2412垂直于弦的直径九年级上册数学.ppt

第二十四章第二十四章 圆圆24.1.2 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径24.1 24.1 圆圆 第第1 1课时课时v圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找你能找到多少条对称轴？到多少条对称轴？l圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .圆的对称轴是任意一条圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线经过圆心的直线, ,它有无它有无数条对称轴数条对称轴. .●O如图，如图，AB是是⊙ ⊙O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CD⊥⊥AB，垂足为，垂足为E．．（（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ （（1）是轴对称图形．直径）是轴对称图形．直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（（2）） 线段：线段： AE=BE弧：弧： AC=BC AD=BD·OABCDEC.OAEBD证明：连结证明：连结OA、、OB，则，则OA＝＝OB。

∵∵OA=OB,OE⊥⊥AB∴∴AE=BE∴∴点点A和点和点B关于关于CD对称对称∴∴当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时，点对折时，点A与点与点B重合，重合，AE和和BE重合，重合，AC和和BC重合，重合，AD和和BD重合因此因此AE＝＝BE，，AC＝＝BC，，AD＝＝BD垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧题设题设结论结论（（1））直径（过圆心）直径（过圆心）（（2）垂直于弦）垂直于弦｝｛（（3）平分弦）平分弦用文字语言描述：用文字语言描述：（（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧v定理定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径●OABCDM└CD⊥⊥AB如图如图∵∵ CD是直径是直径∴∴AM=BM⌒⌒ ⌒⌒ AC =BC⌒⌒⌒⌒ AD=BD平分平分弦弦,并且并且平分平分弦所的两条弧弦所的两条弧.垂径定理垂径定理 练习练习在下列图形中，哪些图形可用在下列图形中，哪些图形可用垂径定理垂径定理找到找到相等的线段相等的线段或或相等的圆弧？相等的圆弧？例题例题1．如图，在．如图，在⊙ ⊙O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求⊙ ⊙O的半径．的半径．·OABE解：解：答：答：⊙ ⊙O的半径为的半径为5cm.应用新知解决问题应用新知解决问题在Rt△AOE中A AB B.O OE E弦心距弦心距半径半径半弦半弦弦心距弦心距2 2+ +半弦半弦2 2= =半径半径2 2在圆中在圆中解决有关弦的问题时，解决有关弦的问题时， 经经常常是是连连结结半半径径,过过圆圆心心作作弦弦的的垂垂线线段段(即即弦弦心心距距) 等等 辅助线，为应用垂径定理创造条件辅助线，为应用垂径定理创造条件.问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它是它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧弧所对的弦的长所对的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，，你你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 例例1 1 赵州桥的半径是多少赵州桥的半径是多少？？ 解：如图，用解：如图，用 AB 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为R．． 经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC，，D为垂足，为垂足，OC与与AB相交于点相交于点C，根据前面的结论，，根据前面的结论，D是是 AB的中点，的中点，C是是 AB 的中点，的中点，CD就是拱高．就是拱高．解得：解得：R≈27．．3（（m））O . ABDCR在在Rt△△OAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.52+（（R－－7.23））2OA2=AD2+OD2AB=37，，CD=7.23，，OD=OC－－CD=R－－7.23在图中在图中赵州桥的主桥是圆弧形赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨它的跨度度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)7.23m，，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？？因此，赵州桥的主桥拱半径约为因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.巩巩固固练练习习AD=0.5AB=18.5拓展探究拓展探究1.1.垂垂径径定定理理相相当当于于说说一一条条直直线线如如果果具具备备（（1 1））过过圆圆心心；；（（2 2））垂垂直直于于弦弦；；则则它它有有以以下下性性质质（（3 3））平平分分弦弦；；（（4 4））平平分分弦弦所所对对的的劣劣弧弧；；（（5 5））平平分分弦弦所所对的优弧对的优弧. .2.2.在在圆圆中中解解决决有有关关弦弦的的问问题题时时，，经经常常是是过过圆圆心心作作弦弦的的垂垂线线段段，，连连结结半半径径等等辅辅助助线线，，为为应应用用垂垂径径定定理创造条件理创造条件.课堂小结课堂小结A AB B.O OE E填空：1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若__________________________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O到AB的距离是___________cm，AB=_________cm.。

OAEDCB OAB第1题图第2题图AB⊥⊥CD（或（或AC=AD，或，或BC=BD））24H巩固练习巩固练习巩固练习：巩固练习：3 3、半径为、半径为4 cm4 cm的的⊙⊙O O中，弦中，弦ABAB=4 cm,=4 cm, 那么圆心那么圆心O O 到弦到弦AB AB 的距离是的距离是 . .4 4、、⊙⊙O O的直径为的直径为10 cm10 cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离距离OEOE=3 cm=3 cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 . .A AB BO OE EA AB BO O 8cm8cmE弦心距弦心距2 2+ +半弦半弦2 2= =半径半径2 25 5、半径为、半径为2cm2cm的的⊙⊙O O中中, ,过半径中点过半径中点E E且且 垂直于这条半径的弦垂直于这条半径的弦ABAB长是长是 . .6 6、已知、已知ABAB是是⊙⊙O O的弦的弦, ,OBOB=4cm,∠=4cm,∠ABOABO=30=30°°, , 则则O O到到ABAB的距离是的距离是 cm,cm,ABAB= = cm. cm. 2 2A AO OB BE E巩固练习：巩固练习：提高练习：提高练习：7 7、、如图，如图，⊙ ⊙M与与x轴交于轴交于A，，B两点，与两点，与y轴轴 交于交于C，，D两点，若两点，若M(2,0)，，B(5,0)，， 则则C点的坐标是点的坐标是 .8、、如图，如图， ⊙ ⊙ O的半径的半径OC＝＝10㎝㎝, DC＝＝2㎝㎝，直，直径径CE⊥⊥AB于于D，， 求弦求弦AB的长的长.小小 结结　　　　　　　　　　直径平分弦直径平分弦　　 直径垂直于弦直径垂直于弦=>　　　　　　　　　　　　　　直径平分弦所对的弧　　　　　　　　　　直径平分弦所对的弧　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 直径垂直于弦直径垂直于弦　　 直径平分弦（不是直径）　　直径平分弦（不是直径）　　　　　　　　　　　　　　　　直径平分弦所对的弧　　　　　　　　　　　　　　直径平分弦所对的弧　　　　　　　　　　　　　　　　　　 直径平分弧所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧　　　直径平分弧　　　 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦　　　　=>　　=>　　１、圆的轴对称性１、圆的轴对称性２、垂径定理及其推论的图式作作 业业v教材83 练习第1、2题™教材88 习题24.1第1题例题例题2．如图，在．如图，在⊙ ⊙O中，中，AB、、AC为互相垂直且相等为互相垂直且相等的两条弦，的两条弦，OD⊥⊥AB于于D，，OE⊥⊥AC于于E，求证四边，求证四边形形ADOE是正方形．是正方形．D·OABCE证明：证明：∴∴四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又　又　∵∵AC=AB∴∴ AE=AD∴∴ 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.∴∴∵∵ OE⊥⊥AC OD⊥⊥AB。