( x < 0 ) ,则 C (x, y),A B = a ,则/ 点坐标为：( x+a, 2 y ) ,带入到解析式中求解即可；【 详解详析】解：过点作 8 8 轴于点将 R f148c沿 ZC 翻折后得到। N 夕C , 点夕刚好落段4 上，连接 C, OC恰好平分0 4 与x 轴负半轴的夹角，nnCB'A=900, CB=CB',□ CD=CB，=CB,设 8 (x, 2y) ( x < 0 ) ,则 ( x, y), A B = a ,则/ 点坐标为：( x+ ，2y),U2y (x+a) —xy,整理得出：a= - yx,x+ a= ^xfAB= - BC=y, □ - xy=l2,口 人 = -1 2 .故答案为： -1 2 .【 名师指路】本题主要考查了反比例函数的图象性质，结合折叠的性质求解是解题的关键.1 4 . （ 2 0 2 1 •江苏吴江•二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形/ 8 C O 的顶点/ 、C分别在x 轴和y轴的正半轴上，点 工 （ 1 , 0 ） ,点 C （ 0 , 5 ） ,反比例函数的图象经过点B,则％的值为— .【 标准答案】9 .【 思路指引】过 8作轴于E , 轴于尸，则口臣尸= 9 0 。
，根据正方形的性质得到, 4 8 = 8 C , N 5 C = 9 0 ，根据全等三角形的性质得到8 E = 8 尸 ，AE=CF,从而证得四边形O E 8 F 是正方形，设正方形O E 8 尸的边长为加，则 / £ = " ? - 1 , CF=5 - i n ,由 " ? - 1 = 5 - 加，求得" ? 的值，求得8的坐标，即可得出结论.【 详解详析】过 8作轴于E , 8 凡Ly 轴于尸，则 / £ 8 尸 = 9 0 ° ,• • •四边形N 8 C D 是正方形，：.AB=BC, ZABC=90° ,：.ZEBF=ZABC=90° ,/ABE=NCBF, 在△XBE和△C8尸中,/ABE = NCBF， NAEB = ZCFB = 90° ,AB = BC： ./\ABE^/\C BFkAAS),:.BE=BF, AE=CF,，四边形 仍尸是正方形，设正方形OEBF的边长为m,• . , 点 4(1, 0 ) , 点 C(0, 5),OA - 1, OC=5,.".AE=m - I, CF=5 - m,'.m - 1 =5 - m,• • rti ~~ 3,.*.5(3, 3),• . •反比例函数的图象经过点8,二 左 = 3X 3=9,故答案为9.【 名师指路】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线.215. （ 2021•江苏•景山中学八年级期末）如图，已知点Z 是双曲线尸一在第一象限的分支上的一个动点，x连 结 并 延 长 交 另 一 分 支 于 点 8 , 以为边作等边口力8。
，点 C 在第四象限. 随着点4 的运动，点 C的位置也不断变化，则三角形N8C面积最小值等于 . 【 标准答案】【 思路指引】根据等边三角形的面积求解公式可知当最小时，三角形7 1 8 c 面积最小，即 在 一 、三象限角平分线上时为所求，故可求解.【 详解详析】依题意可得当A B最小时,三角形Z 8 C 面积最小，此 时 在 一 、三象限角平分线上，即 尸联 立 ） X,解得 厂或 厂7= X W [ y = - ， 2Z （ 灰 ，梃 ） ，B （ - 0 , -yfl ）”4 0 +可+（ 员可=4三角形A B C面积为 立 / = @ x 4 2 = 464 4故答案为：4 G .【 名师指路】此题主要考查反比例函数与儿何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、一次函数与反比例函数的特点.1 6 . （ 2 0 2 1 •江苏梁溪•八年级期末）如图，矩形A B C 的边B C 在 x 轴上，点E是对角线8 的中点，函数2y = 4的图像经过4E两点，若N A 8 D = 4 5 ,则直线B D 所对应的函数表达式是x z【 标准答案】y= x-i【 思路指引】当 NABZ) = 45° 时，AB = BD , 设点 A 坐标为(a,— ) ,则 8(a,0), D(aH■—,— ) ,即可得到点 E(a + ,，— ) ,a a a a a代入y = W2 即可得到(a +i 3 」1= 2 , 解得a = l , 即可得到5 、。
