不定形耐火材料颗粒级配的优化.pdf

不定形耐火材料颗粒级配的优化□　宫 波 1 ,2) 　李拴生 2) 　侯再恩 1)1)西安交通大学理学院 　西安 7100492)太钢 (集团 )耐火材料公司摘 　要 　针对生产实际情况 ,结合紧密堆积理论 ,建立了在给定的条件下如何选取最优配比的优化模型 , 并求解最优配比通过将所配出坯料的粒度分布和按照经验配比给出的坯料的粒度分布与紧密堆积时 (Dinger - Funk 方程 ) 的粒度分布进行比较 ,说明按最优配比配出的坯料 ,其粒度分布与紧密堆积时的粒度分布接近程度较好关键词 　紧密堆积 ,级配 ,优化模型 ,不定形耐火材料X在不定形耐火材料生产中 , 配料是关键的工序之一 ,它直接影响产品的质量影响该工序的因素很多对于一定的粉碎好的原料 , 如何选取级配 ,即如何对原料进行分级与如何选取配比是配料工序最基本的问题实践表明 ,只有选取可以使坯料达到紧密堆积的级配 , 才有可能生产出高质量的产品而在实际生产中 ,粉碎好的原料的分级、配比还受实际条件和工艺要求的限制因此 ,问题转化为如何选取配比 ,使得可以在满足实际要求的前提下使坯料达到紧密堆积本文针对生产实际情况 ,结合紧密堆积理论 , 建立如何分级和选取配比的一种优化模型 , 来解决该问题。

1 　紧密堆积理论与基本优化模型1. 1 　紧密堆积理论概述及建模思路关于耐火材料配料中颗粒的尺寸与可以达到的堆积的紧密度 (即体积密度 )的关系的研究 , 即紧密堆积理论的研究 , 始于 20 世纪二、三十年代 , 得到了一系列理想状态下的理论模型 \[1 ,2 \], 一般可分为两类 ,即粒径是离散的和粒径是连续的模型而与耐火材料实际生产较接近的理论模型为 Dinger- Funk 方程 :CPFT100 =Df lg R - Df lg RsDf lg RL - Df lg Rs (1)式中 : D 表示颗粒的粒径 ; Ds 表示原料中的最小粒径 ; DL 表示原料中的最大粒径 ; f = 1/ (lg Dr) ,其中Dr 表示相邻筛网的直径比 ,在 2筛网系列中为 2 ; R表示通过相邻两筛孔的颗粒量之比 , 在标准筛系列 ,通过任何相邻筛孔的量的比为常数 ; CPFT 表示粒径≤ D 的颗粒累计百分数 (质量分数或体积分数 ) 式 (1)是在假定粒径是连续分布的情况下 ,颗粒形状看为球状的情形 ,达到理想紧密堆积的状态 ,不同粒径颗粒的累计百分数的理论分布这里的分级理解为是用不同的筛系列来进行的。

按照式 (1) ,分级越细 ,越易进行配料 ,而这在实际生产中是不可能的这是由于分级越多 ,成本也越高实际生产工艺只能进行少数的分级 ,一般不超过 5级而且由于原料的结构和用于粉碎的生产设备及工艺的影响 ,粉碎好的原料颗粒的形状不是球状 ,有的与球状还相差很远 ,这样直接用式 (1) 就不能得到想要的结果所以 ,必须根据实际情况对式(1)进行适当的调整 , 然后利用调整后的结果建立实际生产的实用模型下面就按这个思路建立最优配比的优化模型1. 2 　最优配比的优化模型1. 2. 1 　紧密堆积理论模型的调整为了更好地反映颗粒形状对紧密堆积时的颗粒粒径的百分数的影响 , 对粉碎好的原料引入其形状调整因子 μ =μ ( D) ,满足 :Dl· Dwμ ( D) · D2m = 1其中 : Dm = D ,表示颗粒的粒径 ; Dl 和 Dw 分别表示粒径为 D 的颗粒在垂直于粒径方向的最大截面X 宫波 :男 ,1957 年生 ,硕士研究生 ,高级工程师收稿日期 :2003 - 05 - 08修回日期 :2003 - 06 - 16 编辑 :柴剑玲开发与应用 NAIHUO CAILIAO / 耐火材料 2003 , 37 ( 6 ) 326～ 329326　　 NAIHUO CAILIAO / 耐火材料 2003/ 6的长和宽的平均值。

