19、定积分及其应用.doc

第 19 课时 定积分及其应用一.知识梳理1.定积分的概念：设函数 在区间 上有定义，将区间 等分成 分小区间，每()fx[,]ab[,]abn个小区间长度为 ( ),在每个小区间上取一点，依次为 ，作和 12,,inxx .如果 无限趋近于 0(亦即 趋向于 )时， 无限趋近于常数 ，nSxnnSS那么称该常数 为函数 在区间 上的定积分，记为 ，其中 S()f[,]ab称为被积函数， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限，2.微积分基本定理：对于被积函数 ，如果 ，则 = .()fx()Fxf ()bafxd3.定积分的运算性质：⑴ = ；bakd⑵ ；⑶ .[()]bafxgd ()bafxd()acb4.定积分的几何意义：在区间 上曲线与 轴所围成图形面积的 (即 轴上[,]b x方的面积减去 轴下方的面积)；x⑴当 在区间 上大于 0 时， 表示由直线 和曲线所(f[,]ab()bafxd,(),0xaby围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义.⑵当 在区间 上小于 0 时， 表示由直线 和曲线所()fx[,]()baf ,(),围成的曲边梯形的面积的 .⑶当 在区间 上有正有负时， 表示介于直线 之间 轴之()f[,]ab()bafxd,()xabx上、之下相应的曲边梯形的面积的 .5.定积分在物理中的应用：⑴匀变速运动的路程公式，作变速直线运动的物体所经过的路程 ，等于其速度函数 在时间区间 上的定积分，即 .s()vt[,]bs⑵变力做功公式，一物体在变力 (单位： )的作用下作直线运动，如果物体沿着与)FxN相同的方向从 移动到 (单位： )，则力 所作的功为 .FxabamFW二．基础训练1. .20d2.已知质点的速度 ，则从 到 质点所经过的路程是 .10vtt0t3.已知 的力作用于静止的弹簧，弹簧伸长 1cm，则将静止的弹簧拉长 6cm，弹力所做的1N功为 焦.4. .204xd5.已知在区间 上 且由直线 及曲线 所围成的图形面积(,)ab(0fx,0xaby()yfx为 ，则 .Safd6.由直线 及曲线 所围成的图形面积为 ，则用定积分表示 ，则0,2xy31yxSS为 .三.典型例题1.求定积分⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ .2()xd 20()(0)axda 2||xd20sinxd2.求曲线 及直线 所围封闭区域的面积．249yx3yx3.求抛物线 与直线 围成的平面图形的面积.2yx4yx4.如图，过点 A(6，4) 作曲线 的切线()48fxAlxy 48yxSOl．⑴求切线 l 的方程；⑵求切线 l，x 轴及曲线所围成的封闭图形的面积 S．四.课后作业1.若 ，则 .20(3)0kxdk2. .1e3. .0xd4. .2(sin)5. .20|1|xd6. .227.已知 为偶函数且 ，则 .()fx60()8fxd6()fxd8.求曲线 与 所围成图形的面积为 .3y39.一物体以 的速度运动，在前 30s 内的平均速度为 .2()8(/)vttms10.求函数 在区间 上的积分.32[0,1]()(,xf[,3]11.已知抛物线 ，过原点的直线 平分由抛物线与 轴所围成的封闭图形2(0)xyalx的面积，求 的方程.l12.已知方程 为常数。

bax,02⑴若 ， ，求方程的解的个数 的期望；,10a ⑵若 内等可能取值，求此方程有实根的概率．2在b【阅读材料】如图，用图“以直代曲”的方法计算直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线y＝ax 2(a＞0) 围成的阴影图形的面积． 解 （1）分割 ——把区间[0，1]等分成 n 个小区间：[0， ]，[ ， ]，…，[ ， ]，…，[1n 1n 2n i－ 1n in， ]．n－ 1n nnxyOy＝ax 2(a＞0)x＝11（2）以直代曲—— △ Si≈f( )△ x＝a  ．in 21n（3）作和——因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以以 n 个小矩形面积之和就是曲边三角形面积 S 的近似值，即 S＝ △ S1＋ △ S2＋…＋ △ Sn＝ △ Si≈  n(n＋1)(2n＋1)＝ (1＋ )(2＋ )．∑n i=1 an316 a6 1n 1n（4）逼近——当分割无限变细，即 △ x 无限趋近于 0（亦即 n 趋向于＋∞）时， (1＋ )a6 1n(2＋ )无限趋近于 S，而当 n 趋向于＋∞时， (1＋ )(2＋ )无限趋近于 ．由此可知 S＝ ．1n a6 1n 1n a3 a3。