的坐标，然后根据待定系数法即可求得直x a a线 8£＞ 的表达式.【 详解详析】解：/45£) = 45 时，A B ^ A D ,矩形4 3 a ＞ 是正方形，设点 A 坐标为( 〃 , 2 ) , 则 B(a,O), D(« + - ,- ) ,a a aE 是对角线8的中点，.•・点 E(a + /2函数y = —的图像经过A、E 两点，X. • ./( + —1)、—1 二 C2 ,a a解得 =1 ( 负数舍去) ，.•.8(1,0), 0(3,2),设 直 线 的 解 析 式 为 y= 依+ 人,% + 匕=0k = l3k+b = 2b = -l,解得・• • 直线5的表达式为y = x -i,故答案为y = x -i.【 名师指路】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正方形的判定和性质,表示出点的坐标是解题的关键. 1 7 . ( 2 0 2 1 •江苏梁溪•八年级期末) 已知点4 2 , 0 、8 - 3 ) 都在函数的图像丫 = 子 上 ，若将这个函数图像向左平行3 个单位长度，则曲线A B 所扫过的图形的面积是.【 标准答案】9【 思路指引】将 A、8 两点代入函数解析式，求出A ( 2 、- 6 ) 、8 ( 4 , - 3 ) , 根据平移法则求出平移后4 ( - 1 , - 6 ) 、" ( 1 , - 3 ) , 求出平行四边形ABEW的面积即是曲线A B 所扫过的图形的面积.【 详解详析】解：将 A、8两点代入函数解析式y = *，得：a = -6, 6 = 4 ,: . A ( 2 、- 6 ) 、8 ( 4 , - 3 ) ,・ •・ 向左平行3个单位长度后A 的对应点A X- 1 , - 6 ) , B的对应点8 ' ( 1 , - 3 ) .； • 平 行 四 边 形 的 底 = 3,高=一3 - ( - 6 ) = 3 ,• • ・平行四边形A B M A ' 的面积= 3 x 3 = 9,• • •曲线A B 所扫过的图形的面积= 平行四边形ABBA的面积=9 .故答案为：9 .【 名师指路】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的面积计算和图形的平移，解题的关键是：将所求图形的面积转化为平行四边形的面积.1 8 . ( 2 0 2 1 •江苏盐城•八年级期末) 如图，平行四边形Z8 C 。
的对角线Z C 、O B 交于点、 D ,反比例函数y= — ( x > 0 ) 的图像经过Z 、O 两点，若 平 行 四 边 形 的 面 积 是 1 2 , 则％=.【 标准答案】4【 思路指引】过 4作 Z E于 E,过 尸 0 c 于尸，如图，设 / ( x , -) , C (a , 0 ) , 根据平行四边形的性质得到 根 据 三 角 形 的 中 位 线 得 到 尸得到EF= ； ( a- x ) , 进而求出0点坐标，根z 7 r 乙 据平行四边形的面积是1 2 ,于是得到结论.【 详解详析】解：过/ 作于E ,过 作OE OC于尸，如图,设 Z (x, - ) , C (a, 0),X四边形/ OCB为平行四边形,AD=CD,DF为/C E的中位线，.D F = 3 A E = L2 2xE F = g (a-x), O F = O E + E F = ^^2 9匚 点在双曲线上,□a=3x,平行四边形的面积是12,□JE*(9C=12,即4 z=12,Xk--3x=12,x□ 攵=4.【 名师指路】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义：在反比例函数y =勺图象中任取一点，过这一个点向x. X轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|朴也考查了平行四边形的性质. 1 9 . ( 2。
