人教版九年级上册24章复习(圆的有关性质)剖析课件.ppt
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圆的基本性质复习圆的基本性质复习 圆的圆的定义定义有关概念有关概念圆的基本性质圆的基本性质圆心、半径、直径圆心、半径、直径弧、弦、弦心距弧、弦、弦心距等圆、同心圆等圆、同心圆圆心角、圆周角（补充圆内角、圆外角）圆心角、圆周角（补充圆内角、圆外角）三角形外接圆、圆的内接三角形、三角形外接圆、圆的内接三角形、四边形的外接圆、圆的内接四边形四边形的外接圆、圆的内接四边形点和圆的位置关系点和圆的位置关系不在同一直线上的不在同一直线上的三点确定一个圆三点确定一个圆圆的中心对称性和圆的中心对称性和旋转不变性旋转不变性圆的轴对称性圆的轴对称性垂径定理垂径定理圆心角定理圆心角定理圆周角定理圆周角定理圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质 ●1. 1.要确定一个圆要确定一个圆, ,必须确定圆的必须确定圆的________和和______圆心圆心半径半径圆心圆心确定圆的确定圆的位置位置,半径半径确定圆的确定圆的大小大小.O这个以点这个以点O为圆心的圆叫作为圆心的圆叫作““圆圆O””，记为，记为““⊙ ⊙ O”.”.2.2.圆的定义圆的定义(1)(1)是通过旋转是通过旋转. .(2)(2)是到定点的距离等是到定点的距离等于定长的点的集合于定长的点的集合. . 一、圆的相关概念一、圆的相关概念•圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧, ,简称简称弧弧. .n 连接圆上任意两点间的连接圆上任意两点间的 线段叫做线段叫做弦弦(如弦如弦AB).●On经过圆心的经过圆心的弦弦叫叫n做做直径直径(如直径如直径AC).AB⌒⌒n以以A,B两点为端点的两点为端点的弧弧.记作记作 ,n读作读作“弧弧AB”.ABCD 圆的相关概念圆的相关概念•直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都每一部分都叫做半圆叫做半圆(如弧如弧ABC).●OAB⌒⌒小于半圆的小于半圆的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 n(用两个字母用两个字母).ABCDn大于半圆的大于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,n如记作如记作 (用三个字母用三个字母).⌒⌒ACDACD ·OABCDE1、垂径定理：、垂径定理：垂直垂直于弦的直径平分弦，于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧．条弧．平分弦（不是直径）的直径平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．的两条弧．二二. .有关定理及推论有关定理及推论 ③③AM=BM,n由由 ①① CD是是直径直径②② CD⊥⊥AB可推得可推得⌒⌒⌒⌒⑤⑤AD=BD.⌒⌒ ⌒⌒④④AC=BC,②②CD⊥⊥AB,n由由 ①① CD是是直直径径③③ AM=BM⌒⌒ ⌒⌒④④AC=BC,⌒⌒⌒⌒⑤⑤AD=BD.可推得可推得ＤＣＡＢＥＯ垂径定理：垂径定理：垂径定理推论垂径定理推论：：M ③③AM=BM, ①① CD是直径是直径②② CD⊥⊥AB可推得可推得⌒⌒⌒⌒⑤⑤AD=BD.⌒⌒ ⌒⌒④④AC=BC,②②CD⊥⊥AB, ①① CD是直径是直径③③ AM=BM⌒⌒ ⌒⌒④④AC=BC,⌒⌒⌒⌒⑤⑤AD=BD.可推得可推得ＤＣＡＢＥＯM垂径定理推论垂径定理推论：： 1°圆心角圆心角1°弧弧CDn°圆心角圆心角n°弧弧把顶点在圆心的周角等分成把顶点在圆心的周角等分成360360份时，每一份的圆心角是份时，每一份的圆心角是1°1°的的角。