由于在实际生产中 ,同一种原料 在一定的粉碎工艺下得到的粉碎好的原料的形状基本一致所以 ,此时可假定其形状调整因子为常数这样就把式 (1)调整为 :CPFT100 =Dfμ lg R - Dfμ lg RsDfμ lg RL - Dfμ lg Rs (2)显然 ,颗粒的形状为球状 ,则 μ = 1 ,式 (2) 即为式(1) ;而颗粒的形状不为球状 ,则 μ < 1 ,由式 (2) 知 ,大粒径颗粒有所减少 ,相应的小粒径颗粒有所增加这与实际情况基本一致为了方便记忆 ,设V D = Dfμ lg R - Dfμ lg Rs , V = Dfμ lg RL - Dfμ lg Rs 则(2)式可表示为 :CPFT100 =V DV1. 2. 2 　最优配比模型(1)模型假设 :1) 实际生产的原料在粉碎工艺下得到的粉碎好的原料其形状基本一致 , 可视为球体 ,即 μ =μ ( D) ;2)粉碎好的原料颗粒粒度分布为连续的 ,分布在区间 \[0 ,c ]上 ,其分布函数 F ( D) 为粒径 ≤ D 的颗粒的量所占的百分数 (按体积或质量 ) ,分布密度为 f ( D) = F′ ( D) , D ∈ \[ 0 ,c ] ( f ( D)相当于粒度分布的概率密度 ) 。

2) 最优配比模型 :假设把粉碎好的原料分为k 级 :0～ c1 , c1～ c2 ,Λ , ck - 1～ ck = c ;假设由各级取出的量 (颗粒的总数 ) 分别为 : x 1 , x 2 ,Λ , x k - 1 , x k ,CPFT1 表示取出的原料配成的坯料中粒径 ≤ D 的颗粒累计百分数 , 则有 :CPFT1100 =W DW其中 , W D 表示取出的原料配成的坯料中粒径 ≤ D的颗粒的总量 , W 表示取出的原料配成的坯料的总量因此 ,有 :W D = ∑kDi = 1x i∫c ici - 14π ( D2 ) 33 · f ( D) d D + x kD +1 ·∫ DckD4π ( D2 ) 33 · f ( D) d D , ckD < D ≤ckD +1W = ∑ki = 1x i∫c ici - 14π ( D2 ) 33 · f ( D) d D由于 CPFT 实质上表示的是紧密堆积时坯料粒径的分布 ,而 CPFT1 为实际配出的坯料粒径的分布 ,要使实际配出的坯料尽可能达到紧密堆积 ,CPFT1 必须与 CPFT 充分靠近因此 , 有下列优化模型 :min zx=∫c0( CPFT - CPFT1) 2d Ds. t . x = ( x 1 , x 2 ,Λ , x k) ≥ 0ci ∈ [0 , c ]因为是要一个函数向另一个函数逼近 ,这里两个函数之差的平方再积分是完全必要的 ,且实际生产中分级不会太多 ,即分级数 k ≤ K0 ,所以实际模型应为 :min zx=∫c0( CPFT - CPFT1) 2d Ds. t . x = ( x 1 , x 2 ,Λ , x k) ≥ 0ci ∈ [0 , c \] ,k ≤ K0 ,2 　实际情况下的优化模型实际生产中 ,由于实际条件和工艺水平的限制 ,限制了颗粒粒度的分级。