2 1•江苏扬州•三模) 如图所示，已知/ ( 1 , 9 ，B ( 3 , R为反比例函数仪图象上的两点,动点P( x , 0 )在x轴正半轴上运动，当线段/ P与线段8 P之差达到最大时，点P的 坐 标 是 .【 标准答案】( 4 , 0 )【 思路指引】先求出4 8的坐标，设 直 线 的 解 析 式 是 产 后+ 6 ,把 / 、8的坐标代入求出直线的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在，/ B P44, \ AP -BP \ 分别落在y轴、x轴上，双曲线y =一 经 过 的 中 点E ,若O C = 3 ,则左的值为x x【 标准答案】2【 思路指引】设A点坐标为（ 凡力，则k= 必 ，用b的代数式表示8、D、E坐标，根据双曲线y = 与经过AD的中X点E,列方程求出匕=2,再由矩形A 8 C对角线相等列方程求出即可得A坐标，从而求出％ .【 详解详析】解：设A点 坐 标 为6 ） ,则％ =必 ，y = — ,如图，X过点A作A M _ L %轴于点M ,过点8作5 N _ L y轴于点N ,过点E 1作£尸J _ x轴于点尸，四 边 形 是 矩 形 ，/. A D = B Cf ZADA/ + ZCDO = 90o, ZBC7 V + ZDCO = 90°,ZCDO + Z ） CO = 90°,:.ZADM + /BCN = 90 ,ZADM + ZZ^AM= 90° ,:.ZBCN = ZDAM ,在A A D M和A C 8 N中, ZDAM = NBCN< /AMD = NCNB = 900 ,AD = CB:./SADM ^/^CBN(AAS),:.CN = AM =b, BN = M D ,0C = 3,:.ON = 3-b ,即为 二 人 一 3 , 且 6 在丁 =— 图象上,Xn/ ab ,—B(:-- , b — 3)fb-3.,.BN = DM = XBk 兴,3-b点七是AO的中点，ab 八 「 ab 八 一 abMF =------- , OF = a +---------, OD = a-\---------,6-28 6-2b 3-bEV ab 1 ,.a+f再k双曲线y = 一经过AD的中点£,x• S 急夕3解得- 2 ,.•.A(©2), B(-2a, -1, Q(3a,0),而 C (0 ,-3 ),且矩形 ABCD有 AC = 8D,(a-0)2 +(2 + 3 -=(-2a-3a)2+(-l-0)2,解得” =1或 a = T ( 舍去) ，.•.4 1 ,2 ),代入y = ± 得：k = 2.X【 名师指路】本题考查反比例函数、矩形的性质及应用，解题的关键是设4 。 力） ，用6 的代数式表示8 、D、E 坐标列方程. 三、解答题21. （ 2021•江苏新吴•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，B、C 两点在轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形A B C D,顶点A 在正比例函数y = 2X的图像上，反比例函数f > 0次> 0）的图像经过点A , 且与边CD相交于点E.（ 1）若 3c = 4 , 求点E 的坐标；（ 2）连接AE, OE.□若△AOE的面积为2 4 ,求女的值；口 是 否 存 在 某 一 位 置 使 得 若 存 在 ，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【 标准答案】（1）点E 的坐标为（6,g ）； （ 2） ： * = 18； （ 3） 口不存在. 理由见解析.