角1°1°的圆心角所对的弧叫做的圆心角所对的弧叫做1°1°的弧圆心角的度圆心角的度数和它所对数和它所对的弧的度数的弧的度数相等一般地，一般地，n°n°的圆的圆心角对着心角对着n°n°的弧的弧 在在同圆或等圆同圆或等圆中，如果两个中，如果两个圆心角圆心角、、两条弧两条弧、、两条弦两条弦、两条弦的、两条弦的弦心距弦心距中有中有一一组量相等，那么它们所对应的组量相等，那么它们所对应的其余其余各各组量都分别相等组量都分别相等OABCA'B'C'2 2、圆心角、弧、弦、弦心距、圆心角、弧、弦、弦心距. . ¡关于弦的问题，常关于弦的问题，常常需要常需要过圆心作弦的过圆心作弦的垂线段垂线段，这是一条非，这是一条非常重要的常重要的辅助线辅助线¡圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦长半径、弦长构成构成直角直角三角形三角形，便将问题转，便将问题转化为直角三角形的问化为直角三角形的问题MPBOA 3 3、圆周角、圆周角n顶点在圆上顶点在圆上, ,并且两边都与圆相交并且两边都与圆相交的角的角, ,叫做叫做圆周角圆周角. .●OBACED特征：特征：①① 角的顶点在圆上角的顶点在圆上.②② 角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.Fn圆周圆周角角. 在同圆（等圆）中在同圆（等圆）中, ,同弧同弧 ( (等弧等弧) )所所对的圆周角相等对的圆周角相等. .都等于都等于这条弧所对的圆这条弧所对的圆心角的一半心角的一半. .圆周角定理圆周角定理:在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,相等的相等的圆周角圆周角所对的所对的弧弧相等相等. .等角等弧等角等弧 圆周圆周角定理及推论角定理及推论 90°90°的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 . .●OABC●OBACDE●OABC 定理定理: : 在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,同弧或等弧同弧或等弧所对的圆周所对的圆周角角相等相等, ,都等于这弧所对的都等于这弧所对的圆心角的一半圆心角的一半. . 推推论论: :直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是 . .直角直角直径直径判断判断: (1) : (1) 相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等. . (2) (2)相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等. . (3) (3) 等弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等. .(×)(×)(√) 1、圆周角定理的推论、圆周角定理的推论1：：同圆或等圆中，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等相等的圆周角所对的弧也相等。
2、圆周角定理的推论、圆周角定理的推论2：：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径直径直径直角直角等角等弧等角等弧3、、内接四边形的对角互补内接四边形的对角互补4、、如果三角形一条边上的中线等于这条边如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形的一半，那么这个三角形是直角三角形 点与圆的位置关系点与圆的位置关系如图，设如图，设⊙ ⊙O的半径为的半径为r，，A点在圆内，点在圆内，B点在圆上，点在圆上，C点在圆外，那么点在圆外，那么若点若点A在在⊙ ⊙O内内 若点A在⊙O上 若点若点A在在⊙ ⊙O外外 OA＜＜r，， OB＝＝r，， OC＞＞r．．