(完整版)全等三角形经典题型——辅助线问题.doc

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线 也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添 角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连 要证线段倍与半，延长缩短可试验 三角形中两中点，连接则成中位线 三角形中有中线，延长中线等中线1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE <2AD

求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法, 计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°从而∠BDP＝40°＝∠ACP△ADP≌△ACP（ASA）故AD＝AC又∠QBC＝40°＝∠QCB 故 BQ＝QCBD＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证： 解：（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD△BDF≌△BDC（SAS）故∠DFB＝∠DCB ，FD＝DC又AD＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC解：（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD△ABP≌△AFP（SAS）故BP＝PF由三角形性质知PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC应用：分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题解：有连接AC，过E作并AC于F点则可证为等边三角形即，∴又∵，∴又∵∴在与中，，∴∴∴点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。

三、平移变换例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.解：（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FEAD为△ABC的角平分线, MN⊥AD知∠FAE＝∠CAE故有△FAE≌△CAE（SAS）故EF＝CE在△BEF中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN. ∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =AC证明L(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度,则∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均为角平分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; ∠AOF=∠AOE=60度.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DCDG垂直平分BC，故BD＝DC由于AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有ED＝DF故RT△DBE≌RT△DFC（HL）故有BE＝CF。

AB+AC＝2AEAE＝（a+b）/2BE=(a-b)/2应用：1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由解：（1）FE与FD之间的数量关系为（2）答：（1）中的结论仍然成立证法一：如图1，在AC上截取，连结FG ∵，AF为公共边，∴∴， ∵，AD、CE分别是、的平分线∴∴∴∵及FC为公共边∴∴∴证法二：如图2，过点F分别作于点G，于点H ∵，AD、CE分别是、的平分线∴可得，F是的内心∴，又∵∴ ∴可证∴ 五、旋转例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数. 证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠D。