【 思路指引】（1）先求出A点的坐标，然后代入反比例函数中求出k ,再求III4 = 6 , 代入反比例函数解析式即可；（2） 设A（a,2a） （ a>0）, 则可推出然后由S“尸得至”梯囱睚=$揖第=24, 即可求I II a2 = 9 > 从而求解;当AEJ_O A,可证△OA8=△" £ > , 得到OB = Q E ,则 由 可 知 ，A（a,2a） （ a >0）, 则点专 ） 则O B = a, D E = 2 a - - = — , a = 色 得 a = 0 , 由此求解即可.3 3 3【 详解详析】（ 1） 在正方形ABC。 中，AB = B C = 4,/ 点的纵坐标为4,A在直线y = 2x上，4 = 21八 ,4 = 2 ,□ A（2,4）, QOB=2fA（ 2,4）在y = A的图像上，X4“ = 一k，2k =8,Q反比例函数解析式为y = &,XOC = OB+BC = 6,x£. = 6 ,O Q A将 /= 6代入y = 2中，得：y£ =- = - ,x 6 3点E的坐标为（ 6,gJ；（ 2）设 A（ a,2a） （ a>0） ,k2 = — , OB = ci, AB = BC = 2aa□ Z = 2 / , OC = OB + BC = 3a ,k 2a2 2yE = - = —- = -a ,' xE 3a 3= ] = 〃 ~，S& C O E =~2=CI 9S梯 形A B C E = S& AO E = 24 ,1 2ay c 〜一x 2a -\----I x 2a = 242 I 3 J解得a2 = 9 rk = 2a2 = 18 ：不存在，理由：四边形4 5 co是正方形，QAB=AD,ZABO = /BAD = Z£>=90°AELO A, /。 4 8 + / 区4 £= 9 0 °,N Z M E + N 8 A E = 9 0 °，ZOAB = ZDAE△ O A B = △£< £> ( A S A ) ,OB=DE,由 , 可知，A ( a , 2 a ) ( a > 0 ) ,则点 E ( 3 a ,OB = a, D E^2a- - = —3 3a = 与 得a = 0k=0,k>0,口不符合题意，不存在.【 名师指路】本题主要考查了正方形的性质，一次函数，反比例函数，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.2 2 . ( 2 02 1 •江苏泗阳•八年级期末)如图，已知反比例函数y = "> 0 ) 经 过 Q 4 C 8 中A、5两点，直线AB交 旷 轴、x 轴于£ 两点.( 1 ) 若A、8两点坐标分别为A ( 2 , 3 ), B(6 ,b ),贝必=, b=；( 2 )若 A是 80 中点且％ =8,求O 4 C 8 的面积.( 3 ) 若％ = 1 2 , 是否存在菱形Q A C B , 其中A、8两点横纵坐标均为正整数，如果存在，直接写出此时C点坐标，如果不存在，简要说明一下理由.【 标准答案】（ 1 ） k = 6, b = \；S 菱 形 O A C 8 = 1 2 ； （ 3 ） C , （ 1 3 , 1 3 ） , G（ 8 , 8 ） , C , （ 7, 7） 【 思路指引】( 1 ) 使用待定系数法，先求出反比例函数h再求从(2 ) 先利用两点间中点坐标公式，求出对应点坐标，再利用反比例函数上的几何意义,( 3 ) 分别确定两点坐标，再利用坐标系内菱形坐标的特点代入求解.【 详解详析】解：(1 ) 将 / (2, 3 ) 代入反比例函数得，即 3 = 与 ，解得：k=6y6' y = - ,x将 3 (6, b ) , 代入y = 9 得，' xL 6 ।b= - = 1,6故答案为：6, 1.8 8(2 ) 设8 点坐标为(x B ,— ), 。 点坐标为(0, b), 4 点 坐 标 G 4 — ),XRXA点力是8的中点，0 + / 8 — +xA = — ^-f ~ = ^B_，A 2得 xZ = 乎 ，h= f2 xBSAOAD= y ^xA^yD=lx -^ -x —2 2 七=6,□ J 为 线 段 的 中 点 ，口 S O O = S O B = 6 ,S 芈行四边形OACB=2乂SAOAB'=12.