反过来也成立，即反过来也成立，即 不在同一直线上的三个点确定一个圆不在同一直线上的三个点确定一个圆 （（这个三角形叫做圆的这个三角形叫做圆的内接内接三角形，这个圆叫做三三角形，这个圆叫做三角形的角形的外接外接圆，圆心叫做三角形的圆，圆心叫做三角形的外心外心）） 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的性质：（（1 1））对角互补；对角互补；（（2 2））任意一个外角都等于它的任意一个外角都等于它的内对角内对角 反证法的三个步骤：反证法的三个步骤：1 1、提出假设、提出假设2 2、由题设出发，引出矛盾、由题设出发，引出矛盾3 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确 怎样要将一个如图所示的 怎样要将一个如图所示的破镜重破镜重圆圆？？ 【【例例1 1】】在在直直径径为为400mm400mm的的圆圆柱柱形形油油槽槽内内，，装装入入一部分油，油面宽一部分油，油面宽320mm320mm，求油的深度，求油的深度. .图图(1)(1)中中OC=OC==120(mm)=120(mm)∴CD=80(mm)∴CD=80(mm)图图(2)(2)中中OC=120(mm)OC=120(mm)∴CD=OC+OD=320(mm)∴CD=OC+OD=320(mm) 例例.在半径在半径为为5cm的的⊙ ⊙O中，弦中，弦AB＝＝6cm，，弦弦CD＝＝8cm，且，且AB∥∥CD，求，求AB与与CD之之间间的距离。
的距离平行弦与圆心的位置平行弦与圆心的位置 【例【例2】如图，】如图，△△ABC中，中，∠∠A＝＝700，，⊙ ⊙O截截△△ABC的三条边所截得的弦长都相等，的三条边所截得的弦长都相等，则则∠∠BOC＝＝ OBAC 例例3.⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________点与弦的相对位置点与弦的相对位置 例例4.半径半径为为1的的圆圆中有一条弦，如果它的中有一条弦，如果它的长为长为，那么那么这这条弦所条弦所对对的的圆圆周角的度数等于周角的度数等于___________弦所对的圆周角弦所对的圆周角 例例5.在半径为在半径为1的的⊙ ⊙O中，弦中，弦AB、、AC的的长分别为长分别为 ，则，则∠∠BAC的度数是的度数是____________圆心与角的位置圆心与角的位置 例例6.如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，P是经过是经过O（（0，，0），），A（（0，，2），），B（（2，，0）的圆）的圆上的一个动点（上的一个动点（P与与O、、B不重合），则不重合），则∠∠OAB＝＝_________度，度，∠∠OPB＝＝_________度。
度点在弧上的位置点在弧上的位置 ABCO四、直角三角形性质的运用四、直角三角形性质的运用（（1）勾股定理）勾股定理 （（2）） 斜边上的中线是斜边的一半斜边上的中线是斜边的一半 （（3））30°角所对的直角边等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一半 （（4））特殊三角形的三边之比特殊三角形的三边之比 …… 4、例与练：、例与练：①① 填空：填空： 如图，如图， ⊙ ⊙O中中AB=OC= OA,求求 、、 、、 的度数的度数D归纳：归纳：在一般图形中在一般图形中，，作弦心距作弦心距…构成构成Rt△△H运用运用 C②② 如图建立直角坐标系，如图建立直角坐标系，OA是半圆的直径，是半圆的直径， 圆心为圆心为N，，A(10,0)，，B（（8，，0），四边形），四边形OBDC平行四边形，平行四边形，C、、D在半圆上，求在半圆上，求D点坐标ODBNyxAH解：连解：连N D、、 作作NH⊥⊥CD于于H，， 由垂径定理得由垂径定理得 CH=DH= CD=4 在在Rt△△DNH中，中， ND=NO=5,DH=4 ∴∴NH=3 ∴∴D(9,3)12归纳：在坐标系中，归纳：在坐标系中，作半径弦心距作半径弦心距…构成构成Rt△△ 圆中两个重要圆中两个重要 Rt△Rt△的再认识的再认识O ON NA AB BM MB BA AC CD DOO ABCDOABCODABCDEoo直径与两弦构成图形的变式直径与两弦构成图形的变式 巩固练习巩固练习1.