此时 ,分级数 k = K0 及 ci= ( i = 0 ,1 ,2 ,Λ , k)都为已知的 ,则此时模型为 :min zx=∫c0( CPFT - CPFT1) 2d Ds. t . x = ( x 1 , x 2 ,Λ , x k) ≥ 0其中 k = 4 ,分级为 ( mm) :0～ 1 ,1～ 3 ,3～ 5 ,5～ 8 ; c0 = 0 , c1 = 1 , c2 = 3 , c3 = 5 , c4 = 83 　模型的求解3. 1 　模型的化简由于 :min zx=∫c0( CPFT - CPFT1) 2d D=∫c0( V DV - W DW ) 2d D= 1V 2∫c0( V D - VW W D) 2d D且 1V 2是与 x 无关的正常数 ,所以只需求出上式后一因子的最小值即可又有 W 在数值上应等于实际生产中需要配制的坯料的总量 ,而这个量是已知的 , 记为 W 0 ,则有 VW = VW0= v 为已知常数因此 ,原模型可简化为 :min zx=∫c0( V D - v W D) 2d D= ∑ki = 1∫c ici - 1( V D - v W D) 2d D2003/ 6 耐火材料 / NAIHUO CAILIAO 327　　s. t . W = W 0 , x ≥ 03. 2 　优化模型的求解算法依据实际情况 ,粉碎好的颗粒的体积可以认为是服从均匀、连续分布的 ,则其粒径的分布密度为 :f ( D) = 3512 D2 　　 (0 ≤ D ≤ c)分布模数 fμ lg R = 0. 37 , DL = D0 = 8 , Ds =ε ,可取W 0 = V , v = 1。

此时则有 :V D = Dfμ lg R - Dfμ lg Rs = D0. 37 - D0. 37sW 0 = Dfμ lg RL - Dfμ lg Rs = D0. 37L - D0. 37sW D = ∑kDi = 1x i∫c ici - 14π ( D2 ) 33 · f ( D) d D + x kD · ∫DckD4π ( D2 ) 33 · f ( D) d D , ckD ≤ D ≤ ckD +1= ∑kDi = 1x i∫c ici - 14π ( D2 ) 33 ·3512 · D2d D + xkD · ∫DckD4π ( D2 ) 33 ·3512 · D2d D , ckD ≤ D ≤ ckD +1= π6144 ( ∑kDi = 1x i ( c6i - c6i - 1) + x kD ( D6 - c6kD) ) , ckD ≤ D ≤ ckD +1=π6144 x 1 D6 , 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (0 ≤ D ≤ 1)π6144 ( x 1 + x 2 ( D6 - 1) ) , (1 < D ≤ 3)π6144 ( x 1 + 728 x 2 + x 3 ( D6 - 729) ) , (3 < D ≤ 5)π6144 ( x 1 + 728 x 2 + 14896 x 3 + x 4 ( D6 - 15625) ) , (5 < D ≤ 8)W = π6144 ( x 1 + 728 x 2 + 14896 x 3 + 246519 x 4)代入模型 ,目标函数为 :z = ∑ki = 1∫c ici - 1( V D - v W D) 2d D=∫10( D0. 37 - D0. 37s - π6144 x 1 D6) 2d D +∫31( D0. 37 - D0. 37s - π6144 ( x 1 + x 2 ( D6 - 1) ) ) 2d D +∫53( D0. 37 - D0. 37s - π6144 ( x 1 + 728 x 2 + x 3 ( D6 - 729) ) ) 2d D +∫85( D0. 37 - D0. 37s - π6144 ( x 1 + 728 x 2 + 14896 x 3 + x 4 ( D6 - 15625) ) ) 2d D取 ε = 0. 00000003 ,用 mathematic 4. 0 求得 :z = 21. 3789 - 0. 0122699 x 1 + 1. 8503 × 10 - 6 x 12 - 7. 38202 + 0. 00206565 x 1 x 2 + 0. 724738 x 22 -107. 79 x 3 + 0. 0282781 x 1 x 3 + 20. 5865 x 2 x 3 + 194. 705 x 53 - 512. 42 x 4 + 0. 126313 x 1 x 4 +91. 9558 x 2 x 4 + 1881. 56 x 3 x 4 + 8866. 97 x 24因此 ,模型为 :min zxs.。