( 3 ) 当％= 12时，且力、5 两点横纵坐标均为」 E整数,□ 12=1x12, 12=2x6, 12=3x4,匚有以下可能：口/ (1, 12), B (12, 1),此 时 C 点坐标为(1+12,12+1),即 (13, 13), UA ( 2 , 6 ), B ( 6 , 2 ),此时C点坐标为( 2 +6 , 6 + 2 ) , 即 ( 8 , 8 ),DA ( 3 , 4), B ( 4, 3 ),此 时 C点坐标为( 3 +4, 4 + 3 ) , 即 ( 7, 7).【 名师指路】本题主要考查反比例函数” 的几何意义和坐标系内中点坐标，解题关键是能够数形结合.2 3 . ( 2 02 1 •江苏徐州•八年级期末)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y / = 2 x 的图像与反比例函数_ F2 = " 的图像交于z ( - 1 , " )、B 两点.x( 1 ) 求人的值；( 2 ) 当勿 - ”<0 时，x的取值范围是 :( 3 ) 若 x 轴的正半轴上存在点尸，使得△ P A 8 的面积为1 , 求点尸的坐标.【 标准答案】⑴k = 2 ； ( 2 ) 或0 < x < l ；⑶ P ( g , O )【 思路指引】k( 1 ) 把 A ( — l, 〃 )代入乂 =— 2 x , 可得4 — 1 , - 2 ), 把 4 一 1 , 一 2 )代入％ = 上 , 即可求得左二2 ；x( 2 )根据点3与点A关于原点对称，即可得到3的坐标，观察函数图象即可求解；( 3 ) 设P ( r , 0)( / > 0),根据品 " = 3 •。 产 •( ％- ”)得到g ， ( 2 - ( - 2 )] = l , 即可求得/ = g,由此可求得畛 ).【 详解详析】解：⑴ 把 4 — 1 , 〃 )代入％ = 2 x ,得〃 =- 2 ,把 4 — 1 , 一 2 )代 入 % = 4,X 得- 2 = 二 ，— 1:.k = 2-.(2)正比例函数的图象与反比例函数的图象关于原点对称,□点A与点B关于原点对称，A ( - 1 , - 2 ),5 ( 1 . 2 ),由图象可知, 当x < - l或O v x c l时 , % < 必 ，当y - % < 0时，*的取值范围是x 的对称点为点，过 作直线/ 垂直于x 轴，点 P是直线/ 上一个动点，点 E在双曲线上，当 P 、E 、A, 8四点构成平行四边形时，求点E的坐标；口将点P绕点/ 逆时针旋转9 0 得点0,当点落在双曲线上时，求点的坐标.【 标准答案】（ 1 ） 5⑵ 产 上x44（ 3 ） 当 E点坐标为（ -]，1 5 ）或 （ 4, - 3 ）或 （ 1,- 9 ）时，以尸、E 、4 8四点构成的四边形是平行四1 2边形； 点 的坐标为（ 5 , -y ）【 思路指引】（ 1 ）如图所示，连接/C交y 轴 于 根 据 菱 形 的 性 质 可 得 4 c 口 0 8 , AJ= JC, OJ= BJ,由点C的坐标为（ 4, 3 ） ,得到 A/ = J C = 4, OJ= BJ= 3 , p l l ] Q C = y] OJ2+ J C2 = 5 ；（ 2 ）先求出/ 点坐标，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（ 3 ）分Z8为以P 、£ 、/ 、8四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可；过点/ 作AT PD 于 T ,过点作 Q? 4 T 于 R,先求出力4 9,然后证明u / PT 0 以 得 到 / 曰 ? 。 = 9 ,则 点的横坐标为5,由此求解即可.