（（2011山东滨州，山东滨州，8，，3分）如图分）如图,在平面直在平面直角坐标系中角坐标系中,正方形正方形ABCD的顶点的顶点A、、C分别分别在在y轴、轴、x轴上轴上,以以AB为弦的为弦的⊙ ⊙M与与x轴相切轴相切.若点若点A的坐标为的坐标为(0,8),则圆心则圆心M的坐标为的坐标为( )A.(-4,5) B.(-5,4) C.(5,-4) D.(4,-5) 2. （2011黑龙江鸡西，黑龙江鸡西，8，，3分）如图，分）如图，A、、B、、C、、D是是⊙ ⊙O上的四个点，上的四个点，AB=AC，，AD交交BC于点于点E，，AE=3，，ED=4，则，则AB的长为的长为 （（ ）） A .3 B .2 C. D .3 3.（2011广西百色，广西百色，20，，3分）如图，点分）如图，点C是是⊙ ⊙O优弧优弧ACB上的中点，弦上的中点，弦AB=6cm，，E为为OC上任意一点，动点上任意一点，动点F从点从点A出发，以每秒出发，以每秒1cm的速度沿的速度沿AB方向向点方向向点B匀速运动，若匀速运动，若y=AE2﹣EF2，则，则y与动点与动点F的运动时间的运动时间x（（0≤x≤6）秒的函数关系式为）秒的函数关系式为 ．． 4. 如图，点如图，点E（（0，，4），），O（（0，，0），），C（（5，，0）在）在⊙ ⊙A上，上，BE是是⊙ ⊙A上的一条上的一条弦．则弦．则tan∠∠OBE=． 5. （2011河北，河北，16，，3分）如图，点分）如图，点0为为优弧优弧ACB所在圆的圆心，所在圆的圆心，∠∠AOC＝＝108°，点，点D在在AB延长线上，延长线上，BD＝＝BC，则，则∠∠D＝＝ ．． 6. （2011江苏苏州，江苏苏州，26，，8分）如图，已知分）如图，已知AB是是⊙ ⊙O的弦，的弦，OB=2，，∠∠B=30°，，C是弦是弦AB上的任意一点上的任意一点 （不与点（不与点A、、B重合），连接重合），连接CO并延长并延长CO交交⊙ ⊙O于点于点D，连接，连接AD．．（（1）弦长等于）弦长等于______（结果保留根号）；（结果保留根号）；（（2）当）当∠∠D=20°时，求时，求∠∠BOD的度数；的度数；（（3）当）当AC的长度为多少时，的长度为多少时，以以A、、C、、D为顶点的三角形为顶点的三角形与以与以B、、C、、0为顶点的为顶点的三角形相似？请写出解答过程．三角形相似？请写出解答过程．E 7. （2011•江苏宿迁，江苏宿迁，26，，10）如图，在平面直角）如图，在平面直角坐标系中，坐标系中，O为坐标原点，为坐标原点，P是反比例函数是反比例函数y＝＝（（x＞＞0）图象上的任意一点，以）图象上的任意一点，以P为圆心，为圆心，PO为半径的圆与为半径的圆与x、、y轴分别交于点轴分别交于点A、、B．．（（1）判断）判断P是否段是否段AB上，并说明理由；上，并说明理由；（（2）求）求△△AOB的面积；（的面积；（3））Q是反比例函数是反比例函数y＝＝ （（x＞＞0）图象上异于点）图象上异于点P的另一点，请的另一点，请以以Q为圆心，为圆心，QO半径画圆与半径画圆与x、、y轴分别交于点轴分别交于点M、、N，连接，连接AN、、MB．求证：．求证：AN∥∥MB．． 8. （2011南昌，南昌，22，，7分）如图，已知分）如图，已知⊙ ⊙O的半径为的半径为2，弦，弦BC的长为，点的长为，点A为为弦弦BC所对优弧上任意一点（所对优弧上任意一点（B，，C两两点除外）．点除外）．（（1）求）求∠∠BAC的度数；的度数；（（2）求）求△△ABC面积的最大值．面积的最大值． 9. （（2011湖北孝感，湖北孝感，23，，10分）如图，等边分）如图，等边△△ABC内接于内接于⊙ ⊙O，，P是上任一点（点是上任一点（点P不与点不与点A．．B重合），连重合），连AP．．BP，过点，过点C作作CM∥∥BP交交PA的延长线于点的延长线于点M．．（（1）填空：）填空：∠∠APC= 度，度，∠∠BPC= 度；度；（（2）求证：）求证：△△ACM≌△≌△BCP；；（（3）若）若PA=1，，PB=2，求梯形，求梯形PBCM的面积．的面积． 。
