材料力学(能量法1)课件.ppt

第十章 能量方法,计算应变能时能 不能应用叠加原理,M 和 F 引起的应变能是不是等于二者引起的应变能之和？,如果将 M 换为扭转力偶 Mx ,Mx 和 F 引起的应变能是不是等于二者引起的应变能之和？,关于应变能的计算,比较基本变形杆件的变形能计算公式,（克拉贝依隆原理）,线弹性体的变形能等于每个外力与其相应位移乘积的二分之一的总和弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条件下，存储在弹性体内的变形能可以表示为，,,,即，在上述三个条件下，弹性体内的变形能与外力加载的次序（加载路径）无关10-4 互等定理,1、 功互等定理对于线弹性体-------此物体可以代表梁，桁架，框架或其它类型结构,第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功， ------------功互等定理证明:,第一组力: 有m个载荷P1，P2，，Pm,P引起相应位移为Pi,引起第二组力Q作用点及其方向的位移为Qi,第二组力: 有n个载荷Q1，Q2，，Qn,Q引起相应位移为Qi,引起第一组力P作用点及其方向的位移为Pi,第一步： 先将第一组力Pi（i=1,2,,m）单独作用， 这组力引起其作用点沿该组力作用方向位移为Pi (i=1,2,,m)（相应位移)，,其所做的功为：,第二步： 随后作用上第二组力Qj（j=1,2,,n）此时Qj在其 相应位移Qi,其所做的功为：,与此同时： 因为Pi力已存在，且已达到终值，其值不变为常力，Pi在Qj产生的Pi作用点且是Pi方向上的位移 Qi,其所做的功为：,故先加P后加Q时做功总和为：,第三步： 将加载次序反过来，先加力Q后加力P，Qj在相应位移 Qi 上做功为：,第四步： 再加Pi(i=1,2,,m)力，Pi在其相应位移Pi 做功为：,同时：物体上已作用有Qj且其值不变，Qj在由于Pi引起的Qj作用点及方向的位移Qi,对此加载顺序，两组力所做的总功为：,其所做的功为：,由于： 变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无 关，故必有U1=U2，从而得功互等定理的表达式为：,2、位移互等定理,利用上式，并设两组力各只有一个力Pi、Qj 作用于同一物体，则有：,若 ，则有：,若将Qj 引起的相应于Pi位移写成ji ，将Pi 引起的相应于Qj 的位移写成ij,位移互等定理： Pi作用点沿Pi方向由于Qj 而引起的位移ji ，等于Qj 作用点沿 Qj 方向由于Pi引起的位移 ij 。

则上式又可写成常用的公式:,互等定理中的力与位移都应理解为广义的:1、如果力换成力偶2、则相应的位移应是转角位移,请看动画演示,例：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁如图，试用互等定理求解解： 一、解除支座B------------ 悬臂梁,二、将切削力P及顶针反力RB 作为第一组力,三、设想在同一悬臂梁 右端作用单位力X=1 作为第二组力则：在X=1作用下悬臂梁上的P及RB 作用点的相应位移分别为1和2,第一组力在第二组力引起的位移上所做的 功为：,第一组力作用下，其右端B实际位移为零，所以第二组力在第一组力引起的位移上所做的功等于零由功互等定理有：,由此解得：,10-5 卡氏定理,1、在现有的1,2. Pn基础上，设任有一广义力Pi有一微小增量 dPi（其它力不变）,05卡氏定理,设有一线弹性体-------弹性位移与外力呈线性关系 作用n个相互独立的广义力 P1 P2 Pn， 发生相应的广义位移 1 2 n ， 积蓄的应变能 U=U(P1, P2Pn),今考虑两种加载顺序：,则应变能增量,梁内的应变能增加为:,2、若加力的顺序为：先加dPi,再加这组力则,由于应变能与加载顺序无关，应有 略去二阶微量后得 ：,梁内的应变能为：,线弹性结构的变形能对于任一独立广义外力的偏导数等于相应于该力的广义位移 ， 即卡氏第二定理,则点C得铅垂位移,注意：式中的i为力作用点沿其作用方向的 位移 。