（ I ）解：如图所示，连接力C交y轴于J ,四边形O / 8 C 是菱形，A C OB, AJ= JC, OJ= BJ, 点C的坐标为（ 4, 3） ,UAJ=JC=4, OJ=BJ=3,解：□47 =JC=4, OJ=BJ=i,□点4的坐标为（ -4, 3） , 反比例函数y = & 经 过点/ （ -4, 3） ,XJt = -12,反比例函数解析式为y = - 上12；X（ 3）12解： 设 E 点坐标为（ 〃 z , -----） »mDOJ=BJ=3,□ 08=6,□ 5 点坐标为（0, 6） ,□ 点坐标为（0 ,-6 ） ,直线/ 为y = - 6,设尸点坐标为（ 〃 ，・6）当 4 8 是以尸、E、A. 8 四点构成平行四边形的对角线时，线段4 6 与线段PE的中点坐标相同，_6_126 + 3 — 6%,2 24m =- - ,4点 E 的坐标为（ - 二，15）；如图所示，当 4 8 为平行四边形的边时，即以f 、E、A. 8 四点构成平行四边形为A 3 E P 时，AE 4 B P的中点坐标相同，3.12m =6 -6 ,2 ~ 2m = 4 ,E '的坐标为（4 ,-3 ）；同理可以求出当为平行四边形的边时，即以R E、A, 8 四点构成平行四边形为ABy E "时，点E "的4坐 标 为 （ §，力） ；4 4综上所述，当E 点坐标为（- ］，15）或（4, -3）或 （ §, -9）时，以 P、E、A, 8 四点构成的四边形是平行四边形: E□如图所示，过点4 作力兀尸。 于 T , 过点作 0 ? 口/ 7 于 R,点力的坐标为(-4, 3 ) , 直线/ 为y = -6 ,□jr=9,UUATP= QRA=nPAQ=90°fUQR4T^UAPT=90°f dPAT^ QAR=90°fUQAPT=DQAR,又匚4尸 =Q4,UDAPTnnQRA (AAS)fQAT=RQ=9f0 点的横坐标为5,12□ 在反比例函数y = 上 ，X12为二一行，12点 0 的坐标为( 5, ---). 图3【 名师指路】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键.2 5 . ( 2 0 2 1 •江苏徐州•八年级期末) 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数、 = 人的图像经过点N ( 3 ,xw )与 B ( 6, m - 6 ) , 过 点 / 作 ZC" 轴，垂足为C,连接N 8 、BC.( 1 ) 求 m的值；( 2 ) 求证：. J 8 C 为等腰三角形；( 3 ) 第一象限是否存在E,使得在双曲线上，且以点8 、C 、D 、£为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点。 的坐标；若不存在，请说明理由.【 标准答案】( 1 )m = \ 2 - , ( 2 ) 见解析；( 3 ) 不 存 在 符 合 题 意 的 点E ,理由见解析【 思路指引】( 1 ) 把 43 , 附 与5(6.〃L6)分别代入丫 =A ，解方程即可得到结论；X( 2 ) 过 8作 3 M _ L A C 于点由( 1 ) 得到点A 的坐标为( 3 , 1 2 ) , 点5的坐标为( 6, 6) , 点C的坐标为( 3 , 0 ) , 推出4 M = 4 C - C M = 6 , 得 到 垂 直 平 分 A C,根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；( 3 ) 分一种情况逐个讨论即可：以C B 为边在C 8 右侧作正方形C B D E ,过 D 作 D NL B M于点N ,根据 全等三角形的判定与性质得到8 N = C M = 6 , DN = B M=3,求得 1 2 , 3 ) ,进而求得点E ( 9 , -3)在第四象限，于是得到结论；再以CB为对角线作正方形8EC3,过点E作x轴的垂线，垂足为点”，过点8作B F U E H ,垂足为点尸，根据全等三角形的判定与性质求得E ( l . 5 , 4. 5 ) ,进而求得点£ > ( 7 . 5 , 1 . 5 ) ,进而可判断此时的这两点都不在反比例函数图象上，由此可得结论；最后以CB为边在CB左侧作正方形C B D E ,过8作3OC于点尸，过E作于点”，根据全等三角形的判定与性质求得a - 3 , 3 )在第二象限，由此可得结论.【 详解详析】解：( 1 ) 反比例函数y = &的图象经过点43 ,〃 ? ) 与8 ( 6. , "- 6) ,X:.3 m = k 且 6(加 - 6) = 4 ,二 . 