而不是,例如：,思考题：1、 利用卡氏定理表示C D挠度的下列各式中谁对？,,2、关于 正确的为：,,（A）A点水平和铅垂位移的矢量和 （B）A点水平和铅垂位移的代数和 （C）A点沿合力方向（450）的位移的 倍 （D）A点总位移,,3、 求得的位移是：,10-6 虚功原理,虚位移：指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约 束条件及连续条件的无限小可能位移虚功：真实力在虚位移上做的功虚,1、可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移 无关2、产生的原因：如温度变化，或其它外力系，或是 其它干扰造成的满足位移约束、连续条件的几何 可能位移3、虚位移是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不 改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受 力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变 虚位移模式的多样性,,虚位移必须微小的、满足 变形协调条件（包括约束条件), 可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关 可以是真实位移的增量，这时外力的虚功全部转变为应变能的增量虚位移原理变为,, 可以是某一(或某几个)真实位移的增量,,虚位移必须微小的、满足 变形协调条件（包括约束条件),, 可以是另外一个与之相关的系统的真实位移,应用于弹性体的虚位移原理,,虚位移必须微小的、满足 变形协调条件（包括约束条件), 可以是另外一个与之相关的系统的真实位移, 可以是某一(或某几个)真实位移的增量, 可以是与真实位移有关的位移，也可以与 真实位移无关, 可以是真实位移的增量，这时外力的虚功全部转变为应变能的增量。

应用于弹性体的虚位移原理,,虚位移必须微小的、满足 变形协调条件（包括约束条件),虚功原理(虚位移原理)： 如果给在载荷系 作用下处于平衡的可变形 结构以微小虚位移，则外力系在虚位移上所做 的虚功等于内力在相应虚变形上所做的虚功即：,外力虚功=内力虚功,已知：,1、梁受外力P1 ，P2 ，，Pn及分布载荷q(x) 作用 而处于平衡2、在给此梁任一虚位移时，所有载荷作用点均有沿其作用方向的虚位移*1，*2 ， *n ，和*(x),证明：,一、外力虚功,外力在相应虚位移上的总虚功为：,二、内力虚功,可从梁中取出任一微段dx,1、剪力 Q、Q+dQ， 2、弯矩 M、M+dM， 3、轴力 N、N+dN， 4、扭矩 T、T+dT，,微段的虚位移包括：,1、刚体虚位移,2、变形虚位移,质点系虚位移原理：由于微段处于平衡状态，所有外力对于该微段的刚体虚位移所做的总虚功必等于零N、N+dN,Q、Q+dQ,M、M+dM,T、T+dT,轴力、弯矩、剪力、扭矩在变形虚位移上所做的 虚功为（略去高阶小量）：,根据能量守恒，这两个总虚功相等，故有：,适用范围： 1、线性弹性材料 2、非线性应力-应变关系的材料,原因： 在导出虚功原理时，并没有涉及应力-应变关系，因此与材料性质无关,外力虚功=内力虚功,外力虚功=虚应变能, 虚位移原理在 弹性杆件上的应用,,, 求解位移曲线的 近似方程,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,, 先假设一含有一个或几个待定常数的位移函数，这一函数必须满足连续条件和约束条件。

然后，以真实位移的增量作为虚位移We V, 分别计算外力虚功We和应变能增量 V 代入 虚位移原理的表达式，,得到待定常数，从而求得位移函数虚位移原理在 弹性杆件上的应用,,求解位移曲线的近似方程,求解位移曲线的近似方程,例 题 1,已知：F、EI、l 求：梁的位移曲线以及梁中点的挠度,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,,1. 假设位移函数,2. 计算应变能,3. 由虚位移计算外力虚功和应变能增量,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,,例 题 1,虚位移：,外力虚功：,应变能增量：,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,,2. 计算应变能,3. 由虚位移计算外力虚功和应变能增量,例 题 1,4. 应用虚位移原理确定待定常数,We V,,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,,虚位移：,外力虚功：,应变能增量：,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,3. 由虚位移计算外力虚功和应变能增量,例 题 1,5. 确定位移曲线方程以及梁中点的挠度,,位移曲线方程,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,,4. 应用虚位移原理确定待定常数,We V,,例 题 1,梁中点的挠度,精确值,误差1.4%,虚位移原理在 弹性杆件上的应用,,5. 确定位移曲线方程以及梁中点的挠度,,6. 位移曲线方程,例 题 1,。