3 m = 6( / 〃 - 6) ,解得：机= 1 2 ；( 2 )如图，过8作3MJ.A C于点777=12 ,二点A的坐标为( 3 , 1 2 ) ,点B的坐标为( 6, 6) ,点C的坐标为( 3 , 0 ) ,• ・ •点8纵的坐标为6,即 CM = 6,A的纵坐标为1 2 ,则 A C = 1 2 ,.\ AM = AC-CM = 6,： . C M=A M ,/. B M垂直平分A C ,AB = BC ,% A B C为等腰三角形；( 3 )不存在，理由如下: 如图，以CB为边在C3右侧作正方形C 8D E,过 。 作DNJ_3M于点N,ZMCB + ZMBC = 90° , ZMBC +^NBD = 90° ,:.ZMCB = ZNBD,在八 必 四与,_NBD中,"CMB = /BND< /MCB = NNBD ,BC = BDAMCB^dNBD(AAS),：.BN = CM=6, DN = BM =3 ,8(6,6),・ ・ ・ (12,3),BC = DE, BC//DE,[}xB-xc=xD-xE, % %% - 先，又：3(6,6), C(3,0), D(12,3),6 — 3 = 12 — x£. , 6 — 0 = 3 — 九，解得：XE =9， % =-3,口点£ 的坐标为( 9, -3 ),.•.E点在第四象限，不合题意；如图，以CB为对角线作正方形8ECZ),过点E作x轴的垂线，垂足为点H ,过点5作8尸E H ,垂足为点尸， 四边形3E C O为正方形，ZBEC = 90°, BE = C E,□ Z//EC+ZFEB = 90° ,口BFUEH, EHCCIhZBFE = ZEHC=90°,□ Z ra£+Z FE S = 90°,口 NFBE=ZHEC ,在LFBE与△H E C 2 ,ZBFE = ZEHC< ZFBE = ZHEC ,BE = EC:Z B E / AHECIAAS),FB=HE, FE = H C ,设 FB = HE = a，FE=HC = b,5(6,6), C(3,0),□ BF-C H = 6 -3 , FE+HE = 6-。 ,[ a -b = 3\h + a = 6f解得:a = 4.5b = 1.5OH = OC - CH = 3 -1 5 = 1.5,□点E的坐标为(1.5, 4.5),□正方形的对角线互相平分，/十 % _ X[) + -% + )3 _ +~ 2 ~ ~ - ~2~ ~ ' 2-- - XB +XC=XD+XE， M +yc = yD + % ，6 + 3 = +1.5 , 6 + 0 = _ yD + 4.5 ,解得：出 = 7.5, % =1.5,□ 点 的坐标为(7.5, 1.5),反比例函数》 =" 的 图 像经过点8 (6, 6),x□ 人= 6 '6 = 3 6 ,7.5x1.5^36, 1.5x4.5^36,□ 点 E均不在反比例函数的图象上，□ 此时不存在符合题意的点E,如图，以C B为边在C 3左侧作正方形C B D E ,过〃作B /JL O C 丁点立 过E作E”，O C于点四边形C E )后为正方形，ZBCE = 90°, BC = C E,ZHCE+/FCB = 90 ,DBF OC, EH OC,□ ZBFC = ZEHC = 90° ,□ N FBC +N FC B = 900,/FB C =ZH C E,在：F B C与H C E中,NBFC = ZEHC< NFBC = Z.HCE ,BC = EC: A FB C沼 AHCEIAAS),□ FB = CH , CF = EH ,8(6,6), C(3,0),BF = 6 , CF = 6 —3 = 3 , FB = CH=6, CF = EH = 3,OH = CH-OC=3,□点E 的坐标为（-3 , 3） ,.•・E点在第二象限，不合题意，综上所述，在第一象限不存在。 E ,使得在双曲线上，且以点8 、C、D、E 为顶点的四边形是正方形.【 名师指路】本题是一道反比例函数与几何图形的综合题，考查了反比例的图象与性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 。
